解三角形：中线、角平分线、高线问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 考点一 中线问题 例1．（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角A； (2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角A的大小； （2）以为基底向量，求，，利用向量的夹角公式求的余弦值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 即，即， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）因为，， 由题意可知：， 又因为，， 则，即； ，即； 且； 可得， 所以的余弦值为. 例2．（25-26高三上·湖北武汉·月考）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦边角关系及三角恒等变换化简条件得，即可得； （2）由余弦定理得，结合列方程求； （3）应用等面积法、余弦定理得到，从而求出，即可求. 【详解】（1）由，可得. ， ，又，则， ，又， （2）在中， ，则， 在中，有，即， 在中，有，即， 又，则， 得 ，解得，得； （3）由， ，即， 由余弦定理得，得， ，即，解得 或（舍）， 所以. 例3．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角所对的边分别为，已知，且. (1)求角B ; (2)若的周长为，D为BC的中点.求中线AD的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由向量平行的坐标表示得，应用正弦边角关系、三角恒等变换整理化简得，进而求角； （2）由题设、，应用向量数量积的运算律、余弦定理得、，进而求边长，代入即可得. 【详解】（1）由题设，可得， 由正弦边角关系知， 所以， 即， 所以，而，故， 由，则； （2）由题设，则， 又，则， 所以， 由，，则，可得， 综上，，所以，即. 变式1．（25-26高三上·湖北·月考）已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求解即可； （2）由向量数量积的运算律可得，再利用余弦定理和正弦定理化简，结合锐角三角形条件即可求解. 【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，， 根据正弦定理可得，即， 所以，则， 整理得，即， 又，所以，即. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，所以， 所以中线的取值范围是. 变式2．（25-26高三上·辽宁大连·月考）设函数，其部分图象与坐标轴的交点如图所示． (1)若，求； (2)在中，记内角所对的边分别为，且． （i）判断的形状； （ii）若，求当的最小正周期为多少时，的中线能取得最大值． 【答案】(1) (2)（i）以为顶角的等腰三角形；（ii）当最小正周期为时，能取得最大值 【分析】（1）由函数求得点的坐标，利用锐角三角函数以及正切函数的和角公式，可得答案； （2）（i）由余弦定理，利用角化边化简等式，结合题意，可得答案；（ii）利用向量的线性运算以及数量积，由正弦定理与同角三角函数关系式，根据基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意得，则， 令得， 所以， 所以． （2）（i）在中，由余弦定理得， 所以， 展开整理，有. 若，那么有，由图知，矛盾． 所以，则是以为顶角的等腰三角形． （ii）因为，平方得 在中，由正弦定理可得． 所以， 于是. 故， 当且仅当时取等． 此时，又因为最小正周期， 所以当最小正周期为时，能取得最大值． 变式3．（2025·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得，再结合辅助角公式即可求解. （2）先由面积公式得，再在中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线的最小值，进而可得长. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，. 因为,，所以， 所以，即， 又，，则， 所以. （2）由（1）得，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 当且仅当，即，时，等号成立，    此时， 故. 考点二 角平分线问题 例1．（25-26高三上·云南怒江·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）本题利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换，通过两角差的正弦公式推导角的等量关系，从而证明. （2）本题先由（1）的结论结合正弦定理得到与的关系，再利用角平分线的性质得到三角形内角的关系，结合正弦定理建立关于的方程，求解得到的值. 【详解】（1）由正弦定理得， 得， 得. 因为，，所以，得. （2）由正弦定理，得.① 因为A的角平分线交BC于D，所以，. 在中，得，得. 在中，由正弦定理得， 得.② 由①②得，得（负根舍去）. 例2．（25-26高三上·重庆·月考）已知中，，，分别为内角，，的对边，且； (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由正弦定理将条件变为，化简后用余弦定理即可； （2）首先需列出，代入已知条件即可得出. 【详解】（1）在中，由正弦定理及得： ，化简可得：， 由余弦定理得，又，所以. （2）是的角平分线，则， 由可得 ， 因为，，即有，故. 例3．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可； （3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 即， 由可得，即， 由，可得. （2）因为， 所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，， 所以. （3）如图， 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立， 又， 化简可得，， 所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 变式1．（2026·四川宜宾·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案； （2）利用三角形的面积关系解出即可． 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ，， ，即， ，又， ； （2） 是的角平分线， 由（1）知，，则， 因为， 则， 因为，，即有， 故． 变式2．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在中，角的对边分别为，且 (1)求角； (2)已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再结合辅助角公式即可求解； （2）由，得到，再由正弦定理得到，，代入结合辅助角公式得到，令，由，求解即可. 【详解】（1）， ， ，又， ， 所以， 即， ，，. （2）由于， ， ， .. 由正弦定理：，， 因为，所以， 则 令，则，， ， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以 ， 即长度的最大值为. 变式3．（25-26高三下·河北沧州·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的角平分线的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理将已知等式的角化为边，再结合余弦定理求出角； （2）先根据三角形面积公式求出 的值，再利用角平分线的性质和三角形面积公式求出角平分线的长度. 【详解】（1）由正弦定理可得：，即 ，化简可得， 由余弦定理 . 因为 ，所以 . （2）根据三角形面积公式 ，可得：， 即 ，化简可得 ，解得 . 因为 是角平分线，所以 . 由 得：. ，解得 . 考点三 高线问题 例1．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且. (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求边上的高. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证； （2）由余弦定理可求得，可求的面积. 【详解】（1）因为，所以， 化简得，即， 所以是等腰三角形， （2）由余弦定理可得，得， 解得，由，所以， 所以的面积， 又，所以， 所以. 例2．（25-26高三上·山东济南·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若的面积为，，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合三角形的性质即可求出角； （2）利用余弦定理结合三角形的面积即可求出边上的高. 【详解】（1）由正弦定理得：， 在三角形中， 即， 即， 因为，所以，即，而， 所以，所以，所以. （2）由的面积为，得，即，所以. 由余弦定理得， 得，所以，又，所以， 故边上的高为. 例3．（25-26高一下·湖北武汉·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求及BC边上的高． 【答案】(1)； (2)；BC边上的高为． 【分析】（1）根据辅助角公式及条件，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据条件及正弦定理，可得角B，根据诱导公式及两角和的正弦公式，可得的值，根据正弦定理，可得c值，进而可得BC边上的高 【详解】（1）由题意得，可得， 根据A为三角形的内角，可得， 所以，可得； （2）由正弦定理及，可得， 因为，所以均不为0， 所以，即，所以， 所以 ， 由正弦定理得，则，解得， 所以中，BC边上的高. 变式1．（25-26高三上·江苏扬州·期末）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合余弦定理及同角三角函数关系求得，由此求得，最后得出. （2）结合三角形的面积公式及两角和正弦公式计算求解. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得，所以， 所以 因为，所以， 又因为，所以，所以； （2）设AB边上的高， 由三角形面积公式得， 因为，所以， 因为为的内角，所以， 因为，由正弦定理得，所以. 变式2．（2026·广东茂名·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求a； (2)若的面积为，求AB边上的高CD． 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）由，可得，，然后由正弦定理结合可得答案； （2）由面积为，可得，由余弦定理可得，再结合面积为可得答案. 【详解】（1）根据，可知，， 因为，即， 所以，即； （2），解得， 则，解得， ， ．    变式3．（24-25高三上·广东惠州·月考）如图，在中，为BC边上一点，且. (1)求AB的长； (2)求的值； (3)若的面积为，求中AD边上的高. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用同角三角函数关系得，然后在中利用正弦定理即可求出； （2）结合三角形的性质，由两角和的正弦公式求解即可； （3）方法一：先根据三角形的面积公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可求高； 方法二：先根据三角形的面积公式求出，再在中，利用正弦定理求得，进而求得，即可求高． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以. （2）. （3）方法一：，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 解得（CD舍去）， 所以中AD边上的高为. 方法二：，所以， 在中，， ， 所以中AD边上的高为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 考点一 中线问题 例1.(2026四川宜宾·一模)记ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知√5c=√5 acosB+asinB. (1)求角A: (2)已知BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,且AB=2,AC=4,求∠MPN的余弦值， 例2.(25-26高三上·湖北武汉·月考)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2ac0sB+b=2c, a=6. (1)求A: (2)若bc=9,求中线AM的长； ③)若ABC的内切圆半径，=3W5,求ABC的面积S 2 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 例3.(24-25高一下·云南曲靖·期末)在ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 a=(c-bcos A,3),b=(asin B,3)Ha//b (1)求角B; (2)若b=√5，△ABC的周长为3√5，D为BC的中点.求中线AD的长度 变式1，(25-26高三上·湖北月考)己知a,b,c分别为锐角三角形ABC三个内角A,B,C的对边，且 cosB+3sin B=b+c a (1)求A; (2)若a=V3,D为BC的中点，求中线AD的取值范围. 2 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式2.(25-26高三上·辽宁大连月考)设函数f(x)=Rcos(@x-p)R>0,o>0,0<p 2 其部分图象与坐标轴 的交点如图所示. 0若R=Lo=元9=子，求an∠ABC: (2)在ABC中，记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2-2 ab cos B=(b-c. (i)判断ABC的形状； (ii)若b=sinB,求当∫(x)的最小正周期为多少时，ABC的中线BD能取得最大值. 变式3.（225-四川绵阳-模拟预测)三角形三内角A,B,C的对边分别为a,b,G,已知V56_1-oB a sinA (1)求角B的大小： (2)若ABC的面积等于√3，D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AC边的长 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点二 角平分线问题 例1.(25-26高三上·云南怒江月考)记aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2bc0sA+b. (1)证明：A=2B (2)若b=√5，A的角平分线交BC于D,且AD=2,求a. 例2.(25-26高三上·重庆月考)己知ABC中，a,b,C分别为内角A,B,C的对边，且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C: (1)求角A的大小： (2)设点D为BC上一点，AD是ABC的角平分线，且b=4,c=5,求AD的长度 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 例3.(25-26高三上·河南鹤壁·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=√5且 3a =3csinB+3bcosC. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形，求2a-c的取值范围. (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值. 变式1.(2026·四川宜宾.一模)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足asinB+√3 bcosA=0. (1)求A; (2)设点D为BC上一点，AD是ABC的角平分线，且b=3、c=6,求AD的长度. 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式2.(25-26高三上安徽合肥月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccosB+√3 csinB=a+b (1)求角C; (2)已知c=√5，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值 变式3.(25-26高三下·河北沧州月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin B-sin A c-a sinC a+b (1)求角B的大小： (2)若c=4，,ABC的面积为3V5,求ABC的角平分线BD的长度. 6 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点三 高线问题 例1.(25-26高三上·福建厦门月考)己知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且2 a cos B=c. (1)求证：ABC为等腰三角形： ②者c=2,csC=}求BC边上的高么 例2.(25-26高三上山东济南期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 c.cosA+3c.sinA=a+b (1)求角C; (2)若ABC的面积为V5,2c=a+b,求边BC上的高 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 例3.(25-26高一下·湖北武汉月考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=√2· (1)求A: (2)若a=2,bsin C=csin2B,求sinC及BC边上的高. 变式1.(25-26高三上江苏扬州期末)记ABC内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2-b2=-2 7 ac, sinA =-sinB 8 (1)求A; ②若snC=5,求AB边上的高 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式2.(2026广东茂名一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanC=-√5，csin4A=√5. (1)求a (2)若ABC的面积为3√5，求AB边上的高CD. 变式3.(24-25高三上广东惠州月考)如图，在ABC中，∠B=30°，D为BC边上一点，且 cos∠ADC=2V 7,AD=万 B (I)求AB的长： (2)求sin∠DAB的值； ⊙)若4BC的面积为5，求：4CD巾D边上的高 0