19.3二次根式的加减.知识点梳理+典例精讲+巩固练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.3二次根式的加减 知识点梳理 二次根式的加减  二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。  1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式；  ③合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．  （分母没有最小公倍数时） 根式比较大小 1、根式变形法  当时，①如果，则；②如果，则。  2、平方法  当时，①如果，则；②如果，则。  3、分母有理化法  通过分母有理化，利用分子的大小来比较。  4、分子有理化法  通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法  当时，①如果，则；② 如果，则。 6、媒介传递法  适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。  7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①；② 8、求商比较法它运用如下性质：当时，则：①；  ② 典例精讲 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算 (1) (2)． 例3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）计算： (1)． (2)． 例4．（2025一2026学年第一学期期末考试八年级数学试卷）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 例5．（25-26八年级上·陕西西安·周测）已知，，求的平方根． 例6．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 例7．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 例8．（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 例9．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 巩固练习 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： (1)； (2)； (3)；(4)． 3．（25-26八年级下·全国·周测）下面是小华同学解答题目的过程：     第一步     第二步     第三步 ．    第四步 小华的解题过程是否有错误？如果有，请指出从第几步开始犯错并写出正确的解答过程． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 5．（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 6．（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 7．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 8．（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 11．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，在中，，，，，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点B出发，沿方向运动，点Q从点C出发，沿方向运动，两点同时开始运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒． 填空：________ ，________ （用含t的式子表示）； (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求t的值； (3)连接，，当线段，将分成三个全等三角形时，请直接写出点P的速度与点Q的速度的比值． 12．（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简： 第 2 页 共 9 页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 11 页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3二次根式的加减 典例精讲 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能与合并的二次根式，必须是与的被开方数相同的最简二次根式，所以需要先把每个选项化为最简二次根式，再判断被开方数是否为． 【详解】解：A、是最简二次根式，被开方数是，与的被开方数不同，不能合并，不符合题意； B、，是整数，不是二次根式，不能与合并，不符合题意； C、，被开方数是，与的被开方数相同，能合并，符合题意； D、​​，被开方数是，与的被开方数不同，不能合并，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，解题关键是先将各选项化为最简二次根式，再判断被开方数是否相同． 例2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． ()先拆分根式除法并化简，再对分式分母有理化，最后去括号合并同类项，得出结果； ()先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 例3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式即可； （2）先根据乘法公式计算，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例4．（2025一2026学年第一学期期末考试八年级数学试卷）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质． 利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴ 甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 例5．（25-26八年级上·陕西西安·周测）已知，，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，求一个数的平方根，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，则可求出的值，根据完全平方公式的变形求出的值，进而求出的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴的平方根为． 例6．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 例7．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 例8．（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 【答案】能， 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算． 将题目中的已知量代入到公式中计算即可． 【详解】解：，，， ， 故这块菜地的面积约为． 例9．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 巩固练习 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式混合运算、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先用二次根式的性质化简，然后再计算即可； （3）先用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并同类二次根式即可． （4）先用二次根式的性质、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．（25-26八年级下·全国·周测）下面是小华同学解答题目的过程：     第一步     第二步     第三步 ．    第四步 小华的解题过程是否有错误？如果有，请指出从第几步开始犯错并写出正确的解答过程． 【答案】有错误，从第二步开始犯错．，过程见解析 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则即可找出错误和正确计算． 【详解】解：有错误，从第二步开始犯错． 原式 ． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查二次根式化简、代数式求值；先对进行分母有理化，得到，进而得到，平方后得到，然后利用这个关系简化代数式． 【详解】解：， ∴， 两边平方得，即， ∴． ∴． 故答案为：2026． 5．（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 6．（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)；1 (2)14 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，乘法运算，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键． （1）根据二次根式的加法运算，乘法运算，计算的值即可． （2）根据的值，将代数式通分后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． （2）解：∵， ∴． 7．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，平方差公式． （）进行分母有理化即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 8．（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)4秒 (2)不正确；理由见解析 (3)；启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论； （3）求出，代入题干计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知：当时，； 故物体从的高空落到地面的时间为4秒． （2）解：不正确． 理由：当时，． ， 她的说法不正确． （3）解：，， ， ， 所带能量， 这个小球在下落过程中所带能量有． 启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 11．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，在中，，，，，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点B出发，沿方向运动，点Q从点C出发，沿方向运动，两点同时开始运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒． 填空：________ ，________ （用含t的式子表示）； (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求t的值； (3)连接，，当线段，将分成三个全等三角形时，请直接写出点P的速度与点Q的速度的比值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直角三角形的性质，列代数式； （1）根据速度乘以时间等于路程求出 ，即可得到； （2）在（1）的条件下，，，，当是等腰三角形时，，据此列方程计算即可； （3）先推理出当线段，将分成三个全等三角形时，三个全等三角形中包含，即与有关的三角形是直角三角形，画出图形，得到此时、、三个三角形全等，则，，，求出，最后根据点P的速度与点Q的速度的比值等于路程比值，即，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， 当点Q在边上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒， ∴ ， ∴， 故答案为：，； （2）解：在（1）的条件下，，，， ∴当是等腰三角形时，， ∴， 解得； （3）解：连接将分成和， ∵中含整个图形中最长边，且与有关的三角形不可能有边等于， ∴当线段，将分成三个全等三角形时，三个全等三角形中包含，即与有关的三角形是直角三角形，如图所示： 此时、、三个三角形全等， ∴，，， ∵， ∴，解得， ∴点P的速度与点Q的速度的比值等于路程比值，即． 12．（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 第 2 页 共 20 页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $