精品解析：天津市静海区第一中学2025-2026学年高一第二学期期中学业能力调研数学试卷

静海一中2025-2026第二学期高一数学（期中） 学生学业能力调研试卷 第Ⅰ卷 基础题（共91分） 一、选择题: 每小题4分，共32分. 1. 设，则z的虚部是 A. 1 B. i C. -1 D. -i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的性质化简，结合虚部即可得到结果. 【详解】，的虚部为1，故选A． 【点睛】本题主要考查了复数的运算性质以及复数的分类，属于基础题. 2. 如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以， 又，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型. 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案. 【详解】因，则， 则. 故选：A 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台 D. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】 根据棱柱的几何特征，有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，由此可判断A、B的真假；根据棱台的几何特征，可判断C的真假.根据棱锥的几何特征：有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，可判断D的真假. 【详解】因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误； 而一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，所以C错误； 因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以D正确. 故选：D. 5. 一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理求得，通过已知求出，然后由勾股定理可得. 【详解】由题可知，， 所以，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 即两地的距离为. 故选：A 6. 已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】球被平面所截得的截面面积为，可得截面圆的半径为，正方形的边长为， 设球的半径为，则到平面的距离为， ，解得， 所以四棱锥的体积为. 7. 在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用向量的数量积和三角形的面积公式，得到，求得，再由余弦定理，结合，列出方程求得，得到，即可得到答案. 【详解】由，可得， 即，可得， 因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，可得，所以， 整理得，即，所以，所以， 所以为等边三角形. 故选：B. 8. 已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ） ①若，则定为等腰三角形 ②若，则一定是锐角三角形 ③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 ⑤若，则点是的内心 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式求解判断①；利用余弦定理推理判断②；利用向量线性运算判断③；利用三角形心的向量表示判断④；利用向量数量积判断⑤即可得解. 【详解】对于①，在中，由，得或， 即或，则是等腰三角形或直角三角形，①错误； 对于②，由及余弦定理，得，则为锐角， 而是否为锐角不确定，②错误； 对于③，由，得，即， 则，的面积是面积的，③错误； 对于④，由，得是的重心， 由，得是的外心， 即的重心、外心重合，则为等边三角形，④正确； 对于⑤，由，得， 则，则， 则，即平分， 由，同理得平分， 因此点O是的内心，⑤正确， 所以正确命题的个数是2. 故选：B 二、填空题：每小题5分，共25分. 9. 已知复数，求=_______ 【答案】1 【解析】 【分析】由除法法则求得，再根据共轭复数和模的定义计算. 【详解】由已知， 所以. 10. 已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是_______________； 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，得到，求得，结合圆的面积公式和圆锥的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，所以， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：. 11. 已知水平放置的的平面直观图是边长为1的正三角形，那么的面积为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查用斜二测画法画出的直观图的面积与原图形面积之间， 满足等量关系，代入求解即可. 【详解】解：由水平放置的平面图形，用斜二测画法画直观图时， 直观图的面积与原图形面积之间满足，即， 由直观图等边三角形的面积， 所以的面积. 12. 在中，已知，则_______ 【答案】 【解析】 【详解】在中，已知，所以，因为，所以. 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出，再将两边平方，然后利用基本不等式求解出最小值即可. 【详解】，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 的最小值为. 三、解答题：(本大题共5小题，共60分) 14. 已知复数，. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据虚部为零列方程求解； （2）根据实部为零，虚部不为零列方程求解； （3）根据实部大于零，虚部小于零列不等式求解； 【小问1详解】 解：，且是实数， ， 解得或； 【小问2详解】 解：是纯虚数， ， 解得； 【小问3详解】 解：在复平面内对应的点在第四象限， ， 解得. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角； （2）利用余弦定理和基本不等式得出的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值． 【详解】解：（1）因为 由正弦定理可得，即，又，所以，因为，所以 （2）因为，，所以，又，所以，即，当且仅当时取等号； 所以，故三角形面积的最大值 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 16. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】（1）或3： （2）1或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用即可； （2）利用得出值，再利用求模公式； （3）利用且不共线即可. 【小问1详解】 若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. 【小问2详解】 若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. 【小问3详解】 因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 第Ⅱ卷 提高题（共26分） 17. （1）如图，长方体，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. ①求三棱锥的体积； ②求 . （2）如图所示，已知多面体，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，求该多面体的体积. （3）结合本题，总结求空间几何体的体积有哪些方法？ 【答案】（1）①120；②80；（2）4；（3）分割法；补形法；等体积转换法 【解析】 【分析】（1）利用等体积转换，将三棱锥顶点转移到底面面积与高容易求的位置，直接计算体积； （2）采用分割法，将多面体拆分为两个直棱柱分别求体积后相加；或采用补形法，补成正方体后取一半； （3） 归纳几何体体积计算的常用方法：分割法、补形法、等体积转换法. 【详解】（1）①由题可得： ②因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . （2）法一（分割法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，两两互相垂直，所以可推出. 如图所示，过点作于，连接， 即把多面体分割成一个直三棱柱和一个斜三棱柱. 由题知， ， . 故所求几何体的体积为. 法二（补形法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半. 又正方体的体积，故所求几何体的体积为. （3）分割法；补形法；等体积转换法. 18. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的周长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用余弦定理解得，即可得周长； （3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而可得取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以解得. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 因为，所以解得， 因此的周长为. 【小问3详解】 由正弦定理可得， 所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 解得，即， 所以，即， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2025-2026第二学期高一数学（期中） 学生学业能力调研试卷 第Ⅰ卷 基础题（共91分） 一、选择题: 每小题4分，共32分. 1. 设，则z的虚部是 A. 1 B. i C. -1 D. -i 2. 如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台 D. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 5. 一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ） ①若，则定为等腰三角形 ②若，则一定是锐角三角形 ③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 ⑤若，则点是的内心 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：每小题5分，共25分. 9. 已知复数，求=_______ 10. 已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是_______________； 11. 已知水平放置的的平面直观图是边长为1的正三角形，那么的面积为____________ 12. 在中，已知，则_______ 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 三、解答题：(本大题共5小题，共60分) 14. 已知复数，. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 16. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 第Ⅱ卷 提高题（共26分） 17. （1）如图，长方体，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. ①求三棱锥的体积； ②求 . （2）如图所示，已知多面体，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，求该多面体的体积. （3）结合本题，总结求空间几何体的体积有哪些方法？ 18. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的周长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $