精品解析：云南师范大学实验中学2025-2026学年春季学期4月份学情诊断试卷数学

2026年春季学期4月份学情诊断试卷 数学 一、单选题（每题2分，总共30分） 1. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A. B. C. D. 2. 在，，，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，直线分别与直线、相交于点、，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程：①；②；③；④．其中二元一次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明同学用剪刀沿着虚线将一张圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原来的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点，有无数条直线 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 7. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是2025年9月3日阅兵式机群的一个飞行队形，如果最后两架飞机的平面坐标分别为，，那么第一架飞机C的平面坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 若是关于x，y的方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 邻补角一定互补 B. 内错角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 有且只有一条直线与已知直线垂直 11. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 用加减消元法解二元一次方程组时，有如下四种解法，甲：；乙：；丙：；丁：．其中不能完成“消元”的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和丙 C. 甲和丁 D. 乙和丁 13. 如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为15，则的周长为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 14. 已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 15. 在平面直角坐标系中，某智能机器人从站点出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知，，，设第秒运动到点（为正整数），探测点的位置规律如图所示，，，是按规律摆放的等腰直角三角形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题2分，总共8分） 16. 的平方根是____． 17. 将﹣4x+y＝2用含x的代数式表示y，则y＝___． 18. 如果，那么点在第_____象限． 19. 将点向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点，则_________． 三、解答题（本题共8个题，共62分） 20. 计算： （1）； （2） 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到． （1）请在图中作出平移后的．并分别写出点，，的坐标． （2）求的面积． 22. 如图，直线，相交于点O，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 23. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）的值为_____；的值为_____；的值为_____； （2）求的平方根． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 阳光体育·足球促销 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元． 素材二 该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元 素材三 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）： ① “买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 （1）求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ （2）某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 25. 如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的度数． 26. 【读】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）【思】点的“长距”为_____； （2）【悟】若点是“完美点”，则的值为_____； （3）【省】已知点，轴，点，请判断：点是否为“完美点”，并说明理由． 27. 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，此时的度数？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期4月份学情诊断试卷 数学 一、单选题（每题2分，总共30分） 1. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图， 根据平移的定义“ 平移是指将一个图形或物体按照一定的方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变的变换 ”解答即可． 【详解】解：A、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到； B、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到； C、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到； D、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到． 故选：A． 2. 在，，，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在，，，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中， ，，，，，是有理数， ， ，（两个“”之间依次多一个“”）是无理数，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数、无理数的概念，求一个数的立方根．以下几类无理数应知道：或含有的式子；开不尽方的数以及它们与有理数的和、差、积、商也都是无理数；还有如（每两个之间依次多一个）这样的数也是无理数． 3. 如图，直线分别与直线、相交于点、，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行同位角相等，可求得的度数，再由邻补角的定义即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ． 4. 下列方程：①；②；③；④．其中二元一次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义判断，含有两个未知数，且所含未知数的次数均为1次的整式方程叫做二元一次方程，逐个判断方程即可得到结果． 【详解】解：①只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合二元一次方程定义； ②含有两个未知数，且所有未知数次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程定义； ③只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合定义； ④中项的次数是2，不符合要求，不是二元一次方程； 故符合条件的二元一次方程只有1个． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，熟练掌握立方根和算术平方根定义，是解题的关键．根据立方根和算术平方根定义，进行判断即可． 【详解】解：A．，故A符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：A． 6. 如图，小明同学用剪刀沿着虚线将一张圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原来的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点，有无数条直线 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短解答． 【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故选：A． 7. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得出答案，正确估算出的范围是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即． 故选：A． 8. 如图是2025年9月3日阅兵式机群的一个飞行队形，如果最后两架飞机的平面坐标分别为，，那么第一架飞机C的平面坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，解题的关键是掌握坐标方法的简单运用．根据，的坐标，可得原点的位置，进而即可得到第一架飞机C的平面坐标． 【详解】解：∵，， 如图，建立平面直角坐标系， ∴第一架飞机的坐标为． 故选：A． 9. 若是关于x，y的方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程，变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是关于，的方程的解， ∴将代入，得：， 等式两边同乘，得：． 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 邻补角一定互补 B. 内错角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．邻补角的和为， ∴邻补角一定互补，A是真命题，符合题意； B．只有两条平行直线被截所得的内错角才相等，未说明两直线平行时，内错角不一定相等， ∴B是假命题，不符合题意； C．相等的角不一定是对顶角，例如不同位置的两个直角相等，但不是对顶角， ∴C是假命题，不符合题意； D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项未给出前提条件， ∴D是假命题，不符合题意． 11. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找到两个等量关系，分别列出方程即可得到正确结果． 【详解】解：设甲带了钱，乙带了钱， ∵甲得到乙所有钱的一半后，甲共有钱50， ∴甲原有钱加上乙钱的一半等于50，得方程 ， ∵乙得到甲所有钱的后，乙共有钱50， ∴乙原有钱加上甲钱的等于50，得方程 ， 因此可得方程组 ． 12. 用加减消元法解二元一次方程组时，有如下四种解法，甲：；乙：；丙：；丁：．其中不能完成“消元”的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和丙 C. 甲和丁 D. 乙和丁 【答案】B 【解析】 【分析】依次计算四种做法，判断是否消去一个未知数即可得到结果． 【详解】解：得，即， 没有消去未知数，不能完成消元； 得，即，消去了y，能完成消元； 得，即，没有消去未知数，不能完成消元； 得，即，消去了x，能完成消元； ∴不能完成“消元”的是甲和丙 13. 如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为15，则的周长为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质得到，，再根据周长公式即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移2个单位长度得到， ∴，， ∵四边形的周长为15， ∴， ∴， ∴， 即的周长为11． 14. 已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】用加减消元法将两方程相减，并化简，又与已知条件相结合，得到关系，求解即可． 【详解】解：将方程组上面的方程减下面的方程得：， 化简得， 又因为， 所以， 解得． 15. 在平面直角坐标系中，某智能机器人从站点出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知，，，设第秒运动到点（为正整数），探测点的位置规律如图所示，，，是按规律摆放的等腰直角三角形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过观察可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，，0这样循环，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，，，，，，， 观察可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，，0这样循环， ∵， ∴点的坐标是． 二．填空题（每题2分，总共8分） 16. 的平方根是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根与算术平方根，先计算49的算术平方根，再求其平方根即可． 【详解】解：，7的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 17. 将﹣4x+y＝2用含x的代数式表示y，则y＝___． 【答案】4x+2## 【解析】 【分析】将等式左边带x的项移到等式右边即可． 【详解】解：方程﹣4x+y＝2， 解得：y＝4x+2， 故答案为：4x+2． 【点睛】本题主要考查二元一次方程，掌握移项的原则是关键． 18. 如果，那么点在第_____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质、二元一次方程组以及象限内点的坐标特征，根据非负性列方程求出，再判断点所在象限． 【详解】解：，，且， 当，时成立， ， 解得：， ， 点在第四象限． 19. 将点向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先按照坐标平移的规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，列式求得m、n，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵将点向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点， ∴，， ∴，， ∴． 三、解答题（本题共8个题，共62分） 20. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ，得：， 即 解得：， 将代入中，得， 解得：． ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到． （1）请在图中作出平移后的．并分别写出点，，的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1） 解：作图如下： ，，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移方向画出三角形，并根据图象确定点坐标即可； （2）利用网格计算三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象，可知． 22. 如图，直线，相交于点O，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到，结合得到，根据对顶角得到，根据邻补角互补得到，结合平分，求出，即可得到答案； （2）根据平分得到，结合，得到，结合平角定义得到，根据结合角度加减关系即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）的值为_____；的值为_____；的值为_____； （2）求的平方根． 【答案】（1） ，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、无理数的整数部分的有关计算以及代数式求值： （1）根据题意列方程求解即可； （2）将代入后再算平方根． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 则 即， 解得：； 根据题意，得， 则， 即， 解得：； ， ， 是的整数部分， ． 【小问2详解】 解：将，，代入中，得： ， 则的平方根为． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 阳光体育·足球促销 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元． 素材二 该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元 素材三 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）： ① “买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 （1）求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ （2）某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 【答案】（1）3月份该商场购进A款足球20个，购进B款足球30个； （2）选择促销方案①更合适 【解析】 【分析】（1）设3月份该商场购进A款足球x个，购进B款足球y个，根据该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元建立方程组求解即可； （2）分别求出两种方案需要的费用，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设3月份该商场购进A款足球x个，购进B款足球y个， 由题意得，， 解得， 答：3月份该商场购进A款足球20个，购进B款足球30个； 【小问2详解】 解：方案①的费用为元， 方案②的费用为， ∵， ∴选择促销方案①更合适． 25. 如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）先由，根据同位角相等，两直线平行，证得，推出；再结合，通过等量代换得到，根据同旁内角互补，两直线平行，证得． （2）先由和的度数，求出的度数；再结合平行线的性质与邻补角的定义，求出的度数；最后根据，利用平行线的性质求出的度数． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 【读】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）【思】点的“长距”为_____； （2）【悟】若点是“完美点”，则的值为_____； （3）【省】已知点，轴，点，请判断：点是否为“完美点”，并说明理由． 【答案】（1）5 （2）1或3 （3） 解：点是“完美点”，理由如下： ∵点，轴，点， ∴， 解得， ∴， ∴点， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点到轴、轴的距离相等， ∴点是“完美点”． 【解析】 【分析】（1）根据“长距”的定义即可求解； （2）根据“完美点”的定义列出关于的方程，即可求解； （3）根据轴，求出的值，得到点，再根据“完美点”的定义即可判断． 【小问1详解】 解：∵点， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵， ∴点的“长距”为5； 【小问2详解】 解：∵点是“完美点”， ∴点到轴、轴的距离相等， ∴， 解得或， ∴的值为1或3； 【小问3详解】 略 27. 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，此时的度数？ 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设的“系数补角”是，由“系数补角”定义列方程即可得出； （2）过作，利用平行线的内错角相等得出，设，，则①，由“系数补角”定义得②，联立方程求解即可； （3）设，，则，，根据、的位置（异侧 / 同侧），结合平行线性质，用、表示和，代入“系数补角”的关系，求解，即可得的度数． 【小问1详解】 解：设的“系数补角”是， ∵， ∴，即， 解得， ∴的“系数补角”是； 【小问2详解】 解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴①， 由条件可知，即②， 联立①②得，， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：由“系数补角”定义可知， 设，，则，， 当点、在直线异侧时， 此时，， 同（2）中方法可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点、在线段同侧时， 同理可知∠，， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $