解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练 解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题 专项训练 考点目录 三角形面积范围问题 四边形面积范围问题 弦长或线段长度范围问题 考点一 三角形面积范围问题 例1．（2026·辽宁沈阳·二模）已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线E相交于A，B两点，与抛物线E的准线相交于点Q．若以线段AF为直径作圆，当此圆经过点时，． (1)求抛物线E的方程； (2)证明：； (3)若点C，D在抛物线E上，且线段CD的中点在直线上，点．求面积的最大值． 例2．（2026·山东东营·模拟预测）已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离之比为. (1)求的方程； (2)设直线经过交于两点，过点分别作直线l的垂线，垂足分别为. （Ⅰ）若四边形的周长为12，求直线的方程： （Ⅱ）设直线与交于点P，记与的面积之和为，求的取值范围. 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线，焦点为，为抛物线上一动点.当的纵坐标为时，. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线交于另一点，证明：、、三点共线； (3)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值. 变式1．（2026·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若关于轴的对称点为，求的面积的最大值. 变式2．（25-26高二下·重庆·月考）已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点，交椭圆于两点，弦的中点分别为. （i）当时，求弦长； （ii）当时，求面积的最大值. 变式3．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，求的取值范围； (3)设椭圆的左､右焦点分别为，过作直线交椭圆于两点，点满足，直线与交于点，设与的面积分别为，求的取值范围． 考点二 四边形面积范围问题 例1．（2026·新疆·模拟预测）已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. 例2．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，圆的半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且． （ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 例3．（25-26高二上·重庆·期中）已知抛物线及点，直线过点且相交于两点，与相交于两点，过分别作抛物线切线，过两点的切线相交于点，过两点的切线相交于点. (1)已知的轨迹是同一条直线，求直线的方程. (2)求线段的最小值. (3)求四边形面积S的取值范围. (注: （1） 若点是抛物线 上一点，则过的抛物线的切线方程为 （2） 若点 是抛物线外一点，过作抛物线的切线，切点分别是，则直线方程为) 变式1．（24-25高二上·辽宁·期中）设圆的圆心为A，直线l过点，F是圆A上的任意一点，线段BF的垂直平分线与AF交于E点. (1)求出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线，直线l交曲线于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 变式2．（2026·四川南充·二模）已知椭圆的离心率，. (1)求椭圆的方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，，分别交于，和，，且满足. （ⅰ）证明：直线，的斜率之和为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 变式3．（2025·安徽·模拟预测）已知和交于四点. (1)求的取值范围； (2)求四边形面积的最大值. 考点三 弦长或线段长度范围问题 例1．（2026·浙江金华·二模）设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围． 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线：（,）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点. ①求证：直线与圆相切； ②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围. 例3．（2026·海南儋州·一模）已知抛物线的焦点为点，点在抛物线上，，且的最小值为． (1)求抛物线的方程； (2)设点P不在坐标轴上，过P可作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B， ①证明：； ②若直线，，直线AB与x轴相交于点H，求的最大值． 变式1．（25-26高二上·陕西安康·期末）记，双曲线的右焦点为，离心率为2. (1)求的方程； (2)点为右支上一点，为射线上一点，. （i）设的横坐标为，求的横坐标（用表示）； （ii）点满足，求的最小值. 变式2．（25-26高二上·河南南阳·期末）过平面内的动点分别作直线和的垂线，交轴于两点，若（为坐标原点）． (1)求动点的轨迹的方程； (2)曲线，直线与和的交点从左到右依次为． ①证明：； ②若，求的最小值． 变式3．（25-26高三上·湖北·期末）已知椭圆的左､右顶点分别为，上､下顶点分别为，记四边形的内切圆为为上任意一点，过作的两条切线分别交于两点. (1)求的标准方程； (2)求证：直线过定点； (3)求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练 解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题 专项训练 考点目录 三角形面积范围问题 四边形面积范围问题 弦长或线段长度范围问题 考点一 三角形面积范围问题 例1.(2026辽宁沈阳二模)已知抛物线E:x2=2py(p>0),过焦点F的直线与抛物线E相交于A,B两点，与抛 物线E的准线相交于点Q.若以线段证为直径作圆，当此圆经过点（合0时，HF-了 (1)求抛物线E的方程； (2)证明：IOAFB曰QBFA|; (3)若点C,D在抛物线E上，且线段CD的中点在直线y=x上，点P 求△PCD面积的最大值. 【答案】(1)x2=y (②)证明见解析 ③)6 【详解】1)由题意可行：焦点F0分，准线为y=号，h=y,+号-) +22 ,),代入抛物线方程可得x=p-p),即x=VpI-p) 设A(x422 设M0,划亚=（号应=a-p-行分 由题意可料证.函=（宁X0-丹-+分=0，解得P号 :所求抛物线方程为x2=y (2)由题意可知，过焦点F(O,的直线斜率必定存在 解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练 设过焦点F0宁的直线方程为y=+子4，，B,） 子可得0六0 令y=- 将直线方程y=:+子代入抛物线E消)可得2-：-香0. 1 由韦达定理可得x+x2=k,xx2=- 4 1 1 由抛物线定义可知 A+4.+ 1 4 FB y2+ 1 4 + 4 由相似三角形可知： 1 24x-xo 2k 2k+1_2(x+x2)x+1 2x+ FA OB x2-xo 1 X2+2k 2kx2+12(x+x2)x2+1 2x号+ FB 2 所以QAFB=QBFA (3) D y=X/ 10 设CD的中点为(t,),C(x3,y),D(x4,y4) 则x3+x4=21,与+y4=21 由⅓=，=可得+听=21，则=+P-(G+】=22-1 所以弦长CDl=Vs-x)+(%-y2=2V0-)V1+4rt∈[0， 由题意可知直线CD的斜率存在且ko=上-业=￡-￡=x+x,=21 X3-x4x3-x4 所以直线CD的直线方程为y-t=21(x-),即2-y-2t+t=0. 则点P(D到直线CD的距离d 2r2-21+1_2-21+1 V42+1V42+1 所以所求面积S=Vt1-)(22-2t+1)t∈[0,1) 解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练 令u=V0-0∈[0，]，则S=-2r3+u 所以S”=-62+1,令S=0,可得u=y 6 所以5=-2+山在0.5上单调递增，在(6，上单调递减 6 6’2 当u=6时，5=6 6 9 所以△PCD面积的最大值为6 例2.(2026山东东营·模拟预测)已知曲线E上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线1：x=4的距离之比为； (1)求E的方程； (②)设直线经过F交E于AB两点，过点A,B分别作直线1的垂线，垂足分别为C,D. (I)若四边形ABDC的周长为12，求直线的方程： (Ⅱ)设直线AD与BC交于点P,记△PAB与△PCD的面积之和为S,求S的取值范围 【答案】0+号-1 ②1=1： 【详解】1)设曲线E上一点的坐标为x,川，则x-刂+-4， 平方后整理得二+二1，故E的方程为+二=1. 43 43 (2)(i)设直线n的方程为x=my+1,Ax,y,B(x2,y2, 联立号5=1a469-0 6m 9 由韦达定理可知，片+⅓=3m+4'%=3m+4 8 则+x=my+)+23m+4'以-=%+为°-4= 12Vm2+1 3m2+4 12m2+1 AB=+m-为=3m2+4 四边形ABDC的周长为 4B+4C+BD|+CD=1+m2 yy2+4-x+4-x+y2 =+my-为+8-(x++以-为=36m+36+12m+1-12 3m2+4 解得m=0,则直线n的方程为x=1. (i)又C4,,D(4,,直线AD的方程为y-为=-当(x-4), 4-x1 解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练 今时，+. 2(4-x)y23(y2- 4-x2 2(4-x) 6m） -2m (9 23-my小：y2-3(2-y）_3y+2)-2myy2 3引 3m2+4 3m2+4 =0 2(4-x) 2(4-x) 2(4-x) 故点P。,0在直线AD上， 同理可证，点P 修也在直线BC上 所以当当线m变化时、40与8C相交于定点户侵0 做5=a+8m4-5- 18Vm2+1 3m2+4 令1=Vm+12,则3=187 1 31+ 由函数y=31+在L,+0上单调递增可知0<S≤) 9〉 因此S的取值范围为0 E 例3.(2026黑龙江哈尔滨.一模)己知抛物线E:x2=2py(p>0),焦点为F,A为抛物线上一动点当A的纵坐标 为对时，1MP号 (1)求E的方程； (2)设O为坐标原点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为M,直线AF交E于另一点B,证明：B、O、M三 点共线： (③)若点C,D在E上，且线段CD的中点在直线y=x上，点P 求△PCD面积的最大值 【答案】(1)x2=y (②)证明见解析 4 解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练 【详解】1)整物线￡：=2m的焦点为F0号)，准线为y=-号 1+卫1 1 由抛物线定义|AF=二+ =4十22解得p=2 因此，抛物线E的方程为x2=y (2)由(1)知， r》 显然直线AF的斜率存在，设直线AF的直线方程为y=红+4' 设4,8国小，则M》 1 联立y=+4,得父--日0， x2=y 则△=1>0.且+巧=，=即名=衣 1 而k=- =无，又对=为，则ka8=上=， 1 所以kow=koB,所以B、O、M三点共线. (3)解法1：由题意，设CD的中点为t,),t≠0，t≠1，Cx,y3),D(x4,4, 则x3+x4=2t,⅓+y4=21 结合=x,y4=x,得x+x=y3+y4=21, 则x-5+户+到.40-2- 2 2 ko=-4=S+￡=x+飞=21， 3-X4x3-x4 所以CDl=V1+(22Vx+x42-4xx4=1+4.V2)2-4(22-t)=2V0-)1+4,t∈(0,1， 直线CD的方程为y-1=21x-t),即2r-y-2t2+1=0, 解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练 则点P分到直线cD的距离4b-12+4_2-21+1.2-21 √4t2+1V42+1V42+1 则△PCD的面积为S=CD0d-I-0(2r-2+) 令u=m-0.u引则f-=, 所以S=u-2u2+1=-2u3+u,则S'(u)=-6u2+1, 令S30,得0<<6，令了<0，得<4s 1 6 所以函数S(u)在0， 6 上单调递增，在 61 6 6’2 上单调递减， 则S=s6-6 69 解法2：同解宏1得到.5=0-可列2-2r+刂-层4-训2r-2+月 24-2-12r-2可s 4-）+(2r-2+1+(2r2-2+1 3 , 当且仅当41-)=22-2+1，即1-3法5对取等号，期3=6 6 9 解法3：设直线CD的方程为y=kx+b, y=kx+b 联立 x=y ，得x-kx-b=0, 则△=k2+4b>0,且xc+xD=k,xxD=-b, yc+yp=kxc+b+kxp+b=k(xc+xp)+2b=k2+2b, 所以+2=，+2=+2b 2 2 2 2 因为线段CD的中点在直线y=x上， 所以车-2b,即6，，则=-b-,, 2 2 则CD=V++xoP-4xcx,=+-2-=V+)k(2-),∈0,2， 2 k-2k+2_K-2k+2, √2+1 k2+1 2V+12VR+1 6 解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练 所以△PCD的面积为s=cDd-k2-k-26+2 2 4 令t=Vk(2-k),t∈(0,1，则k2-2k=-2, 所以5=-t+2_+2,则50=3+2 4 4 4 令5@>0，得0<1<5，令50<0，得6 <t≤1， 3 所以手费S1在5 上单调递增，在 31 上单调递减， 则Sna=S 3 变式1.(2026福建泉州一模)在平面直角坐标系x0y中，已知点A2,0),动点P关于0的对称点为0，且直线 1 4P,A0的斜率之积是4记P的轨迹为曲线E (1)求E的方程： (2)若P关于x轴的对称点为M,求△PQM的面积的最大值. 【答案】0军+少=2 (2)2 【详解】(1)设P(x,y),则Q(-x,-y),则 kin=-y -x-2'且r≠±2， 由知得2之，=- 1 x-2-x-24’ 整毛作=4，即后护- 故E的方程为+少=1(x≠±2).（约束条件也可写成y≠0） 4 (2)解法一： 7 解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练 依题意，得M(x,-y,则MP=(0,2y),M0=(-2x,0), 所以MP.Mg=0,从而MP⊥M0,所以PM⊥QM, 则aP0M的面积S=2PM-OM=22=2o, 医为点P在自线上，则子+产1，所以1=行+2片 即s1,当且仅当 =y川= 时取“=” 2 故△PQM面积的最大值为2. 解法二： 设P(2cos0,sin0),0e0,π)U(π，2π， (-2cos0,-sine),M(2cos0,-sine), 所以Mp=(0,2sin0),M0=(-4cos0,0), 所以MP.M@=0,从而MP⊥M⑨，所以PM⊥QM, 则aPQM的面积s=-M=sin04cosd=2in20, 又sin20≤1,20∈(0,2πU(2元，4π， 故当20=号或20=3红。 之之之2 2， 即0-或0=子或0-华或0=7,3-2 4 解法三： 当直线PQ的斜率不存在时，点M与点Q重合，此时不合题意； 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx(k≠O),P(x,y), 则Q(-x,-y),M(x,-y),从而MP=(0,2y),M⑨=(-2x,0), 所以MP.MQ=0,从而MP⊥M⑨，所以PM⊥QM, y=kx, 4+”=1消去y·得+4)=4，整理，得x2=4 由x2 1+4k2, 的面积S=,PM-M=22=2ka+4k4k+ 解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练 医为时23同4，当且假当收=日号到取 1 1 所以Sx=2 变式2.2526高一重肤月考己知椭圆E名为a>h>0的图心率e子，且过点明 2 B (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点P(1,0)作两条斜率分别为k,k的直线4，l2,4交椭圆于A,B两点，交椭圆于C,D两点，弦AB,CD的中点分 别为M、N 1 (i)当k=一时，求弦长|AB|; ()当k,:-时，求△0m面积的最大值 4 【答案】(I)2I -1 2 2)()5 (i) 2 【1图E号+若=a>6>0的离心率马.马在-马公=， 2 a 2 又横图E过点宁，则后+你=山，联立解得=2= 11 x2.y2 所以椭圆E的标准方程为2+了=1 十 2 (2D当名-号时，直线的方程为y-).设，8以， y=r-消去y得，2x2-2x-1=0,则+=1，=2 由 x2+4y2=2 9 解析几何：三角形面积范围问题、四边形面积范围问题、弦长或线段长度范围问题专项训练 所刘+兮G+-46-5- 2 (D当kk,=-4时，直线的方程为y=kx-),设M(,,N,), y=k(x-1) 由产+4=2消去y得，(4+r-8x+46-2=0,而M是弦AB的中点， 则为-用同度嘉 因此a0的面积S.om=oM1ONsn∠M0N=OM FIONF-1oM1 ONP∠MoN OON-(O-ONyy) 1,4k-k24k3-k -0花花广6+ 21kk(k-k2)川 k-k1。低- ++ 8(k+k)+48(k+k)+48(k+k)+4 8++2 1 1 而庆+22kk民当且仅当或时取等号 1 1 因此当号或=时， 1 1 1 max8, 8,k2+3+ 所以△0MN面积的最大值为g 变式3.2026：河南浴阳积拟预测)已知圆C子+ +京=(a>b>0)经过点 ’2 离心率为} (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为k的直线与椭圆C交于M,N两点，若线段MN的中点为D(L,m)(m>0),求k的取值范围： (3)设椭圆C的左、右焦点分别为E,F,过F作直线I交椭圆于P,Q两点，点E满足FE=2EP,直线EE与OP交于 点4，设：0与△0PQ的面积分别为S,S,求受的取值花国。 【答案】0+1 10