5.3.1第一课时函数的单调性导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第一课时　函数的单调性 学案 学习目标 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．　 2.能利用导数研究函数的单调性．　 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． .　 情境导入 同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法可求函数的单调区间，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等．但是对于更复杂一些的函数的单调性，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，利用导数可求函数的单调性吗？ 新知探究 知识点　函数的单调性与导数的关系 问题引导 　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系． 　 从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明，在区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减． 知识点总结 　在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 1．当f′(x)＝0时，f(x)是常函数； 2．原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化； 3．如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开． 典例探究 例1　(链接教材P86例1)利用导数判断下列函数的单调性． (1)f(x)＝x3＋3x； (2)f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)； (3)f(x)＝. 利用导数判断函数的单调性 (1)坚持定义域优先原则，要特别注意分式函数以及对数函数的定义域． (2)求函数f(x)的导数f′(x)，由f′(x)＞0求不等式的解集，得到f(x)的单调递增区间；由f′(x)＜0求不等式的解集，得到f(x)的单调递减区间． 变式训练 (2022·浙江高考节选)设函数f(x)＝＋ln x(x>0)．试判断函数f(x)的单调性． 思维提升 　利用导数求单调区间及导函数与原函数的关联图象 题型一　利用导数求函数的单调区间 例2　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝cos x＋x，x∈(0，π)． 故函数f(x)的单调递增区间是(0，)和(，π)，单调递减区间是(，)． 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)在定义域内，解不等式f′(x)＞0得到函数的单调递增区间，解不等式f′(x)＜0得到函数的单调递减区间． 变式训练 1．已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋x，求f(x)的单调区间． 题型二　导函数与原函数的关联图象 例3 　(1)函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) (2)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　) 变式训练 2．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 常见误区：忽略定义域的限制． 课堂练习 1．函数f(x)＝2x＋cos x在(－∞，＋∞)上(　　) A．是增函数　　　　　 B．是减函数 C．单调性不确定　　　 D．是奇函数 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 　 3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________． 4．利用导数判断下列函数的单调性． (1)f(x)＝x3－x2＋2x－5； (2)f(x)＝x－ex(x＞0)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一课时　函数的单调性 学案 学习目标 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．　 2.能利用导数研究函数的单调性．　 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． .　 情境导入 同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法可求函数的单调区间，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等．但是对于更复杂一些的函数的单调性，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，利用导数可求函数的单调性吗？ 新知探究 知识点　函数的单调性与导数的关系 问题引导 　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系． 　 提示：(1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1＞0； (2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．而y′＝2x，当x＜0时，其导数y′＜0；当x＞0时，其导数y′＞0；当x＝0时，其导数y′＝0； (3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数．而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2＞0；当x＝0时，其导数3x2＝0； (4)函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，而y′＝－，因为x≠0，所以y′＜0. 从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明，在区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减． 知识点总结 　在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 1．当f′(x)＝0时，f(x)是常函数； 2．原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化； 3．如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开． 典例探究 例1　(链接教材P86例1)利用导数判断下列函数的单调性． (1)f(x)＝x3＋3x； (2)f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)； (3)f(x)＝. 解：(1)由已知可得，函数的定义域为x∈R，又f′(x)＝3x2＋3. 因为当x∈R时，3x2＋3＞0，所以f′(x)＞0，即函数单调递增． 综上所述，f(x)＝x3＋3x在R上单调递增． (2)因为f′(x)＝cos x－1，x∈(0，π)，则cos x∈(－1，1)，所以f′(x)＜0，即f(x)在(0，π)上单调递减． 综上所述，f(x)＝sin x－x在(0，π)上单调递减． (3)因为f(x)＝1－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以f′(x)＝＞0. 所以函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增． 利用导数判断函数的单调性 (1)坚持定义域优先原则，要特别注意分式函数以及对数函数的定义域． (2)求函数f(x)的导数f′(x)，由f′(x)＞0求不等式的解集，得到f(x)的单调递增区间；由f′(x)＜0求不等式的解集，得到f(x)的单调递减区间． 变式训练 (2022·浙江高考节选)设函数f(x)＝＋ln x(x>0)．试判断函数f(x)的单调性． 解：因为f(x)＝＋ln x(x>0)， 所以f′(x)＝－＋＝(x>0)． 令f′(x)<0，得0<x<； 令f′(x)>0，得x>， 所以函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增． 思维提升 　利用导数求单调区间及导函数与原函数的关联图象 题型一　利用导数求函数的单调区间 例2　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝cos x＋x，x∈(0，π)． 解：(1)∵函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－. ∴令f′(x)＞0，即2x－＞0，解得x＞； 令f′(x)＜0，即2x－＜0，解得0＜x＜. 故函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)． (2)∵x∈(0，π)，且f′(x)＝－sin x＋. ∴令f′(x)＞0，即－sin x＋＞0， 解得0＜x＜或＜x＜π； 令f′(x)＜0，即－sin x＋＜0， 解得＜x＜. 故函数f(x)的单调递增区间是(0，)和(，π)，单调递减区间是(，)． 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)在定义域内，解不等式f′(x)＞0得到函数的单调递增区间，解不等式f′(x)＜0得到函数的单调递减区间． 变式训练 1．已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋x，求f(x)的单调区间． 解：f(x)＝(x－2)ex－x2＋x，x∈R， ∴f′(x)＝ex＋(x－2)ex－x＋1＝(x－1)(ex－1)． 令f′(x)＞0，解得x＞1或x＜0. 令f′(x)＜0，解得0＜x＜1. ∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间是(0，1)． 题型二　导函数与原函数的关联图象 例3 　(1)函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 解析：D　从函数y＝f(x)的图象可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f′(x)＜0；在区间(0，x1)上是增函数，f′(x)＞0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f′(x)＞0.结合选项可知，只有D项满足． (2)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　) 解析：D　由题意可知，当x＜0和x＞2时，导函数f′(x)＜0，函数f(x)是减函数；当x∈(0，2)时，导函数f′(x)＞0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D所示． 导函数的正负决定了原函数图象的变化，遵循“符号为正，图象上升；符号为负，图象下降”的原则．导函数图象在x轴的上方或下方，确定导函数的正或负．解决问题时，一定要分清是原函数图象还是导函数图象． 变式训练 2．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 解析：C　∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1，4)上单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0. 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 常见误区：忽略定义域的限制． 课堂练习 1．函数f(x)＝2x＋cos x在(－∞，＋∞)上(　　) A．是增函数　　　　　 B．是减函数 C．单调性不确定　　　 D．是奇函数 解析：A　∵f′(x)＝2－sin x>0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 　 解析：D　由y＝f(x)的图象知，函数y＝f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上是减函数， ∴当x>0时，f′(x)<0；当x<0时，f′(x)<0. 结合选项图，知D项满足要求． 3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________． 解析：由f′(x)＝ex－1>0，得ex>1，∴x>0，从而函数的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 4．利用导数判断下列函数的单调性． (1)f(x)＝x3－x2＋2x－5； (2)f(x)＝x－ex(x＞0)． 解：(1)因为f(x)＝x3－x2＋2x－5，x∈R， 所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0， 所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5在R上单调递增． (2)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex＜0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 $$