5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时） 【学习目标】 1. 借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 1. 能通过导数研究函数的极值，会求函数的极大值和极小值. 1. 理解极值的局部性，能对含参数的函数进行极值讨论. 1. 体会导数在研究函数性质中的工具性作用. 【学习重点】 1. 极值的概念及判定方法. 2. 利用导数求函数的极值（一般步骤）. 【学习难点】 1. 理解“”是可导函数取得极值的必要但不充分条件. 2. 对含参函数极值的分类讨论. 学习任务一 极值的概念与几何意义 【合作探究】 1. 回顾高台跳水运动员的高度函数 ，其图象是一个开口向下的抛物线. (1) 观察 为最高点处， 等于多少？ (2) 在 左侧附近，函数是单调递增还是递减？ 的符号是什么？ (3) 在 右侧附近，函数是单调递增还是递减？ 的符号是什么？ (4) 这种“先增后减”的点，我们称为什么点？对应的函数值叫什么？ 1. 观察一般函数 的图象（设想一个波状曲线，有多个峰和谷）： (1) 在 处函数值比它附近所有点的函数值都小，这样的点称为______点，对应的函数值称为______. (2) 在 处函数值比它附近所有点的函数值都大，这样的点称为______点，对应的函数值称为______. (3) 极大值点和极小值点统称为______，极大值和极小值统称为______. 1. 思考并讨论： (1) 一个函数的极值是否唯一？ (2) 极小值一定小于极大值吗？ (3) 任何一个函数都有极值吗？ (4) 极值是函数的局部性质还是整体性质？ 【自主梳理】 1. 极值点与极值的定义： (1) 设函数 在点 附近有定义，如果 比它在点 附近其他点的函数值都小，且 ，同时在 附近左侧 ，右侧 ，则称 为函数 的______点， 为______值. (2) 类似地，如果 比它在点 附近其他点的函数值都大，且 ，同时在 附近左侧 ，右侧 ，则称 为函数的______点， 为______值. 1. 对极值概念的理解： (1) 极值是函数在某一点附近的性质，是______（局部/整体）性质. (2) 函数的极值不一定唯一，可以有多个______值和______值. (3) 极大值与极小值之间没有确定的大小关系，极大值可能比极小值还______. (4) 对于可导函数，若 是极值点，则 ______；反之，若 ，则 ______（一定/不一定）是极值点. 学习任务二 极值的判定条件与求法 【合作探究】 1. 已知函数 ，.计算 ______. (1) 判断 是否是极值点？为什么？（提示： 在 上单调递增， 左右导数同号） (2) 由此说明：“”是“ 是极值点”的______条件. 1. 总结可导函数在某点取得极值的充分条件： · 设 ， (1) 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是______值； (2) 如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是______值； (3) 如果在 两侧 的符号相同，则 ______（是/不是）极值点. 1. 根据上述结论，归纳利用导数求函数极值的步骤. 【自主梳理】 求可导函数 极值的步骤： 1. 确定函数的______； 1. 求导数 ； 1. 求方程 的______； 1. 列表：用这些根将定义域分成若干区间，判断 在各区间内的符号； 1. 根据符号变化确定极值： (1) 左正右负 → ______值； (2) 左负右正 → ______值； (3) 左右同号 → 不是极值点. 学习任务三 求极值的典例与含参讨论 【合作探究】 1. 求函数 的极值. · （按步骤：定义域 ，，驻点 ，列表判断符号） 1. 已知函数 ，求其极值. 1. 若函数 ，讨论其极值情况.（提示：，需对 的符号分类讨论） 1. 已知函数 在 处取得极值 ，求 的值. 【自主梳理】 由极值求参数值（或范围）的注意事项： 1. 利用极值点处导数为0建立方程. 2. 验证所求参数是否满足极值条件（左、右导数异号）. 3. 对于可导函数，极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，需检验. 【自查自纠】（正误判断） 1. 函数 的极大值一定大于它的极小值. （ ） 1. 若 ，则 一定是极值点. （ ） 1. 极值是函数在某一区间上的最大值或最小值. （ ） 1. 函数 在 处有极小值，但该点不可导. （ ） 1. 求极值时，必须考虑函数的定义域. （ ） 【典例分析】 例1：求函数 的极值. 解： 例2：已知函数 有极大值 ，求实数 的值. 解： 【习题巩固】 1. 函数 的极小值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 函数 的极大值点为（ ） · A.  B.  C.  D. 无极值点 1. 已知函数 有极大值和极小值，则实数 的取值范围是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 下列函数中，在 处取得极值的是（ ） · A.  B.  C.  D. 5.（选做）设函数 ，求 的极值点，并说明理由.. 学科网（北京）股份有限公司 $