第22章 函数单元复习（5大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

第22章 函数 知识点1：常量与变量 1.定义 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 2.判断方法：看该量在变化过程中是否改变，相对而言，同一量在不同过程中可常量可变量。 知识点2：函数的相关概念 1.函数定义：在一个变化过程中有两个变量、，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，则是的函数，是自变量。 2.函数的三要素：自变量、因变量、对应法则。 3.函数值：当自变量取某一值时，函数的对应值。 知识点3：自变量的取值范围 限制条件 列式要求 整式型 全体实数 分式型 分母 二次根式型 被开方数 分式+根式型 分母且被开方数 实际问题 符合实际意义（非负、整数等） 知识点4：函数的三种表示方法 1.解析式法：用数学式子表示函数关系，简洁准确，便于计算。 2.列表法：用表格列出自变量与函数值，直观明了，数据清晰。 3.图象法：用图象表示函数关系，形象直观，体现变化趋势。 知识点5：函数图象 1.定义：以自变量为横坐标，函数为纵坐标的点组成的图形。 2.画法步骤：列表→描点→连线（光滑曲线/直线）。 3.判断图象是否为函数：竖线法，作竖线与图象最多一个交点，满足则为函数。 【基础必考题型】 【题型1】常量与变量的识别 1.核心知识点: 常量与变量的定义 变量与常量的相对性 2.解题方法技巧: 找变化量与不变量，数值不变是常量，数值改变是变量 结合实际情境判断，同一量不同过程属性可能不同 【例题1】.（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 【变式题1-1】.（24-25八年级下·广西河池·月考）半径为r的圆的周长公式为，则常量和变量分别是（   ） A．常量是2；变量是C，π，r B．常量是2π；变量是C，r C．常量是2π；变量是r D．常量是2；变量是C，r 【变式题1-2】.（24-25六年级下·山东威海·期末）一物体自高处自由落下，其运动的距离与它下落的时间的关系式是（其中取），对于变量和常量下列说法正确的是（　　） A．是常量，是变量 B．是常量，是变量 C．是常量，是变量 D．是常量，是变量 【变式题1-3】.（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【题型2】函数定义的理解与判断 1.核心知识点: 函数定义中“唯一确定”的核心要求 非函数关系：一个对应多个 2.解题方法技巧: 紧扣“一对一、多对一”是函数，“一对多”不是函数 竖线检验法：竖线与图象仅有一个交点即为函数图象 【例题2】.（25-26八年级下·广东惠州·期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·北京·期中）下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【变式题2-3】.（25-26八年级下·福建福州·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】求函数自变量的取值范围 1.核心知识点: 整式、分式、根式的限制条件 实际问题的合理性要求 2.解题方法技巧: 分式看分母≠0，根式看被开方数≥0，综合型取交集 实际问题：长度、时间、数量等非负，人数、件数等取正整数 【例题3】.（25-26八年级下·广东惠州·期中）在函数中，自变量的取值范围是___________． 【变式题3-1】.（2026·上海崇明·二模）函数的定义域是__________． 【变式题3-2】.（2022·浙江宁波·模拟预测）函数的自变量的取值范围是____________． 【变式题3-3】.（2026·黑龙江佳木斯·一模）函数 的自变量 x的取值范围是_________________ 【题型4】函数的三种表示方法辨析 1.核心知识点: 解析式法、列表法、图象法的特点 三种方法的相互转化 2.解题方法技巧: 表格找规律写解析式，解析式取点画图象 图象读取关键点，转化为表格或解析式 【例题4】.（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·河北邢台·月考）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是(　　) ①圆的周长是半径的函数；②表达式中，是的函数； ③如表，是的函数；④如图，曲线表示是的函数． n A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式题4-2】.（24-25九年级上·北京丰台·期末）鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； (2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； (3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 【变式题4-3】.（24-25九年级上·北京·月考）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．如果呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 光合作用产氧速率（） 0.02 0.18 0.30 0.40 0.58 0.82 1.42 0.90 0.40 0.02 呼吸作用耗氧速率（） 0.03 0.10 0.15 0.20 0.28 0.37 0.42 0.60 0.82 0.60 通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率都是这个自变量的函数． (1)建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，图中已经画出了呼吸作用耗氧速率的函数图象．请补全其余点，并画出光合作用产氧速率的函数图象； (2)结合函数图象，回答下列问题：（所有数据均精确到整数部分） ①最适合草莓生长的温度约为________℃； ②当的取值范围为________时，草莓生长缓慢． 【培优高频题型】 【题型5】函数值的计算 1.核心知识点: 代入求值法 分段函数的分段代入 2.解题方法技巧: 先判断自变量所属范围，再代入对应解析式 已知函数值求自变量，分类讨论，检验取值范围 【例题5】.（25-26八年级下·福建福州·期中）变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，测定某弹簧的长度与所挂重物函数关系的装置．弹簧不挂任何重物时的长度为120毫米．在弹簧下端依次挂上不同个数的钩码，待钩码静止后，量出弹簧的长度l．得到的数据记录在下面的表格中： 钩码的个数n/个 0 1 2 3 4 … 10 弹簧长度l/毫米 120 125 130 135 140 … 170 (1)如果用n表示悬挂的钩码数量，l表示弹簧长度，在弹簧的弹性限度内，请你写出弹簧长度l与钩码个数n之间的函数表达式； (2)弹簧长度l为155毫米时，求悬挂的钩码数量． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度和点燃后的时间之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为_____． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）已知y与x之间满足，且当时，．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【题型6】函数图象的绘制 1.核心知识点: 函数图象绘制三步骤 自变量取值范围对图象的限制 2.解题方法技巧: 取值有代表性，覆盖关键点与端点 连线平滑，端点实心/空心按范围规范绘制 【例题6】.（2026·北京·模拟预测）某科创小组测试了无人机“最大飞行高度与飞行速度的关系”，得到了如下实验数据，请你参与探究． 速度 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 最大高度 80 220 350 440 500 480 420 360 300 250 (1)根据函数的定义，设______为y，______为x，y是x的函数； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，回答下列问题： 下列说法正确的有______（填序号） ①y随x的增大而减小； ②当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高； ③速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低． (4)若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在______至______范围内（结果取整数）． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河南南阳·月考）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … (1)表格中： ， ． (2)在直角坐标系中画出该函数图像． (3)观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·北京·期中）沙漏，又称沙钟，是以流沙计时的古代装置．某校在九年级开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径． 探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量（单位：）与时间（单位：）之间的关系，部分数据如下： 探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完沙子所用的时间（单位：）与孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 根据以上探究的实验数据，解决下列问题： (1)在探究一中，时漏下沙子的质量约为_____（结果保留小数点后一位）； (2)推断：探究一中所用沙漏的孔径为_____； (3)通过探究二，发现可以用函数刻画时间与孔径之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； ②根据函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为_____（结果保留小数点后一位）． 【变式题6-3】.（25-26九年级下·宁夏银川·月考）如图（1），A，C是平面内的两个定点，，P为射线AB上一动点，过点P作的垂线交直线于点D．设的度数为，的度数为．小贤对x与y之间满足的等量关系进行了探究．下面是小贤的探究过程，请补充完整： (1)如图（2），当时，依题意补全图形； (2)按照表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格； x … 30 40 60 80 90 … y … … (3)如图（3）所示的是平面直角坐标系， ①通过描出表中各组数值所对应的点，画出y与x的函数图象； ②结合①中的图象填空，当时，x的值为 ． x … 30 40 60 80 90 … y … 30 20      0      20      30       … 【压轴素养题型】 【题型7】从函数图象获取信息 1.核心知识点: 图象横纵坐标的实际意义 图象上升、下降、水平的含义 2.解题方法技巧: 先看清坐标轴代表的量，再看走势与特殊点 交点表示相等，水平段表示不变，上升下降表示增减 【例题7】.（25-26八年级下·北京·期中）甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，所有正确的序号是_____．（填序号） 【变式题7-1】.（25-26八年级下·北京房山·期中）房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论： ①甲到达终点时，乙还有米未跑； ②甲跑完全程用时； ③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次； ④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长． 上述结论中，所有正确结论的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题7-2】.（25-26八年级下·河北衡水·期中）石家庄市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图象可得，________，________，________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (3)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ 【变式题7-3】.（25-26八年级下·北京·期中）电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响．下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量的部分实验数据，其中为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量（单位：），为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量（单位：）．注：电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)在温度为___________时，两款电池相对容量相同； (3)在___________下，锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等． 【题型8】动点问题的函数图象 1.核心知识点: 动点路径与线段长度、面积变化 分段函数与分段图象 2.解题方法技巧: 按动点运动阶段分段，每段找解析式 抓拐点、终点，确定图象转折点坐标 【例题8】.（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【变式题8-1】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）在清明祭英烈活动中，某中学组织学生代表，前往上海一大会址参与研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，历时50分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离校的时间为分钟，离学校的距离为米，那么下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在中，，动点P和Q均从点A出发，沿的方向运动，两点出发后相遇时运动停止．已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，任意一个动点到达点C后其速度将变为原速度的3倍．记两点之间的距离为y个单位长度，运动时间为t秒，y关于t的函数图象如图2所示． （1）______； （2）当两点停止运动时，______． 【变式题8-3】.（2026·湖北荆州·模拟预测）如图1是一个轨道的示意图，四边形是矩形，对角线，交于点，，此矩形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点处安装了一台观测仪．小爱操作机器人以的速度沿轨道匀速运动，机器人从点出发，经过了，，三点各一次并最终到达点．记机器人运动的时间为，机器人到观测仪的距离为，机器人在轨道中转弯所用的时间忽略不计．观测仪中所记录的与的函数关系的图象如图2所示． 根据上述信息回答： （1）机器人的运动路线是：________________________（填“”“”或“”）； （2）当时，________． 易错点 1.函数定义判断失误，忽略“唯一确定”，将一对多关系误判为函数。 2.自变量取值范围漏考虑限制条件，分式分母为0、根式被开方数为负、实际问题为负。 3.函数图象判断错误，竖线法运用不熟练，误判非函数图象。 4.分段函数求值不看范围，代入错误解析式。 5.实际问题忽略自变量为整数、非负数等限制条件。 重点 1.常量、变量、函数、自变量的概念理解。 2.自变量取值范围的求法（分式、根式、实际问题）。 3.函数三种表示方法及相互转化。 4.函数图象的画法与信息提取。 5.函数在实际、几何、动点问题中的应用。 难点 1.动点问题的函数图象分析与分段处理。 2.函数与几何图形面积的综合建模。 3.分段函数的理解、计算与图象绘制。 4.新定义、跨学科情境下的函数关系构建。 5.数形结合思想在函数问题中的灵活运用。 【对应练习题】 一、单选题 1．水池蓄水500立方米，每小时放水2立方米，t小时后，水池中的水Q（立方米）与t（小时）的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．广西南宁市武鸣区是全国知名的沃柑主产区，南宁沃柑以果皮光滑、果肉脆嫩、甜度高、汁水足而闻名，是南宁的特色水果名片．南宁沃柑的市场零售价为5元/斤，买m斤沃柑共支付n元，则5和m分别是（  ） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 3．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 二、填空题 5．正方形的周长公式为，其中常量是________． 6．在函数中，自变量的取值范围是_____． 7．在数学综合实践活动中，初二年级举行折正方体的活动．每个正方体由24张正方形纸片折叠组成，数学组为每个班购买了20包正方形纸片，每一包有100张纸片．若某班同学共叠了x个正方体，剩余y张纸片，则函数y关于x的关系式是___________（不要求写出自变量的取值范围） 8．下列关系式：，其中是的函数的是____（填序号） 三、解答题 9．已知函数，当时，求对应的值，并用列表法表示． 1 2 3 1 4 7 10．写出下列各问题中的常量与变量． (1)每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； (2)用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 11．甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示． (1)从城到城的路程是________km； (2)甲、乙两车的平均速度分别为多少？ (3)乙在什么时刻追上甲？ 12．已知y与x两变量具有如下函数关系： 当时，两变量的函数关系为，图象如图所示； 当时，两变量的函数关系为． (1)请在网格中画出时，y关于x的函数图象； (2)当时，y随x的增大而______；（填“增大”或“减小”） (3)请判断点是否在y关于x的函数图象上，并说明理由． x 0 1 2 y 0 5 8 9 8 5 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 函数 知识点1：常量与变量 1.定义 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 2.判断方法：看该量在变化过程中是否改变，相对而言，同一量在不同过程中可常量可变量。 知识点2：函数的相关概念 1.函数定义：在一个变化过程中有两个变量、，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，则是的函数，是自变量。 2.函数的三要素：自变量、因变量、对应法则。 3.函数值：当自变量取某一值时，函数的对应值。 知识点3：自变量的取值范围 限制条件 列式要求 整式型 全体实数 分式型 分母 二次根式型 被开方数 分式+根式型 分母且被开方数 实际问题 符合实际意义（非负、整数等） 知识点4：函数的三种表示方法 1.解析式法：用数学式子表示函数关系，简洁准确，便于计算。 2.列表法：用表格列出自变量与函数值，直观明了，数据清晰。 3.图象法：用图象表示函数关系，形象直观，体现变化趋势。 知识点5：函数图象 1.定义：以自变量为横坐标，函数为纵坐标的点组成的图形。 2.画法步骤：列表→描点→连线（光滑曲线/直线）。 3.判断图象是否为函数：竖线法，作竖线与图象最多一个交点，满足则为函数。 【基础必考题型】 【题型1】常量与变量的识别 1.核心知识点: 常量与变量的定义 变量与常量的相对性 2.解题方法技巧: 找变化量与不变量，数值不变是常量，数值改变是变量 结合实际情境判断，同一量不同过程属性可能不同 【例题1】.（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 【答案】B 【分析】本题主要考查了变量与常量的定义，明确在变化过程中，可变的量为变量，固定不变的量为常量，结合球的体积公式即可． 【详解】解：在球的体积公式中，和是固定不变的数值，的数值随的变化而变化，可取不同的数值， ∴变量是、，常量是、． 【变式题1-1】.（24-25八年级下·广西河池·月考）半径为r的圆的周长公式为，则常量和变量分别是（   ） A．常量是2；变量是C，π，r B．常量是2π；变量是C，r C．常量是2π；变量是r D．常量是2；变量是C，r 【答案】B 【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，理解常量，变量的定义是解题的关键． 根据变量和常量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量． 在圆的周长公式中，周长随半径的变化而变化，而和是固定值． 【详解】解：圆的周长公式为，其中表示周长，表示半径． 当半径变化时，周长也随之变化，因此和是变量． 公式中的和是固定不变的常数，属于常量． 故选：B． 【变式题1-2】.（24-25六年级下·山东威海·期末）一物体自高处自由落下，其运动的距离与它下落的时间的关系式是（其中取），对于变量和常量下列说法正确的是（　　） A．是常量，是变量 B．是常量，是变量 C．是常量，是变量 D．是常量，是变量 【答案】B 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，关系式中变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量． 根据变量和常量的定义，结合题目中的关系式进行判断． 【详解】解：在公式中：和是固定数值，属于常量；h、t会随运动过程变化，属于变量， 故选：B． 【变式题1-3】.（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【答案】A 【分析】本题考查常量和变量，根据常量就是固定不变的量；变量就是随时变化的量解答即可． 【详解】在三角形面积公式中，当底边为定值时，和均为固定不变的常量。面积随高的变化而变化，因此和是变量 故选：A． 【题型2】函数定义的理解与判断 1.核心知识点: 函数定义中“唯一确定”的核心要求 非函数关系：一个对应多个 2.解题方法技巧: 紧扣“一对一、多对一”是函数，“一对多”不是函数 竖线检验法：竖线与图象仅有一个交点即为函数图象 【例题2】.（25-26八年级下·广东惠州·期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，该曲线能表示y是x的函数，故选项A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，该曲线能表示y是x的函数，故选项B不符合题意； C、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，该曲线不能表示y是x的函数，故选项C符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，该曲线能表示y是x的函数，故选项D不符合题意． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·北京·期中）下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 【答案】D 【分析】根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量x和y，给定x的一个值，y有唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断解答即可． 【详解】解：A.根据图象可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； B.根据表格可得给一个m的值，n，t都有唯一确定值，所以n，t都是m的函数，正确； C.根据关系式可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； D.给一个x的值，y有无数个值与其对应，y不是x的函数，原说法错误． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】D 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、圆的面积随半径的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·福建福州·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：对于每一个x的值，都有唯一确定的y与其对应，符合题意； 对于选项B：存在一个x对应多个y的情况，不符合题意； 对于选项C：存在一个x对应多个y的情况，不符合题意； 对于选项D：存在一个x对应多个y的情况，不符合题意． 【题型3】求函数自变量的取值范围 1.核心知识点: 整式、分式、根式的限制条件 实际问题的合理性要求 2.解题方法技巧: 分式看分母≠0，根式看被开方数≥0，综合型取交集 实际问题：长度、时间、数量等非负，人数、件数等取正整数 【例题3】.（25-26八年级下·广东惠州·期中）在函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，只需分母不为0，列出分母不为0的式子求解即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得，解得． 【变式题3-1】.（2026·上海崇明·二模）函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】解：要使函数有意义，需满足分式分母不为，即， 解得 ． 【变式题3-2】.（2022·浙江宁波·模拟预测）函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式和分式有意义的条件，可得：， 解，得， 解，得，即， 综上可得，自变量的取值范围是且． 【变式题3-3】.（2026·黑龙江佳木斯·一模）函数 的自变量 x的取值范围是_________________ 【答案】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，根据两种代数式有意义的要求列出不等式，取解集的公共部分即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得， 解不等式得， 解不等式得， 取两个解集的公共部分，得． 【题型4】函数的三种表示方法辨析 1.核心知识点: 解析式法、列表法、图象法的特点 三种方法的相互转化 2.解题方法技巧: 表格找规律写解析式，解析式取点画图象 图象读取关键点，转化为表格或解析式 【例题4】.（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·河北邢台·月考）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是(　　) ①圆的周长是半径的函数；②表达式中，是的函数； ③如表，是的函数；④如图，曲线表示是的函数． n A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数，每一个半径都只有一个周长C与之对应，表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数，每一个都只有一个与之对应，表述正确，故②符合题意； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故选：C． 【变式题4-2】.（24-25九年级上·北京丰台·期末）鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； (2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； (3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】(1)11 (2)21，27 (3) 【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （2）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （3）根据表格数据和函数图象观察即可得解． 【详解】（1）解：由图可知当第11天之后，， （2）由图可知，蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性； （3）由图可知，当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，大约当第21天时，n的最大值约为， 【变式题4-3】.（24-25九年级上·北京·月考）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．如果呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 光合作用产氧速率（） 0.02 0.18 0.30 0.40 0.58 0.82 1.42 0.90 0.40 0.02 呼吸作用耗氧速率（） 0.03 0.10 0.15 0.20 0.28 0.37 0.42 0.60 0.82 0.60 通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率都是这个自变量的函数． (1)建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，图中已经画出了呼吸作用耗氧速率的函数图象．请补全其余点，并画出光合作用产氧速率的函数图象； (2)结合函数图象，回答下列问题：（所有数据均精确到整数部分） ①最适合草莓生长的温度约为________℃； ②当的取值范围为________时，草莓生长缓慢． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了用描点法画函数图象，以及利用函数图象获取信息的能力. （1）描出表中各组数值所对应的点，顺次连成平滑的曲线即可得函数图象， （2）观察图象可知，①当温度在约时，草莓合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，适合草莓生长， ②当温度超过时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，草莓生长缓慢． 【详解】（1）解：如图： （2）①当温度在约时，草莓合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，适合草莓生长， ②当温度超过时，即的取值范围为时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，草莓生长缓慢． 故答案为：①，②. 【培优高频题型】 【题型5】函数值的计算 1.核心知识点: 代入求值法 分段函数的分段代入 2.解题方法技巧: 先判断自变量所属范围，再代入对应解析式 已知函数值求自变量，分类讨论，检验取值范围 【例题5】.（25-26八年级下·福建福州·期中）变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律即可求解． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 当时，． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，测定某弹簧的长度与所挂重物函数关系的装置．弹簧不挂任何重物时的长度为120毫米．在弹簧下端依次挂上不同个数的钩码，待钩码静止后，量出弹簧的长度l．得到的数据记录在下面的表格中： 钩码的个数n/个 0 1 2 3 4 … 10 弹簧长度l/毫米 120 125 130 135 140 … 170 (1)如果用n表示悬挂的钩码数量，l表示弹簧长度，在弹簧的弹性限度内，请你写出弹簧长度l与钩码个数n之间的函数表达式； (2)弹簧长度l为155毫米时，求悬挂的钩码数量． 【答案】(1) (2)7个 【分析】（1）根据表格中n和l的变化规律即可得解； （2）令，解方程，求出n即可得解． 【详解】（1）解：由上表可以看出， 钩码的个数n每增加1个，弹簧长度l增加5毫米， ； （2）解：当时，， 解得， 答：悬挂的钩码数量为7个． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度和点燃后的时间之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为_____． 【答案】 【分析】先将已知的重力加速度g、初速度代入高度关系式，得到离地面的高度和点燃后的时间之间的关系式，再将代入关系式即可求得离地面的高度． 【详解】解：将和代入关系式， 得， 将代入关系式，得， ∴在点燃后的时，离地面的高度为． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）已知y与x之间满足，且当时，．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）将代入求解即可； （3）将代入求解即可； 【详解】（1） 解：∵，当时，， 将代入解析式得， 解得， 因此； （2）解：将代入得； （3）解：将代入得， 整理得， 解得 ． 【题型6】函数图象的绘制 1.核心知识点: 函数图象绘制三步骤 自变量取值范围对图象的限制 2.解题方法技巧: 取值有代表性，覆盖关键点与端点 连线平滑，端点实心/空心按范围规范绘制 【例题6】.（2026·北京·模拟预测）某科创小组测试了无人机“最大飞行高度与飞行速度的关系”，得到了如下实验数据，请你参与探究． 速度 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 最大高度 80 220 350 440 500 480 420 360 300 250 (1)根据函数的定义，设______为y，______为x，y是x的函数； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，回答下列问题： 下列说法正确的有______（填序号） ①y随x的增大而减小； ②当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高； ③速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低． (4)若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在______至______范围内（结果取整数）． 【答案】(1)最大飞行高度，飞行速度 (2)见解析 (3)②③ (4)， 【分析】（1）根据最大飞行高度是随飞行速度的变化而变化的解答即可； （2）先描点，再用平滑曲线连接即可； （3）结合函数图象解答即可； （4）根据表格的数据画大致图形解答即可． 【详解】（1）解：根据函数的定义，设最大飞行高度为，飞行速度为，是的函数． （2）解：在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象如下： （3）解：由函数图象可知，随的增大先增大，再减小，则说法①错误； 当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高，则说法②正确； 当速度过快，即时，速度越大高度越低；当速度过慢，即时，速度越小高度越低；综上，速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低，则说法③正确． （4）解：由表格的数据画大致图形如下： 若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在至范围内． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河南南阳·月考）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … (1)表格中： ， ． (2)在直角坐标系中画出该函数图像． (3)观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 【答案】(1)3；5 (2)见解析 (3)①；②见解析 【分析】（1）分别将和代入函数解析式，即可解答； （2）根据表格数据，先描点，再连线画出函数图像即可； （3）直接根据函数图像解答即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∴，； （2）解：如图函数图像即为所求作： （3）解：①根据函数图像可得，函数的最小值是； ②观察函数的图像，该图像的性质有：关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·北京·期中）沙漏，又称沙钟，是以流沙计时的古代装置．某校在九年级开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径． 探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量（单位：）与时间（单位：）之间的关系，部分数据如下： 探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完沙子所用的时间（单位：）与孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 根据以上探究的实验数据，解决下列问题： (1)在探究一中，时漏下沙子的质量约为_____（结果保留小数点后一位）； (2)推断：探究一中所用沙漏的孔径为_____； (3)通过探究二，发现可以用函数刻画时间与孔径之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； ②根据函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为_____（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)①见详解 ；②（答案不唯一） 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，表格数据的统计和分析． （1）根据表格中的数据提取信息，根据数据间的关系解答即可； （2）根据表格中的数据提取信息，得出答案； （3）①根据表格中的已知数据在直角坐标系中描出坐标点，连接各点形成光滑的曲线即为函数的图象； ②根据①中所得函数图象，找到为时的值即可． 【详解】（1）解：∵探究一中，时，，时，， ∵是和的中点， ∴可以近似取和时的中间值，即， ∴可以近似取；（答案不唯一） （2）解：∵探究一中：漏完沙子需， 对照探究二数据：当时，漏完沙子所用的时间， ∴探究一中所用沙漏的孔径为； （3）解：①描点坐标：，，，，，并绘制函数的图象如下图， ②观察①所得函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，即当时，对应的孔径的值约等于．（答案不唯一） 【变式题6-3】.（25-26九年级下·宁夏银川·月考）如图（1），A，C是平面内的两个定点，，P为射线AB上一动点，过点P作的垂线交直线于点D．设的度数为，的度数为．小贤对x与y之间满足的等量关系进行了探究．下面是小贤的探究过程，请补充完整： (1)如图（2），当时，依题意补全图形； (2)按照表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格； x … 30 40 60 80 90 … y … … (3)如图（3）所示的是平面直角坐标系， ①通过描出表中各组数值所对应的点，画出y与x的函数图象； ②结合①中的图象填空，当时，x的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)30，20，0，20，30 (3)①见解析，②10或110 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据题意，利用三角形内角和以及外角定理求出相关角的度数，然后画出图形即可； （3）①描点，连线，画出图形即可； ②根据函数图象，求出自变量的取值． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：当时，即， ∵， ∴， ∴； 同理当时，， ； 当时，； 当时，，点D在点A左侧，如图， ∵， ∴， ∴； 当时，点D，A重合，如图， ∴； 补全表格如下： x … 30 40 60 80 90 … y … 30 20      0      20      30       … （3）解：①描点，连线，作图如下， ②由图象可得时，或． 【压轴素养题型】 【题型7】从函数图象获取信息 1.核心知识点: 图象横纵坐标的实际意义 图象上升、下降、水平的含义 2.解题方法技巧: 先看清坐标轴代表的量，再看走势与特殊点 交点表示相等，水平段表示不变，上升下降表示增减 【例题7】.（25-26八年级下·北京·期中）甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，所有正确的序号是_____．（填序号） 【答案】①② 【分析】当时，甲、乙两人分别在，两地，此时甲、乙两人之间的距离即为，之间的距离；当时，甲、乙两人相遇；当时，甲、乙两人开始背向而行；当时，乙到达地，而甲继续向地运动． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据图象可知，当时，甲、乙两人分别在，两地，此时甲、乙两人之间的距离即为，之间的距离，结论①正确． 当时，甲、乙两人相遇，两人运动的总路程为，所以． 当时，甲、乙两人开始背向而行，当时，两人的距离，所以，结论③错误． 当时，乙到达地，而甲继续向地运动， 此时乙共运动，用时，则， 所以， 所以乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确． 当乙到达地后，甲继续运动了，所用时间， 所以，结论④错误． 综上所述，正确的序号是①②． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·北京房山·期中）房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论： ①甲到达终点时，乙还有米未跑； ②甲跑完全程用时； ③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次； ④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长． 上述结论中，所有正确结论的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意和函数图像可以判断每个结论是否正确． 【详解】解：由图可知， 甲到达终点时，甲、乙两位选手之间的距离为，所以乙还有米未跑，故①正确； 由可知甲跑完全程用时，故②正确； 起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手在点A和点B共相遇两次，故③正确； 出发后甲、乙两位选手第一次相遇所用的时间长为，第二次相遇所用的时间长为，所以第一次相遇比第二次相遇所用的时间短，故④错误， 综上，共有3个正确结论． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·河北衡水·期中）石家庄市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图象可得，________，________，________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (3)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ 【答案】(1)8；3； (2) (3)35元 【分析】（1）根据函数图象可知a和b的值，进而可求出c的值； （2）用起步价加上超过3千米部分的费用可得答案； （3）根据（2）所求求出时y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：由（1）得； （3）解：在中，当时，， 答：他应付乘车费35元． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·北京·期中）电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响．下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量的部分实验数据，其中为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量（单位：），为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量（单位：）．注：电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)在温度为___________时，两款电池相对容量相同； (3)在___________下，锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先描点，再连线，即可画出与的函数图象； （2）根据表格中的数据进行解答即可； （3）根据表格中的数据得出答案即可． 【详解】（1）解：与的函数图象如图． （2）解：由表可知，在温度为时两款电池相对容量相同． （3）解：由表可知，在温度为或时，锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等． 【题型8】动点问题的函数图象 1.核心知识点: 动点路径与线段长度、面积变化 分段函数与分段图象 2.解题方法技巧: 按动点运动阶段分段，每段找解析式 抓拐点、终点，确定图象转折点坐标 【例题8】.（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据题意和函数图象，分析点和点的运动过程，由时，求出点的速度和的长；由到达点的时间确定的值；根据矩形面积公式判断②；根据当时，点到达点，计算此时的面积判断③；分段讨论时的值判断④．　 【详解】解：由题意可知，点的速度为，，则点运动到点的时间为； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点，此时，即 ， 此时， ∴， 解得， ∴点的速度为，故①正确； ∴矩形的面积为，故②错误； 当时，点到达点，此时， 此时点运动路程为， ∵， ∴点在边上，且距离点， 即此时的底边，高为， ∴，即，故③正确； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点， ∴， 当点到达点时，此时， ∴当时，分情况讨论： 当点在上时（），，，，解得（负值舍去）； 当点在上时（），的最小值为时的，最大值为，故不可能为； 当点在上时（），点已停在点，， 点走过的总路程为，则， ， 令，解得， 综上所述，或，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）在清明祭英烈活动中，某中学组织学生代表，前往上海一大会址参与研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，历时50分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离校的时间为分钟，离学校的距离为米，那么下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三个部分：第一部分从学校出发前往纪念馆，第二部分在纪念馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，第三部分从纪念馆返回学校，得出每个部分y随x的变化情况，结合函数图象可得答案． 【详解】解：整个函数图象可以分为三部分：第一部分从学校出发前往纪念馆，此时y随x的增大而增大； 第二部分在纪念馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，此时y不发生变化； 第三部分从纪念馆返回学校，此时y随x的增大而减小，且变化的速度比第一部分的慢； ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意； 【变式题8-2】.（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在中，，动点P和Q均从点A出发，沿的方向运动，两点出发后相遇时运动停止．已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，任意一个动点到达点C后其速度将变为原速度的3倍．记两点之间的距离为y个单位长度，运动时间为t秒，y关于t的函数图象如图2所示． （1）______； （2）当两点停止运动时，______． 【答案】 2 【分析】（1）根据图2可得点Q在时候运动到点，即可解答； （2）根据图2可得点Q在时候运动到点，计算此时的距离，即可解答． 【详解】解：（1）根据图2可得点Q在时候运动到点， ； （2）根据图2可得点Q在时候运动到点， ， 此时， ， 点到达点C后其速度将变为每秒6个单位长度， ∴当两点停止运动时，． 【变式题8-3】.（2026·湖北荆州·模拟预测）如图1是一个轨道的示意图，四边形是矩形，对角线，交于点，，此矩形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点处安装了一台观测仪．小爱操作机器人以的速度沿轨道匀速运动，机器人从点出发，经过了，，三点各一次并最终到达点．记机器人运动的时间为，机器人到观测仪的距离为，机器人在轨道中转弯所用的时间忽略不计．观测仪中所记录的与的函数关系的图象如图2所示． 根据上述信息回答： （1）机器人的运动路线是：________________________（填“”“”或“”）； （2）当时，________． 【答案】 【分析】(1) 由判定为等边三角形，求出矩形边长与对角线长，再结合图象中随的变化趋势确定运动路线． (2) 根据运动路线和速度，确定时机器人在$BC$上的位置，利用勾股定理求出到观测仪的距离． 【详解】解：∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，， ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， 机器人从出发，时，说明第一段走了到达距为的点， 若先走，则到、、的距离均为，后续的变化无法达到图象所示的最高点， ∴ 第一段为，此时， 从继续运动，要使达到最大值，需到达点（）， ∴ 第二段为， 从继续运动，从降为，到达点（）， ∴ 第三段为， 最后从到达， ∴ 运动路线为． ∵ 机器人速度为， ∴ 当时，机器人运动了， ∵ ， ∴ 机器人已过点，在上且， ∵ ， ∴ ． 易错点 1.函数定义判断失误，忽略“唯一确定”，将一对多关系误判为函数。 2.自变量取值范围漏考虑限制条件，分式分母为0、根式被开方数为负、实际问题为负。 3.函数图象判断错误，竖线法运用不熟练，误判非函数图象。 4.分段函数求值不看范围，代入错误解析式。 5.实际问题忽略自变量为整数、非负数等限制条件。 重点 1.常量、变量、函数、自变量的概念理解。 2.自变量取值范围的求法（分式、根式、实际问题）。 3.函数三种表示方法及相互转化。 4.函数图象的画法与信息提取。 5.函数在实际、几何、动点问题中的应用。 难点 1.动点问题的函数图象分析与分段处理。 2.函数与几何图形面积的综合建模。 3.分段函数的理解、计算与图象绘制。 4.新定义、跨学科情境下的函数关系构建。 5.数形结合思想在函数问题中的灵活运用。 【对应练习题】 一、单选题 1．水池蓄水500立方米，每小时放水2立方米，t小时后，水池中的水Q（立方米）与t（小时）的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余水量=原有水量-放出水量，推导与的函数关系式即可． 【详解】解：∵水池原有水量为500立方米，每小时放水2立方米， ∴t小时一共放出水量立方米， 剩余水量等于原有水量减去放出水量， 可得． 2．广西南宁市武鸣区是全国知名的沃柑主产区，南宁沃柑以果皮光滑、果肉脆嫩、甜度高、汁水足而闻名，是南宁的特色水果名片．南宁沃柑的市场零售价为5元/斤，买m斤沃柑共支付n元，则5和m分别是（  ） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 【答案】A 【分析】根据定义判断5和m的属性即可得到结果． 【详解】解：沃柑的零售价5元/斤是固定不变的数值，故5是常量． 购买沃柑的斤数可以取不同的数值，故是变量． 因此5是常量，是变量． 3．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于的每一个确定的值，可能有多个值，故不是的函数； B．对于的每一个确定的值，只有一个值，故是的函数； C．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数； D．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数． 4．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】A 【分析】根据表格获取数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解:A. ∵从增加到时，减少 ，从增加到 时，减少 ， ∴每增加，减小的值不是固定的 ，故A错误，符合题意； B. 由表格数据可知，当 时， ，B正确，不符合题意； C. 观察表格数据，支撑物高度越大，小车下滑时间越小， 因此随着逐渐升高，逐渐变小，故C正确，不符合题意； D. 木板长度不变，即小车下滑路程不变， ∵随着升高，逐渐变小， ∴平均速度逐渐加快，故D正确，不符合题意． 二、填空题 5．正方形的周长公式为，其中常量是________． 【答案】4 【分析】在变化过程中，数值不发生改变的量为常量， 【详解】解：在公式中，周长随正方形边长的变化而变化，因此和是变量，的数值保持不变，故常量是． 6．在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得， 解不等式得． 7．在数学综合实践活动中，初二年级举行折正方体的活动．每个正方体由24张正方形纸片折叠组成，数学组为每个班购买了20包正方形纸片，每一包有100张纸片．若某班同学共叠了x个正方体，剩余y张纸片，则函数y关于x的关系式是___________（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】先计算出正方形纸片的总数量，再根据剩余纸片数等于总纸片数减去折叠个正方体所用纸片数，推导得到关于的函数关系式． 【详解】解：由题意可知，正方形纸片的总数量为张， 折叠个正方体所用纸片数量为张， 根据剩余纸片数量等于总纸片数量减去所用纸片数量，可得． 8．下列关系式：，其中是的函数的是____（填序号） 【答案】①②④⑥ 【分析】根据函数的定义，判断每个关系式中，对x的任意一个确定的值，是否有唯一确定的y值与之对应，逐一判断即可得到结果． 【详解】解：① 对于关系式 ，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． ② 对于关系式 ，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． ③ 对于关系式 ，当x取任意非零确定值时，y有两个不同的值与之对应，因此y不是x的函数． ④ 对于关系式 ，当x取任意满足条件的确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． ⑤ 对于关系式 ，当x取任意非零确定值时，y有两个不同的值与之对应，因此y不是x的函数． ⑥ 对于关系式 ，x取任意确定值时，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是x的函数． 三、解答题 9．已知函数，当时，求对应的值，并用列表法表示． 【答案】见解析 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， 1 2 3 1 4 7 10．写出下列各问题中的常量与变量． (1)每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； (2)用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 【答案】(1)练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量 (2)矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量 【详解】（1）解： 练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量； （2）解：， 矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量． 11．甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示． (1)从城到城的路程是________km； (2)甲、乙两车的平均速度分别为多少？ (3)乙在什么时刻追上甲？ 【答案】(1)甲、乙两车各行驶了千米 (2)甲、乙两车的平均速度分别为千米/时、千米/时 (3) 【分析】（1）根据图象即可得出结果； （2）根据速度= ，依此列式计算即可求解； （3）乙追上甲时，甲比乙多走一个小时，但走的路程相同列方程即可求解． 【详解】（1）解：根据图象得，甲、乙两车各行驶了300千米； （2）根据图象得：甲车的平均速度为， 乙车的平均速度为： ， （3）解：设乙出发小时后，乙追上甲， ， 解得：， 小时分钟， 即乙在追上甲. 12．已知y与x两变量具有如下函数关系： 当时，两变量的函数关系为，图象如图所示； 当时，两变量的函数关系为． (1)请在网格中画出时，y关于x的函数图象； (2)当时，y随x的增大而______；（填“增大”或“减小”） (3)请判断点是否在y关于x的函数图象上，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)增大 (3)不在，理由见解析 【分析】（1）列表，描点，连线作图即可； （2）根据增减性求解即可； （3）由点的横坐标可知，把代入对应的函数解析式，求出y值，对比点的纵坐标，即可判断结论． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 y 0 5 8 9 8 5 y关于x的函数图象如图： （2）解：当时，函数图象上升，y随x的增大而增大； （3）解：不在，理由如下： ， 当时，， 点不在y关于x的函数图象上． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $