19.3 二次根式的加法与减法知识点 练习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第十九章二次根式第3节二次根式的加法与减法 知识点 （1）将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并. （注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.） （2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：m+n=(m+n) (3)二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. (4)加减法的运算步骤： ①化——将非最简二次根式的二次根式化简； ②找——找出被开方数相同的二次根式； ③并——把被开方数相同的二次根式合并. （口诀：一化简二判断三合并） （5）二次根式的混合运算及应用 ①.运算种类： 二次根式的加，减，乘，除，乘方(或开方)的混合运算. ②.运算顺序： 无括号的先乘方，再乘除，最后加减. 有括号的先算括号里面的(或先去掉括号）. 同级运算，从左到右进行计算. ③.运算依据： 实数的运算律(交换律，结合律，分配律），多项式乘法法则和乘法公式(平方差公式，完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. （6）利用乘法公式进行二次根式的运算 ①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; ②完全平方公式：(a－b)2=a2－2ab+b2;(a+b)2=a2+2ab+b2; 练习题 第 1 课时 二次根式的加减 １．下列式子中，能与合并的是（ ） Ａ． Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ． ２．已知二次根式 与是可以合并的二次根式，则ｘ的值可以是 ．（只需写出一个） 3．下列计算正确的是 （ ） Ａ．－＝ Ｂ．－＝ Ｃ．３＋２＝５ Ｄ．＋＝ ４．计算： （１）－(－)＝ ． （２）（+）－（－）＝ ． ５．若ａ，ｂ为有理数且－＋＝ ａ＋ｂ，则ａ＋ｂ＝ ． ６．对于任意两个不相等的实数 ｘ，ｙ，定义运算“Ω”为若 ｘ＜ｙ，则 ｘΩｙ＝ｘ＋ｙ；若ｘ＞ｙ，则 ｘΩｙ＝ｘ－ｙ，其他运算符号的意义不变，按照上述定义，计算（Ω）－（Ω）的值为 ． ７．如图，中国结内包含两个全等的正方形，若两个大正方形的面积均为９８ｃｍ２，重叠部分的小正方形面积为 ７２ｃｍ２，则ＢＥ的长为 ｃｍ． ８．若两个最简二次根式３与 ２可以合并，则合并后的结果是（ ） Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．５ Ｄ．５ ９．已知 ａ，ｂ，ｃ满足（ａ－）２＋＋｜ｃ－３｜＝０．以 ａ，ｂ，ｃ 为边长的三角形的周长为 ． １０．化简：ｍ＋８ｍ－２ｍ２，并任取一个 ｍ 的值使其结果为正整数． １１．嘉琪准备完成题目“计算：－■－（３－４）时，发现“■” 处的数字印刷不清楚． （１）他把“■” 处的数字猜成 ４，请你计算－4－（３－４）的结果． （２）他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是 3．”通过计算说明题目中的“■”处的数字是几． 第 2 课时 二次根式的混合运算 １．计算(5－２)÷（－）的结果是（ ） Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．７ Ｄ．－７５ ２．已知实数 ｍ＝×(－)，则实数 ｍ 的值应在 （ ） Ａ．１与２之间 Ｂ．２与３之间 Ｃ．３与４之间 Ｄ．４与５之间 ３．计算÷－ ＋2×的结果为（ ） Ａ．－２ Ｂ．６－２ Ｃ．6－２ Ｄ．６ ４．计算 ÷－×2－（－）２的结果为 ． ５．