精品解析：江西九江市2025-2026学年度下学期期中学情评估 八年级 数学

2025－2026学年度下学期期中学情评估 八年级数学 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 已知等腰三角形一个内角为，则该三角形顶角的度数为（ ）． A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论，结合三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论， ①当等腰三角形的底角为时， ∴该三角形的顶角为； ②当等腰三角形的顶角为时，符合题意； 综上，该三角形的顶角为或． 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴一定成立，不符合要求； 对于选项B：∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴一定成立，不符合要求； 对于选项C：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴一定成立，不符合要求； 对于选项D：举反例：当，时，满足，但，，此时，因此不一定成立，符合要求． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元一次不等式求出解集，再根据“小于向左，大于向右，有等号画实心，无等号画空心”的原则在数轴上表示即可； 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示为： 观察选项，只有D选项符合． 4. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 长方形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求； 对于选项B：长方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 对于选项C：等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求； 对于选项D：等腰直角三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合要求． 5. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点，则点的原坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逆向运用平移法则，即可计算出原坐标． 【详解】解：∵点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点， ∴点向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到点， ∴点的坐标为． 6. 若不等式组无解，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解，根据题意判断两端的大小，从而得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∵不等式组无解， ∴， 解得． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个的角被角平分线平分，每个小角的度数为_____． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】根据角平分线的定义，角平分线将原角分为两个相等的角，将原角度数除以2即可得到每个小角的度数． 【详解】解：根据角平分线的定义可知，角平分线将一个角分成两个大小相等的角， 已知原角为，因此每个小角的度数为：． 8. 某商品的进价为元，售价为元，“五一”期间打折促销，但要保证利润率不低于，则最多可打_____折． 【答案】 【解析】 【分析】设该商品打折，根据“利润率不低于”确定不等关系，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设该商品打折， 由题意得， 化简，得， 解得， ∴最多可打折． 9. 若不等式的解集为，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得． 10. 边长为4的正方形向左平移3个单位，对应顶点连线的长度为_____． 【答案】 3 【解析】 【分析】根据平移的性质求解，明确平移后对应顶点连线的长度与平移距离的关系即可得到结果； 【详解】解：根据平移的性质，平移后对应顶点所连线段的长度等于平移的距离，已知正方形向左平移个单位，因此对应顶点连线的长度为． 11. 如图，在中，，，，斜边的垂直平分线交于点，垂足为点．将绕点逆时针旋转得到，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由含角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得．由垂直平分线的性质可得，，从而得到，因此，进一步计算出．由旋转的性质可得，根据计算出即可． 【详解】解：在中，，， ∴，， 由勾股定理可得，， ∵是斜边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴． 12. 在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且是等腰直角三角形，则点的坐标为_____．（写出所有满足条件的点） 【答案】或或 【解析】 【分析】分类讨论，当点为直角顶点时，作于点，过点作的垂线，交的延长线于点，利用一线三直角模型容易证明，则，，从而得到点的坐标；当点或点为直角顶点时，使用同样的方法构造一线三直角模型，证明全等后得到等量关系，求出点的坐标． 【详解】解：①当点为直角顶点时，如图，作于点，过点作的垂线，交的延长线于点， 根据题意，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点的坐标为； ②当点为直角顶点时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， 同理①可得，， ∴，， ∴点的坐标为； ③当点为直角顶点时，如图，过点作轴的平行线，分别过点、作的垂线，垂足为、，设点的坐标为， 同理①可得，， ∴，， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 数轴如下： 【解析】 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得 14. 解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，其中整数解为，，，， 【解析】 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为，其中整数解为，，，，． 15. 如图，沿射线平移得到、、、在同一直线上，平分，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质得出，则，求出，根据平分，求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵平移得到， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 16. 已知，在平面直角坐标系中画出： （1）向下平移5个单位后，再接着向左平移4个单位所得的图形； （2）绕原点逆时针旋转后的图形． 【答案】（1） 解：如图，即为所作． （2） 解：如图，即为所作． 【解析】 【分析】（1）先描点画出，根据题意将，先向下平移5个单位，再向左平移4个单位，得到； （2）将绕点按逆时针方向旋转，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，点在同一直线上，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴， ∵， ∴． 【解析】 【详解】略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分共24分） 18. 如图，等边三角形中，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质证明即可； （2）可得为等边三角形，则，过点作于点，那么，然后根据角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵ ∴为等边三角形， ∴， 过点作于点， ∵等边三角形 ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，，点为的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在中，，点是的中点， ∴， 即． （2）1 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得； （2）根据等腰三角形的性质得出是的中点，结合是的中点，得出是的中位线，则，结合，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是的中点， 又是的中点， 是的中位线， ∴， ∵， ∴． 20. 某校计划租用座甲种客车和座乙种客车共辆，运送名学生外出活动，要求甲种客车不少于辆，问共有几种符合条件的租车方案？ 【答案】共有3种符合条件的租车方案 【解析】 【分析】设甲种客车租用辆，则乙种客车租用辆，根据题意列出不等式组，求出其中的整数解，并列出方案即可． 【详解】解：设甲种客车租用辆，则乙种客车租用辆， 根据题意，列不等式组得， 由②得， ∴不等式组的解集为，其中整数解为，，， 租车方案如下： 租用甲种客车辆，乙种客车辆； 租用甲种客车辆，乙种客车辆； 租用甲种客车辆，不租用乙种客车． 答：共有3种符合条件的租车方案． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 北师大版教材八年级下册§1.1在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． （1）上述证明使用的方法是 ； （2）写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； （3）仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 【答案】（1）反证法 （2）逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，该命题是真命题 （3） 证明：假设一个三角形中有两个直角，不妨设在中，，， ∵三角形内角和为， ， ∵在一个三角形中 ， ∴， 这与三角形内角和等于矛盾， ∴假设不成立， ∴一个三角形中不能有两个直角． 【解析】 【分析】（1）根据反证法的定义即可判断； （2）根据逆命题的定义，找准结论和条件即可写出逆命题，并判断； （3）根据反证法，假设一个三角形中有两个直角，再利用三角形内角和证伪即可． 【小问1详解】 解：由题目中的证明过程可知，该方法为反证法； 【小问2详解】 解：逆命题需将结论和条件互换，故逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”， 根据“等角对等边”定理可知，此为真命题； 【小问3详解】 略． 22. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴分别交于点． （1）求点的坐标，并直接写出不等式的解集． （2）在直线上找一点（不与重合），使，求点的坐标． （3）直线与轴交于点，点是直线上一点，且位于点下方，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出交点坐标，再根据函数图象求解即可； （2）先确定直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为，再由等腰三角形的三线合一求解即可； （3）设与轴交于点，设，根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴交点， ∴不等式的解集为； 【小问2详解】 解：如图，过点作直线的垂线，垂足为， 对于直线，当时，则， 解得， ∴， ∴直线经过点， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设与轴交于点，则当时，， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∴，如图： 设， ∵， ∴， 解得：， ∴． 六、解答题（本大题12分） 23. 综合与实践 （1）如图1，是等边三角形，点在上，连接．将绕点逆时针旋转，得到，连接．求证：是等边三角形． （2）如图2，在中，，点为内部一点．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，求证：，并求的度数． （3）如图3，在等腰中，，，点为内部一点．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，求证：，并直接写出的长． 【答案】（1） 由旋转的性质可知：，， ∴是等边三角形； （2） 证明：由旋转的性质可知：，，， ； 过作于， 在中，， ∴​， ∴​． 在中，， ∴， ∴． （3） 证明：由旋转的性质可知： ，，， ∵， 在中， ​． ， 由勾股定理：， 即， 解得：（长度为正，负值舍去）． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知：，， 即可证明是等边三角形； （2）由旋转的性质可知：，，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出；过作于，在中，求出​，再根据等腰三角形三线合一的性质得出​．勾股定理逆定理证明， 即可得． （3）由旋转的性质可知： ，，，在中由勾股定理即可得出​．在中由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期期中学情评估 八年级数学 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 已知等腰三角形一个内角为，则该三角形顶角的度数为（ ）． A. 或 B. C. D. 或 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 长方形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点，则点的原坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式组无解，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个的角被角平分线平分，每个小角的度数为_____． 8. 某商品的进价为元，售价为元，“五一”期间打折促销，但要保证利润率不低于，则最多可打_____折． 9. 若不等式的解集为，则m的取值范围是_______． 10. 边长为4的正方形向左平移3个单位，对应顶点连线的长度为_____． 11. 如图，在中，，，，斜边的垂直平分线交于点，垂足为点．将绕点逆时针旋转得到，则_____． 12. 在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且是等腰直角三角形，则点的坐标为_____．（写出所有满足条件的点） 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 14. 解不等式组：，并写出所有整数解． 15. 如图，沿射线平移得到、、、在同一直线上，平分，求的度数． 16. 已知，在平面直角坐标系中画出： （1）向下平移5个单位后，再接着向左平移4个单位所得的图形； （2）绕原点逆时针旋转后的图形． 17. 如图，点在同一直线上，．求证：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分共24分） 18. 如图，等边三角形中，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 如图，在中，，点为的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 某校计划租用座甲种客车和座乙种客车共辆，运送名学生外出活动，要求甲种客车不少于辆，问共有几种符合条件的租车方案？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 北师大版教材八年级下册§1.1在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． （1）上述证明使用的方法是 ； （2）写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； （3）仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 22. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴分别交于点． （1）求点的坐标，并直接写出不等式的解集． （2）在直线上找一点（不与重合），使，求点的坐标． （3）直线与轴交于点，点是直线上一点，且位于点下方，若，求点的坐标． 六、解答题（本大题12分） 23. 综合与实践 （1）如图1，是等边三角形，点在上，连接．将绕点逆时针旋转，得到，连接．求证：是等边三角形． （2）如图2，在中，，点为内部一点．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，求证：，并求的度数． （3）如图3，在等腰中，，，点为内部一点．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，求证：，并直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $