安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

安徽师范大学附属中学2023~2024学年度第二学期期中考查 高二数学试题 命题教师：吴 一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 2 2. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. 13 B. C. 11 D. 3. 掷两枚质地均匀骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C 相互独立 D. 相等 4. 已知抛物线（）的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，若是边长为6的等边三角形，则的值是（ ）． A. 3 B. C. 6 D. 5. 若一个四位数的各个数位上的数字之和为4，则这样的四位数共有（ ）个． A 10 B. 15 C. 19 D. 20 6. 已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，再将的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图像，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 使取最大值的n值有2个 C. 使得成立的n的最大值为23 D. 10. 甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A 事件与事件相互独立 B. C. D. 11. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设，则______． 13. 如图所示为函数的图象，是的导函数，和分别为极大值点和极小值点，则不等式的解集为______． 14. 4个半径为1的球两两相切，下面3个上面1个堆放两层摆放在桌上，问上面的球的最高处到桌面的距离为______，在4个球的中间再放1个小球和4个球都相切，小球的半径为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 16. 已知的内角所对边的长分别，且． （1）若，求的大小； （2）当取得最大值时，试判断的形状． 17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，，点E，F分别为棱PB，BC的中点． （1）求证：； （2）求平面AEF与平面ECD所成二面角的正弦值． 18. 汉诺塔（Hanoi）游戏是源于印度古老传说益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）．游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为． （1）求，，； （2）写出与的关系，并求出． （3）求证： 19. 已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且， （1）求C的方程； （2）B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q， ①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列； ②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，？若存在，求；若不存在，请说明理由. 安徽师范大学附属中学2023~2024学年度第二学期期中考查 高二数学试题 命题教师：吴 一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共