现将一个面积为 ３００ ｃｍ２的正方形的一组对边缩短 ８ｃｍ，就成为一个长方形，这个长方形的面积为 ｃｍ２． ６．计算： （１）（－）×－３． （２）÷－×＋． （３）(2－)×－ ７．计算（＋）（－）＝（ ） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ ８．若（2＋）２ ＝ ａ＋ｂ（ ａ，ｂ 为整数），则 ａ＋ｂ 等于 （ ） Ａ．７ Ｂ．９ Ｃ．１１ Ｄ．１２ ９．计算： （１）（３＋）（３－）－÷． （２） (－3)÷＋（2－）×（2＋）． （３）（＋）２０２６×（－）２０２６． １０．下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． （＋）２－（－）２ ＝（）２＋（）２－（）２＋（）２ ………… 第一步 ＝ ６＋５－６＋５ ……………………………… 第二步 ＝１０． ……………………………………… 第三步 任务一：以上步骤中，从第 一 步开始出现错误，这一步错误的原因是 完全平方公式运用错误 ． 任务二：请写出正确的计算过程． １１．计算（＋４）２０２５×（－４）２０２６的结果是 （ ） Ａ．＋４ Ｂ．４ Ｃ．－４ Ｄ．－４ １２．已知ｘ＋ｙ＝－９，ｘｙ＝９，则ｘ＋ｙ的值是 （ ） Ａ．６ Ｂ．－６ Ｃ．３ Ｄ．－３ １３．若３－的整数部分为 ａ，小数部分为 ｂ，则代数式（２＋ａ）·ｂ 的值为 （ ） Ａ．２ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．－２ １４．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图所示，老师把题目交给第一位同学，他完成第一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是 ． １５．已知Ａ＝ｘ２－２ｘ． （１）把多项式Ａ分解因式为 ． （２）当 ｘ＝＋时，多项式 Ａ 的值为 ． 16.已知ｘ＝，ｙ＝，求＋和（ｘ－１）（ｙ－１）的值． 17.计算： （１）3×÷2． （２） ×４÷ ． （３）3－６＋2． （４）－３＋｜２－｜． 18．计算： （１）÷－｜3－2｜＋（）－１． （２）（+）×－÷． （３）（2－６＋３）÷2． （４）－×（＋３） 19．计算： （１）（3－１）（3＋１）－（2－１）２． （２）（＋）（２－2）－（－）２． （３）（7＋4）（2－）２＋（２＋）（２－）－． 20．观察下列运算： ①由（＋１）（－１）＝ １，得＝－１； ②由（＋）（－）＝ １，得＝－；…… 问题： （１）通过观察你得出什么规律？ 用含 ｎ 的式子表示出来． （２）利用（１）中发现的规律计算：（++＋… ＋＋）（＋１）． 21．观察下列各式： ＝１＋－＝ １； ＝１＋－＝ １； ＝１＋－＝ １；． 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （１）猜想：１＝ ＝ ． （２）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用 ｎ（ｎ 为正整数） 表示的等式： ． （ ３ ） 应用：用上述规律计算++＋…＋． 22．先化简，再求值：（+）÷，其中ｘ＝＋１，ｙ＝． 23.（１）已知 ａ ＝－２，求代数式 ａ３＋４ａ２－ａ＋６ 的值． （２）已知ｘ＝－２，ｙ＝＋２，求+的值． 24．若 ａ，ｂ为实数，且ｂ＝＋＋１５，试求－的值． 25．（１）先化简， 再求值：＋ｘ－４ｙ－，其中 ｘ＝，ｙ＝４． （２）已知 ｘ＝，ｙ＝，求代数式ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２的值． 26．阅读理解题 阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简 ． 解：＝＝＝｜１＋｜ ＝ １＋． （１）依据上述计算，填空：＝ ，＝ ． （２） 根 据 上 述 方 法 求 值：＋＋＋…＋． 答案 第 1 课时 二次根式的加减 １．Ｂ ２．０（答案不唯一） ３．Ｂ ４．（１）３ （２）３－ ５．－ ６．2 ． ７． ８．Ｄ ９．５＋５ １０．解析 ｍ＋８ｍ－２ｍ２ ＝ｍ·3＋８ｍ·－２ｍ２· ＝ｍ＋4ｍ－2m ＝ｍ 当ｍ＝４ 时，原式＝×4×＝２８．（答案不唯一） １１．解析 （１）－4－（３－４） ＝4－４×－３×＋４× ＝3＋． (2)8 第 2 课时 二次根式的混合运算 １．Ａ ２．Ｂ ３．Ｂ ４．－4－３ ５．６０ ６．解析 （１）原式＝（－）×－３ ＝６－6－ ＝６－７． (2)原式＝÷－×＋ ＝4－3＋2 ＝1＋2． （３）原式＝(2－)×－ ＝12－－5 ＝11－5． ７．Ｂ ８．Ｃ ９．解析 （１）原式＝（３＋）（３－）－÷ ＝７－４ ＝７－２ ＝５． （２）原式＝(－3)÷＋（2－）×（2＋） ＝－＋２＋ ＝． （3）原式 ＝（＋）２０２６×（－）２０２６ ＝（１１－１０）２０２６ ＝ １． １０．解析 任务一：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误． 任务二：（＋）２－（－）２ ＝ （）２＋2＋（）２－［（）２－２＋（）２］ ＝ ６＋２＋５－（６－２＋５） ＝ ６＋２＋５－６＋２－５ ＝４． １１．Ｄ １２．Ｂ １３．Ａ １４．小丽和小红 １５．（１）ｘ（ｘ－２） （２）４ １６．解析 ∵ ｘ＋ｙ＝+＝，ｘｙ＝＝ １， ∴＋=＝＝＝3 （ｘ－１）（ｙ－１） ＝ ｘｙ－ｘ－ｙ＋１ ＝ｘｙ－（ｘ＋ｙ）＋１ ＝１－＋１ ＝ ２－． 17．解析 （１）原式＝3×÷2 ＝ ＝． （2）原式＝ ×４÷ ＝ 8÷4＝２． （３）原式＝3－６＋2＝12． （４）原式＝2－3×＋2－ ＝2－＋2－ ＝2 18.解析 （１）原式＝－（3－2）＋５ ＝－3＋2＋5 ＝3＋2． （２）（+）×－÷ ＝4+6－2 ＝10－2． （３）（2－６＋３）÷2 =－3×+×4 =7 （4）－×（＋３） =－12－6 =－ 19.解析 （１）（3－１）（3＋１）－（2－１）２ ＝２７－１－（１２－4＋１） ＝２７－１－１２＋4－１ ＝ １３＋４． （２）（＋）（２－2）－（－）２ ＝ （4＋3）（２－2 ）－（3－2+２） ＝8－２４＋6－6－3+2－２ ＝8－4＋6－２９． （３）（7＋4）（2－）２＋（２＋）（２－）－ ＝ （7＋4）（7－4）＋２２－（）２－ ＝４９－４８＋４－３－ ＝２－． 20．解析 （１）=－（ｎ 为正整数）． （２）原式 ＝（－１＋－＋－＋…＋－＋－）（＋１） ＝ （－１）（ ＋１） ＝ ２０２６－１ ＝ ２０２５． 21.解析：（1）1+－ 1 （2）=1+－ （3）++＋…＋． =１＋－+１＋－+１＋－+...+1+－ =10－ =9 22．解析 原式＝（+）÷ ＝（）÷ ＝ ＝ 当ｘ＝＋１，ｙ＝时，原式＝= 23.解析 （１）∵ａ＝－２， ∴ ａ＋２ ＝， ∴（ａ＋２）２＝ ５， ∴ ａ２＋４ａ＝ １， ∴ 原式 ＝ ａ（ａ２＋４ａ）－ａ＋ ＝ａ×１－ａ＋６＝ ６． (2)∵ ｘ＝－２，ｙ ＝＋２， ∴ ｘ＋ｙ ＝２，ｘｙ＝３－４＝－１， ∴ 原式＝==－14 24．解析 由二次根式的定义，得 ∴ ａ＝ ∴ｂ＝１５ ∴ａ＋ｂ＞０，ａ－ｂ＜０，ａｂ＞０， ∴－ ＝－ ＝－ ＝ ＝ ＝ 25．解析 （１）＋ｘ－ ４ｙ－ ＝ ５ ＋－４－ ＝ 当ｘ＝，ｙ ＝ ４ 时，原式＝＝． （２）∵ｘ＝==－ ｙ＝==－－ ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２ ＝（x+y）2+xy ＝（－－－）2+（－）（－－） ＝８－１ ＝ ７ 26．解析（1）2+ 4－3 （２）＋＋＋…＋ ＝－１＋（－） ＋（２－） ＋…＋（１０－） ＝１０－１ ＝ ９． 2 学科网（北京）股份有限公司 $