精品解析：安徽芜湖市安徽师范大学附属中学2025～2026学年第二学期期中考查高二数学试题

安徽师范大学附属中学2025~2026学年度第二学期期中考查 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 曲线在点处切线的斜率为（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】，当时， 2. 的展开式的第2项是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】展开式第二项为． 3. 函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解. 【详解】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为， 根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反， 可得为函数的极大值点，为函数的极小值点， 所以函数极值点的个数为4个. 故选：C. 4. 从装有6个红球，3个白球的袋子中，不放回地依次抽取2个小球，在第一次抽取到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】袋中原来有个小球，其中白球有个， 已知第一次抽到白球，则第一次抽取后：袋中还剩个小球， 白球还剩个， 所以在“第一次抽到白球”这个条件下，第二次抽到白球的概率为 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 120 B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项，即可得解. 【详解】在中， 需要从个因式中的个因式中选择，另个因式中选择常数，相乘即可得到含的项， 故含的项的系数为. 故选：C. 6. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据面积函数的变化趋势，结合图象的变化率先变大在变小，即可求解. 【详解】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数， 且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小， 结合选项，可得选项D复合题意. 故选：D. 7. 某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为 A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算公式，分别求出包含事件的基本事件数与基本事件总数即可求得结果. 【详解】由于珠子在每个岔口处有“向左”和“向右”两种情况，因为基本事件总数为， 而从出口3出来的每条路线中有2个“向右”和3个“向左”，即共有条路线， 故所求的概率为. 故选: A. 8. 记，，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据初等函数导数公式及导数运算法则求，观察其规律，确定，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， ， ， ， ， ， ， ，， 观察可得， 所以， 所以， 故选：C. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C. 有三张相同的参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分步乘法原理判断A，利用排除法求解判断B，确定参观券无区别，用组合法求方法数判断C，用插空法求解判断D． 【详解】对A，每封信投入邮筒的方法都有3种，因此由分步乘法原理知方法数为，A正确； 对B，可以任选4人，去除全是男的或全是女的选法，方法数为，B正确； 对C，参赛券没有区别，方法数应为，C错； 对D，先排丙、丁二人，然后甲乙二人插入，方法数为，D正确． 10. 某人有10000元全部用于投资，现有甲、乙两种股票可供选择，已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元，则下列说法正确的有（ ） 表1：甲每股收益的分布列 收益元 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2：乙每股收益的分布列 收益元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 A. 甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B. 相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥 C. 此人投资甲、乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D. 收益的方差之和最小时，此人是按照1:1的资金分配方式投资甲、乙两种股票的 【答案】BC 【解析】 【分析】先分别求出甲、乙两种股票每股收益的数学期望与方差，由数学期望可判断A；由方差可判断哪一种股票更稳妥，从而判断B，设投资甲种股票元，则投资乙种股票元，利用独立随机变量方差可加性，建立方差关于的二次函数，即可判断C，D. 【详解】设甲、乙两种股票每股收益分别为随机变量. 对于甲种股票， 又 所以 对于乙种股票， 又 所以 判断A：因为 所以甲每股收益的数学期望不大于乙每股收益的数学期望，故 A 错误. 判断B：因为 在平均收益相同的情况下，乙种股票收益波动更小，因此投资乙种股票更稳妥，故B正确, 判断C：设投资甲种股票元，则投资乙种股票元， 由于买入价都是每股 元，所以分别买入甲、乙两种股票的股数就是 于是甲、乙两部分收益分别为 它们的数学期望之和为 所以不论怎样分配资金，收益的数学期望之和都为元，故C正确. 判断D：由独立性知，总收益的方差为 设 则是开口向上的二次函数，其最小值在顶点处取得. 令 得 解得此时 所以最优分配比为 并不是故D错误. 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用求导判断函数的单调性，即可判断A项；利用函数单调性即可判断B，C项，利用作差比较法即可判断D项. 【详解】对于A，由求导得， 由得或，由得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减，即是的极大值点，故A错误； 对于B，当时，，由A项知函数在上单调递增，则，故B正确； 对于C，当时，，由A项知函数在上单调递减， 故，因，则，故C正确； 对于D，因， 则， 因，则，故，即此时，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则n的值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据组合数的性质，结合条件，即可得答案. 【详解】根据组合数的性质，且， 所以. 故答案为：10 13. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为3%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________． 【答案】0.032 【解析】 【详解】设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”， ， 取到的零件是次品的概率为 14. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解，化简方程在区间上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解. 【详解】解：根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点， 则方程在区间上有解， 即方程在区间上有解， 设函数，其导数， 又由，可得：当时， 为减函数， 当时， 为增函数， 故函数有最小值， 又由；比较可得： ， 故函数有最大值， 故函数在区间上的值域为； 若方程在区间上有解， 必有，则有， 即的取值范围是； 故答案为：； 【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数的零点就是方程的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决. 四、解答题：（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步漂．） 15. （1）解方程：； （2）求所有满足且的的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）（2）利用排列数的阶乘计算公式化简求解即得. 【详解】（1）因，则， 即， 又且，则得． （2）由得， 因为且，则得，即，解得； 由得， 化简得，即，解得或， 又因为，，所以且， 故． 16. 已知函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求在区间上的最小值． 【答案】（Ⅰ）单调递减区间是（）；单调递增区间是（Ⅱ）见解析 【解析】 【详解】（Ⅰ）令，得．与的情况如下： x （） （ — 0 + ↗ ↗ 所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是 （Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增， 所以（x）在区间[0，1]上的最小值为当时， 由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增， 所以在区间[0，1]上的最小值为； 当时，函数在[0，1]上单调递减， 所以在区间[0，1]上的最小值为 17. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品． （1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率； （2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记 为“恰好获得1个纪念品”，列出事件包含的子事件，求出这些子事件的概率再求和即可； （2）据题意得到 的可能值并求对应事件的概率，求 x 的分布列，再根据期望公式计算即得. 【小问1详解】 设每次抽中纪念品为事件，未抽中为事件 ，且， . 记 为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况： 第1次中，第2次未中，第3次未中：； 第1次未中，第2次中，第3次未中：； 第1、2两次均未中，则第3次必得：； 所以. 【小问2详解】 记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则 的可能取值为1,2,3. ； ； . 分布列 . 18. 已知函数． （1）当时，若，当且仅当时，求． （2）若是的极大值点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本小问解题关键是将“若，当且仅当时”转化成“对，有”，利用导数，求出函数的单调性，从而求出的值； （2）根据极大值点处导函数为，且左侧单调递增，右侧单调递减，求出所有极值点，再讨论是否符号极大值即可. 【小问1详解】 解：由题意知的定义域为， 当时，，则， 令，则， 当时，，∴在单调递减， 当时，，∴在单调递增， 又，∵在取极小值也是最小值， ∴ 在恒成立，∴在上单调递增． 由题知，，当且仅当， 则对，有， ∵单调递增，∴是时的最小值，∴， 代入得，∴， 当时，，且在上单调递增，， 当，则 当，则， 因此，当且仅当成立， 综上，. 【小问2详解】 由， 则， 令， ． 当，时，，单调递增， ∴，即． ∴在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意． 当时，令． 则， 显然单调递减，要使是的极大值点，则，即， 且在两侧左正右负. 注意到，即， ①令，， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴单调递减，又， ∴当时，，即， 当时，，即， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴是的极大值点，符合题意； ②若，则， ， ∴在上有唯一零点，设为零点为， ∴当时，，单调递增， ∴，即． ∴在上单调递增，不符合题意； ③若，则，， ∴在上有唯一零点，设零点为， ∴当时，，单调递减， ∴，∴单调递增， ∴，即， ∴在上单调递减，不符合题意． 综上，． 19. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级． 现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令 ， 则是对两次排序的偏离程度的一种描述． (Ⅰ)写出的可能值集合； (Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列； (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有， (i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由． 【答案】(Ⅰ)｛0，2，4，6，8｝ (Ⅱ)见解析(Ⅲ) (i)1/216(ii)见解析 【解析】 【详解】解: ( 1 ) X的可能取值集合为{0、2、4、6、8} :在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个, 所以a2 , a4中的奇数个数等于a1 , a3中的偶数个数, 与的奇偶性相同， 所以必为偶数, X的值非赖,且易知其值不大于8， .:.X的可能取值集合为{0、2、4、6、8} ( 2 )可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列， 计算每种排列下的x的值， 在等可能的假定下， 得到 (3)①首先 将三轮测试都有X≤2的概率记做P ,有上述结果和独立性假设得 ②由于是一个很小的概率, 这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小， :我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能,不是靠随机猜测. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽师范大学附属中学2025~2026学年度第二学期期中考查 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 曲线在点处切线的斜率为（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 2. 的展开式的第2项是（ ） A. B. C. D. 1 3. 函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 从装有6个红球，3个白球的袋子中，不放回地依次抽取2个小球，在第一次抽取到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 120 B. 15 C. D. 6. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为 A. B. C. D. 以上都不对 8. 记，，则（ ） A. B. C. 0 D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C. 有三张相同的参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 10. 某人有10000元全部用于投资，现有甲、乙两种股票可供选择，已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元，则下列说法正确的有（ ） 表1：甲每股收益的分布列 收益元 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2：乙每股收益的分布列 收益元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 A. 甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B. 相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥 C. 此人投资甲、乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D. 收益的方差之和最小时，此人是按照1:1的资金分配方式投资甲、乙两种股票的 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则n的值是______． 13. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为3%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________． 14. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____． 四、解答题：（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步漂．） 15. （1）解方程：； （2）求所有满足且的的值． 16. 已知函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求在区间上的最小值． 17. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品． （1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率； （2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望． 18. 已知函数． （1）当时，若，当且仅当时，求． （2）若是的极大值点，求． 19. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级． 现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令 ， 则是对两次排序的偏离程度的一种描述． (Ⅰ)写出的可能值集合； (Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列； (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有， (i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $