5.3.1 函数的单调性（第2课时）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性（第2课时） 【学习目标】 1. 进一步理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究三次函数等复杂函数的单调性. 1. 会利用函数的单调性求参数的取值范围、比较大小、解不等式. 1. 理解导数绝对值的大小与函数图象“陡峭” “平缓”程度的关系. 1. 掌握利用导数研究函数单调性的一般步骤，提升逻辑推理与数学运算素养. 【学习重点】 1. 利用导数求三次函数的单调区间（含参数讨论）. 2. 利用单调性比较大小、解不等式. 【学习难点】 1. 对三次函数导数（二次函数）零点情况的分类讨论. 2. 由导数符号确定含参函数的单调区间. 学习任务一 利用导数研究三次函数的单调性 【合作探究】 1. 回顾利用导数研究函数单调性的一般步骤： · ① 确定函数的______； · ② 求导数 ； · ③ 求出 的______； · ④ 用零点将定义域划分成若干个区间，列表判断 的符号，从而确定单调区间. 1. 已知函数 ，请按上述步骤求其单调区间. 1. 对于三次函数 （），其导函数 是二次函数. (1) 二次函数 的判别式 .根据 的符号， 的零点个数有哪几种情况？ (2) 结合 的符号，请填写下表（三次函数的单调性）： 情况 时 的单调性 时 的单调性 （无零点） 在 上单调______ 在 上单调______ （一个零点 ） 在 上单调______ 在 上单调______ （两个零点 ） 增区间：______；减区间：______ 增区间：______；减区间：______ 【自主梳理】 利用导数研究函数单调性的一般步骤（完善）： 1. 确定函数 的 定义域. 1. 求导数 . 1. 解方程 ，求出 的 零点. 1. 用零点将定义域划分为若干个区间，列表给出 在各区间上的 正负，从而得出函数 在定义域内的单调性. 学习任务二 利用单调性求参数的范围 【合作探究】 1. 若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围. · （提示： 在 上恒成立） 1. 已知函数 在 上不单调，求实数 的取值范围. 【自主梳理】 利用单调性求参数范围的一般思路： 1. 若函数在区间 上单调递增，则 在 上恒成立（等号只在有限个点处取得）. 2. 若函数在区间 上单调递减，则 在 上恒成立. 3. 若函数在 上不单调，则导函数存在变号零点（即方程 有不相等的实根）. 学习任务三 利用单调性比较大小、解不等式 【合作探究】 1. 比较 与 的大小，你能用导数解释吗？（提示：构造函数 ，其导数为正） 1. 已知函数 ，解不等式 . · （提示：先利用导数判断单调性，再找出零点） 1. 若函数 在区间 上单调递增，比较 与 的大小. 【自主梳理】 利用单调性比较大小： 1. 构造函数 ，使待比较的数值为 与 的形式. 2. 利用导数判断 在区间上的单调性，再根据自变量的大小关系得出结论. 利用单调性解不等式： 1. 将不等式化为 （或 ）的形式. 2. 利用导数研究 的单调性，结合零点，写出解集. 学习任务四 导数绝对值与函数变化快慢 【合作探究】 1. 观察函数 与 在区间 上的图象（想象）. (1) 当 很大时，哪个函数增长得更快？ (2) 比较它们的导数：，.导数的绝对值大小与函数图象的“陡峭”程度有什么关系？ 1. 总结：一般地，在区间 上，如果导数的绝对值______，则函数变化得较慢，图象比较“平缓”；如果导数的绝对值______，则函数变化得较快，图象比较“陡峭”. 【自主梳理】 函数增减的快慢与导数的关系： · 设函数 在区间 上可导， 反映了函数在该点附近变化的______. · 越大，图象越______； 越小，图象越______. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若函数 在 上单调递增，则 恒成立. （ ） 1. 三次函数 （）的导函数 的判别式 时，函数一定有两个单调递增区间和一个单调递减区间. （ ） 1. 若 在区间 上成立，则函数在 上单调递增. （ ） 1. 函数 的导数绝对值较大，说明其图象增长得很快. （ ） 1. 利用导数解不等式时，不需要考虑函数的定义域. （ ） 【典例分析】 例1：已知函数 . （1）求 的单调区间； （2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 解： 例2：已知函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围. 解： 【习题巩固】 1. 函数 的单调递增区间是（ ） · A. 和  B.   · C. 和  D. 1. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） · A.  B.   · C.  D. 1. 已知 ，则下列不等式中正确的是（ ） · A.  B.   · C.  D. 无法比较 1. 函数 的图象大致形状是（描述即可） · A. 先增后减再增 B. 先减后增 C. 一直增 D. 一直减 5.（选做）已知函数 ，讨论 的单调性. 学科网（北京）股份有限公司 $