精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

2025~2026学年度第二学期初一年级期中练习 数学 说明：本试卷共两部分，三道大题28道小题，共6页，满分100分，练习时长100分钟，练习日期2026年4月22日．学生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若是关于和的二元一次方程的解，则的值等于（ ） A. 3 B. 1 C. D. 3. 下列各数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC于点O. OM平分∠BOD，如果∠AOE =50°，那么∠BOM的度数是 A. 20° B. 25° C. 40° D. 50° 5. 不等式的解集在数轴上可以表示为（　　） A. B. C. D. 6. 小明在学习与垂直相关的知识时，得到了以下结论： 甲：两条直线相交所得的四个角中，有三个角相等，则这两条直线互相垂直； 乙：平面内，如果，，则点，，一定在同一条直线上； 关于这两个结论，以下判断正确的是（　　） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错 7. 下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 在平面内有，，，，五个点，满足，给出下列三个结论：①可能与平行；②可能与平行；③，，三点可能在同一条直线上．所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共19分，第9-16题每题2分，第17题3分） 9. 16的平方根是________． 10. 如图，点A，B，C，D，E在直线上，点P在直线外，PC⊥于点C，在线段PA，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是_____，理由是___ 11. 关于，的方程是二元一次方程，则的值为__________． 12. 若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 13. 如图，正方形的面积为5，点与数轴上表示1的点重合，数轴上的点在点左侧，且，则点表示的数为__________． 14. 在平面直角坐标系中，若点到轴的距离为3，则点到轴的距离为__________． 15. 若实数，满足，则__________． 16. 已知在平面直角坐标系中，点，都不在坐标轴上，将线段平移，使点，平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标为__________． 17. 将，，，0，1，2，3，4这8个数分别填入右图中“幻圆”的八个“圆圈”中，每个数只用一次，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入图中所示的位置． （1）图中与表示的这两个数的和为__________． （2）图中表示的数的所有可能值为__________． 三、解答题（共65分，第18-19题每题8分，第20-22题每题4分，第23题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 18. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 19. 解方程组： （1）； （2）． 20. 一个正数的两个不同的平方根分别是和，求和的值． 21. 如图，直线，被直线所截，平分，． 求证：． 下面是小军的解答过程，请补充完整． 证明：直线与相交于点， （①__________）（填推理的依据） ， ． （②__________）（填推理的依据） （③__________）（填推理的依据） 平分， （④__________）（填推理的依据） （等量代换）． 22. 已知关于，的二元一次方程组的解，满足，求的值． 23. 如图，点在四边形内部，的延长线交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 24. 利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 25. 在如图所示的正方形网格中，有三个格点，，，平面直角坐标系的坐标轴与网格线垂直，在此坐标系中，点，的坐标分别为和． （1）依题意画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； （2）同时平移，，三点，使得点的对应点为原点，点，的对应点分别为点，，在图中画出点，，并写出一种符合题意的平移过程： （3）顺次用线段连接点，得到封闭图形，画出图形，并直接写出图形的面积． 26. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，我们将关于，的二元一次方程称为点的“特征方程”．例如点的“特征方程”为． （1）若点的“特征方程”的一个解是，求的值． （2）已知是点的“特征方程”的一个解，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，若是点的特征方程的一个解，求的最小整数值，并写出此时和的值． 27. 如图，已知，为内一点，使得，平分． （1）如图1，若平分，则__________，的度数为__________； （2）如图2，当时，平分，点为射线上的动点，点与点在直线异侧，且满足，直线与直线交于点（不与点重合）．画出图形，用等式表示和之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和点，给出如下定义：过点作直线轴，直线轴，如果图形上存在不重合的两个点，，使得点到直线的距离与点到直线的距离相等，就称图形是点的“关联图形”． （1）如图1，已知点，，， ①当时，判断：线段__________（填“是”或“不是”）点的“关联图形”； ②若线段是点的“关联图形”，直接写出的取值范围： （2）如图2，已知点，，，，若在线段上存在点，使得线段是点的“关联图形”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期初一年级期中练习 数学 说明：本试卷共两部分，三道大题28道小题，共6页，满分100分，练习时长100分钟，练习日期2026年4月22日．学生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴该点的横纵坐标符号符合第二象限点的特征， ∴点在第二象限． 2. 若是关于和的二元一次方程的解，则的值等于（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入即可得到答案. 【详解】解：∵是关于和的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故选A 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，熟记二元一次方程的解的含义是解本题的关键. 3. 下列各数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是无限循环小数，属于有理数，不符合要求； B、是分数，属于有理数，不符合要求； C、，7是整数，属于有理数，不符合要求； D、是无限不循环小数，即无理数，因此仍是无限不循环小数，属于无理数，符合要求． 4. 如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC于点O. OM平分∠BOD，如果∠AOE =50°，那么∠BOM的度数是 A. 20° B. 25° C. 40° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据AO⊥BC可得∠AOC=90°, 然后根据∠COE=90°-∠AOE求出∠COE的度数,由对顶角相等可得∠BOD=∠COE,再根据角的平分线的定义求得∠BOM即可． 【详解】∵AO⊥BC， ∴∠AOC=90°, ∴∠COE=90°-∠AOE=90°-50°=40°, ∴∠BOD=∠COE=40°. ∵OM平分∠BOD， ∴∠BOM=∠BOD =×40°=20°. 故选A. 【点睛】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义以及对顶角的性质，正确求得∠BOD的度数是关键． 5. 不等式的解集在数轴上可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：解不等式得， ∴在数轴上可以表示为． 6. 小明在学习与垂直相关的知识时，得到了以下结论： 甲：两条直线相交所得的四个角中，有三个角相等，则这两条直线互相垂直； 乙：平面内，如果，，则点，，一定在同一条直线上； 关于这两个结论，以下判断正确的是（　　） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据垂直的定义和平面内垂线的基本性质，判断甲乙两个结论的正误即可得到答案． 【详解】解：先判断甲结论： ∵两条直线相交所得四个角的和为，且对顶角相等，若有三个角相等，则四个角都相等， ∴每个角的度数为 ， ∴这两条直线互相垂直，甲结论正确． 再判断乙结论： ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 又 ，，和都经过点B， ∴与为同一条直线，即点，，在同一条直线上，乙结论正确． 因此甲乙都对． 7. 下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得，再根据等式的性质得到即可． 【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得， ， 即， ∴，， 即， ∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5． 8. 在平面内有，，，，五个点，满足，给出下列三个结论：①可能与平行；②可能与平行；③，，三点可能在同一条直线上．所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线判定、三点共线判定方法，找出符合题意的图形，分别验证三个结论均可成立即可． 【详解】解：如图，让水平向右， 指向右上方，与的延长线夹角为 若要让，则必须水平向右，此时与的夹角为， 根据题意得，，符合题意， 只要点A和点D位于的异侧，就可以构造出， 故①正确； 如图，让水平向右， 则指向右上方，与的延长线夹角为， 若指向左上方，与的夹角成，若水平向左，与成， 此时，故②正确； 如图， 在中， 在中， 若、 则 此时，，三点可能在同一条直线上，故③正确； 综上所述，正确的有①②③． 第二部分 非选择题 二、填空题（共19分，第9-16题每题2分，第17题3分） 9. 16的平方根是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴的平方根是. 10. 如图，点A，B，C，D，E在直线上，点P在直线外，PC⊥于点C，在线段PA，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是_____，理由是___ 【答案】 ①. PC ②. 垂线段最短 【解析】 【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，根据定义即可选出答案． 【详解】根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 故答案是：PC；垂线段最短． 【点睛】本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长． 11. 关于，的方程是二元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义列出关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，可得：， 由，可得：，即或， 由，可得：， 综上所述，可得：． 12. 若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 【答案】 ①. ②. 不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 推理的依据是：不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 13. 如图，正方形的面积为5，点与数轴上表示1的点重合，数轴上的点在点左侧，且，则点表示的数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正方形的边长，进而根据两点间的距离求出点E所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴， ∵顶点A在数轴上表示的数为1，点E在点A的左侧， ∴点E所表示的数为． 14. 在平面直角坐标系中，若点到轴的距离为3，则点到轴的距离为__________． 【答案】5或2##2或5 【解析】 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：∵点到轴的距离为3， ∴， 解得，或， 当时，， ∴点到轴的距离为； 当时，， ∴点到轴的距离为； 综上所述，点到轴的距离为5或2． 15. 若实数，满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】算术平方根和绝对值都具有非负性，它们的和为零时，必须每个部分都为零，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得： ． 16. 已知在平面直角坐标系中，点，都不在坐标轴上，将线段平移，使点，平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标为__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据平移的性质，平移后点分别落在两条坐标轴上，分两种情况讨论，结合坐标轴上点的坐标特征计算即可得到结果 【详解】解：设平移时横坐标变化量为，纵坐标变化量为，则平移后点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况讨论： 情况1：平移后点落在轴，点落在轴， 由坐标轴上点的坐标特征得： 得，， 此时点平移后的坐标为; 情况2：平移后点落在轴，点落在轴， 由坐标轴上点的坐标特征得： 得，， 此时点平移后的坐标为； 综上，点平移后的对应点的坐标为或 17. 将，，，0，1，2，3，4这8个数分别填入右图中“幻圆”的八个“圆圈”中，每个数只用一次，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入图中所示的位置． （1）图中与表示的这两个数的和为__________． （2）图中表示的数的所有可能值为__________． 【答案】 ①. ②. 和3 【解析】 【分析】（1）先计算这8个数的总和为4，再得到每一组四个数的和为2，据此求出与表示的这两个数的和即可； （2）根据题意可得，由（1）知，，则可能的组合是、或、，设大圆上右边圆圈中的数为，下方圆圈中的数为，利用横直径，求出、表示的数，再利用竖直径，求出、表示的这两个数的和为1，从而确定可能表示的数． 【详解】解：（1）根据题意得：这8个数的总和为： 大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，大圆和小圆上数的总和、两条直径上数的总和都是这8个数总和， 每一组四个数的和为 ； （2）由题意得，已经使用的数是，1，4，剩余待填的5个数为：，，0，2，3， 由（1）知， 可能的组合是、或、， 设大圆上右边圆圈中的数为，下方圆圈中的数为， 则， ， ， 当时，，不在剩余数中， 故此时情况不存在； 当时，， ， ， ， 当时，， 当时，， 表示的数的所有可能值为和． 三、解答题（共65分，第18-19题每题8分，第20-22题每题4分，第23题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 18. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算立方根、二次根式的乘法运算及绝对值化简，然后计算加减法即可； （2）利用平方根解方程即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ， ∴， ∴． 19. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： ，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为． 20. 一个正数的两个不同的平方根分别是和，求和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数之和为0，可列出关于m的方程，进而求解m的值，即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，直线，被直线所截，平分，． 求证：． 下面是小军的解答过程，请补充完整． 证明：直线与相交于点， （①__________）（填推理的依据） ， ． （②__________）（填推理的依据） （③__________）（填推理的依据） 平分， （④__________）（填推理的依据） （等量代换）． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：直线与相交于点， （对顶角相等） ， ． （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 平分， （角平分线的定义） （等量代换） 22. 已知关于，的二元一次方程组的解，满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由得：，再由，可得，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 23. 如图，点在四边形内部，的延长线交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用内错角相等两直线平行证得，推出，再利用内错角相等两直线平行证得； （2）利用平行线的性质求得，在中，利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 24. 利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 【答案】需准备草皮的总面积是 【解析】 【分析】设，，横向和纵向通道的宽度为，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：设，，横向和纵向通道的宽度为， 由题意得， 解得， ∵，， ∴， 答：需准备草皮的总面积是． 25. 在如图所示的正方形网格中，有三个格点，，，平面直角坐标系的坐标轴与网格线垂直，在此坐标系中，点，的坐标分别为和． （1）依题意画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； （2）同时平移，，三点，使得点的对应点为原点，点，的对应点分别为点，，在图中画出点，，并写出一种符合题意的平移过程： （3）顺次用线段连接点，得到封闭图形，画出图形，并直接写出图形的面积． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为； （2）向左平移1个单位，再向下平移3个单位； （3）24 【解析】 【分析】（1）根据点，的坐标分别为和作出平面直角坐标系，根据点位置，写出点的坐标即可； （2）根据图形即可得到平移规律； （3）由割补法求解即可． 【小问1详解】 解：所作平面直角坐标系如图， ； 点的坐标为； 【小问2详解】 解：由图形知：点的对应点为原点，即向左平移1个单位，再向下平移3个单位；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：封闭图形如图所示， 图形的面积 ． 26. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，我们将关于，的二元一次方程称为点的“特征方程”．例如点的“特征方程”为． （1）若点的“特征方程”的一个解是，求的值． （2）已知是点的“特征方程”的一个解，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，若是点的特征方程的一个解，求的最小整数值，并写出此时和的值． 【答案】（1） （2）3，的值可以为，的值可以为 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程． （1）先写出点的“特征方程”，再代入其已知的一个解，即可得到关于t的一元一次方程，解方程即可； （2）先写出点的“特征方程”， 再代入其已知的一个解，得到a、b的关系式；根据平移直接得到点的坐标，再写出点，进而得到一个关于m、n的关系式，结合m、n都是正数，即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意，点的“特征方程”为：， ∵点的“特征方程”的一个解是， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：根据题意可知：点的“特征方程”为， ∵是的一个解， ∴， ∵点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点， ∴， ∴点的“特征方程”为， ∵是点的“特征方程”的一个解， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小整数值为3． 即：的值可以为，的值可以为． 27. 如图，已知，为内一点，使得，平分． （1）如图1，若平分，则__________，的度数为__________； （2）如图2，当时，平分，点为射线上的动点，点与点在直线异侧，且满足，直线与直线交于点（不与点重合）．画出图形，用等式表示和之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）2； （2）当点Q在射线的反向延长线上时，；当点Q在射线上时，与的数量关系为: ；见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，结合等量代换及垂直的定义即可求解； （2）分两种情况分析：当点Q在射线的反向延长线上时，当点Q在射线上时，分别作出相应图形，利用平行线的判定和性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 分两种情况分析： 当点Q在射线的反向延长线上时，， 证明如下：分别过点E、P、Q作， ∵平分， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 同理得， ∴. 同理：， ∴. 设, ∴， ， ， ， ； 当点Q在射线上时，与的数量关系为: ； 点Q在点P左侧时，如图： 证明如下：分别过点E, P,Q作 如图：同情况1： 设， 得， ∵ ， ∴ ， ∴， 同理：， ∴ ， 设， ， ， ， ， ； 当点Q在射线上时，且点Q在点P右侧时，如图： 同理得：． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和点，给出如下定义：过点作直线轴，直线轴，如果图形上存在不重合的两个点，，使得点到直线的距离与点到直线的距离相等，就称图形是点的“关联图形”． （1）如图1，已知点，，， ①当时，判断：线段__________（填“是”或“不是”）点的“关联图形”； ②若线段是点的“关联图形”，直接写出的取值范围： （2）如图2，已知点，，，，若在线段上存在点，使得线段是点的“关联图形”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①是；②或 （2）或或 【解析】 【分析】（1）①结合图像可知，即到的距离为2，由此即可判断；②点在轴上，则到的距离仍为2，结合“关联图形”的定义，线段上存在点到的距离为2，即可求出范围； （2）根据点坐标的特点可以分析出线段的运动变化，根据已知线段和“关联图形”的定义，可以判断出所有和所在的区域，利用极限思想即可求出范围． 【小问1详解】 ①解：如下图所示， 线段上的点到直线的距离是，点到直线的距离是， 线段是点的“关联图形”； ②由题可知，线段上任意一点到直线的距离都是， 如果线段是点的“关联图形”，则线段上存在一点到直线的距离是， 当点在点左侧时，可得：， 解得：； 当点在点右侧时，可得：， 解得：； 综上所述，或； 【小问2详解】 解：由于，，可知线段是一条垂直于轴的线段，过线段上任意一点，作直线轴，直线轴，则线段上的点到的距离都相等，根据定义，只要线段上存在到的距离和到的距离相等的点，那么就存在线段是点的“关联图形”； 由题可知，到的距离和到的距离相等的点位于平行于平分象限的直线上， 如图，分别过点和作平行于平分象限直线的平行线，分别为，，，， 由于点为线段上任意一点，所以线段只要与，之间的区域和，之间的区域有交点，即可满足结论； 当点在上时，，，当时，在下方，且随着的减小，的长度增加，则均满足结论； 当点在上时，，； 当点在上时，，， 则且， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，点到直线的距离等知识点，掌握数形结合，极限思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $