江苏省天一中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学学科（理强）

江苏省天一中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学学科（理强） 命题人 陈俊峰 审阅人 李伟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数是，且（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（ ） A. B. 1.5 C. 0.5 D. 3. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ） 附：若，则，，. A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 4. 记，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的最大值为（ ） A. e B. C. D. 7. 数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第二行中的最大数为m，第三行中的最小数为n，则满足的排列个数为（ ） A. 684 B. 648 C. 624 D. 600 8. 已知函数的导函数为，和的定义域均为，若，，，，则（ ） A. B. C. D. 28 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，则 10. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答．若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题．据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题的顺序由抛掷硬币决定．设第i次答题者是甲的概率为，第i次回答问题结束后中甲的得分是，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数的极小值点为，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 的单调增区间为 B. 有且仅有两条斜率为的切线 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为______． 14. 设函数（其中e为自然对数的底数），若存在实数使得0恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小､材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“〇”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示.从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画〇的球”. 红球 蓝球 画〇 6 10 画 2 6 （1）求和. （2）该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项：颜色和符号均相同则奖励200元；仅颜色相同或仅符号相同则奖励100元；颜色和符号均不相同则奖励50元.设一次抽奖获得的奖金为元，求的分布列和数学期望. 16. 已知函数和函数. （1）若函数在区间上不单调，求的取值范围； （2）若函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，求该公切线方程. 17. 人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 （1）根据表格中所给数据，依据的独立性检验，判断Sora的应用与视频从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. ①求员工经过培训能应用Sora的概率； ②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，不能应用Sora的员工创造的利润与培训前相同；Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数（其中a，b为实数）. （1）若，试判断函数的单调性； （2）若， ①当时，，求实数的取值范围； ②求方程在上实根的个数. 19. 通过抛掷质地均匀的硬币产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷的结果为反面朝上，则；结果为正面朝上，则.所有总项数为项的数列组成集合. （1）已知，且所有项的和为，求的概率； （2）可用软件产生类似的随机数列，也满足.若“”的概率为，“”的概率为，“且”的概率为，求“且”的概率； （3）在集合中任取两个不同元素、.记.的均值为，证明：. 江苏省天一中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学学科（理强） 命题人 陈俊峰 审阅人 李伟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 200 100 50 . 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）有关 （2）①；②14 【18题答案】 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）①；②1个 【19题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）因为数列是从集合中任意取出的两个不同数列， 所以的可能取值为：对应的取值为：， 当时，数列对应位置的项中有项取值不同，有项取值相同； 从项中选择取值不同的项位置，有种情况， 和在这项的任一位置数字不同，每个位置都有2种情况， 比如第个位置可以是， 也可以是，共有种情况；其余项，两者均在同一位置数字相同， 每个位置都有两种情况，共有种情况，由于， 所以此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 又因为集合中元素的个数共有个， 所以， 所以，的分布列为： ， 同理， ， 时， ， 当时，该式也成立， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $