精品解析：江苏淮安市开明中学等校2025-2026学年下学期九年级八校联考期中数学试卷（2026.4.28）

数学四 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“祝”相对的字是（ ） A. 考 B. 试 C. 顺 D. 利 5. 如图，在中，，直线a经过点A和边的中点D，直线b经过点C，且，若，则的度数为（ ） A. 57° B. 67° C. D. 46° 6. 一个圆锥的母线为，底面圆的半径为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 电影《满江红》一经上映便受到广大观众的喜爱，已知第一天票房为3亿元，前三天票房累计约15亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（） A. B. C. D. 8. 在中，，，垂足为，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 10. 分解因式：_________． 11. 若二次函数的图象经过点，则______． 12. 超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 70 80 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值是_____． 14. 如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是______度． 15. 如图，的半径为6，点在上，点在内，且，过点作的垂线交于点、．设，，则与的函数表达式为_____． 16. 如图，等边的边长为2，点在边上，过点作交的延长线于点，若，则的长为_____ 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. 计算与解不等式组 （1）； （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，中，点，分别在，上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形为菱形，，，则的面积为__________ 20. 临近中考，心理专家建议考生可通过以下三种方式进行考前减压：A．享受美食，B．交流谈心，C．体育锻炼． （1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“体育锻炼”的概率是_____； （2）随机采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们选择同种减压方式的概率． 21. 为统计跳绳情况，某校随机抽取了名女生和名男生的跳绳成绩，并对数据进行整理得如下统计表： 表1： 分值（分） 男生（人） 女生（人） 表2： 数据 平均数 中位数 众数 方差 男生成绩（分） 女生成绩（分） （1）上述表格中，______，_____； （2）请计算女生成绩的方差____； （3）结合表和表中的统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由． 22. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 24. 某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个元，以每个不低于成本价且不超过元的价格销售，售价（元/个）与每天销售量（个）的对应值表格如下： （元/个） （个） （1）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每天的利润可达到元？ 25. 已知关于的二次函数（m为常数）． （1）此二次函数的对称轴是直线_____ （2）说明该函数图象与轴必有两个不同的交点； （3）若，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，在点从点运动到点的过程中，的长总是先增大后减小，直接写出的取值范围． 26. 在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻满足；如图②，在并联电路中，总电阻满足 （1）如图②，已知，总电阻为，求的值； （2）我们也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图③，在直线上任取两点、，分别过点、作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点位于直线的同侧，连接、，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：∵，，∴ 又∵，∴ _____①_____， ∴（依据________②______） 同理可得：，∴， ∴，即 依据上述证明过程，补全①②的内容： ①_______________②____________ （3）如图④，三个电阻、、并联在同一电路中，已知，，，且，请在图中用无刻度直尺和圆规作出电路图中表示总电阻的线段． （4）如图②，电阻，并联在电路中，且，请用所学过的数学知识讨论一下，分别为多少时，该电路的总电阻最大，最大电阻是多少？ （5）我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围． 27. 定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角的倍，该三角形称为“倍角三角形”．如图1，在中，，则是“二倍角三角形”；如图2，，则是“三倍角三角形”； 【提出问题】三角形中的角与边之间存在一定的关系，如我们学过的：“等角对等边”、“直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”．那么在“二倍角三角形”中，三边之间是否也存在特殊的关系？ 结论：在“二倍角三角形”中，若，则 【推理证明】“转化”是我们研究数学问题的重要思想方法，研究小组思考将“二倍角”问题转化为等角进行研究，得到如下两种证明思路： 思路一：如图3，延长至，使，连接． 思路二：如图4，将沿直线翻折，使点与点重合，与分别交于点、E，连接． （1）请从以上两种思路中，选择其中一种继续完成证明． 【拓展应用】 （2）①如图5，已知中，，点是斜边的中点，将沿折叠，点恰好落在边上点处，若，则_____ ②如图6，在“四倍角三角形”中，，则的长为_____． 【深度应用】 对于“三倍角三角形”，如图7，可以将它分割成两个等腰三角形”知识一个物图8，也可以将它分割成一个二倍角三角形和一个一般三角形． （3）如图9，在“三倍角三角形”中，，平分，，则的值为__________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学四 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘除，计算每个选项即可得到正确结果． 【详解】解：选项A：根据幂的乘方法则，幂的乘方底数不变，指数相乘 ， ∴ A运算错误． 选项B：根据合并同类项法则，合并同类项时系数相加减，字母与字母的指数不变 ， ∴ B运算错误． 选项C：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减 ， ∴ C运算错误． 选项D：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ， ∴ D运算正确． 3. 在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵该立体图形是鼓，其侧面轮廓为向外凸出的曲线，上下底面互相平行， ∴从左面观察该立体图形，看到的图形上下边缘为水平线段，左右边缘为向外凸出的曲线，  ∴选项符合题意． 4. 一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“祝”相对的字是（ ） A. 考 B. 试 C. 顺 D. 利 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形， ∴“祝”与“顺”相对． 5. 如图，在中，，直线a经过点A和边的中点D，直线b经过点C，且，若，则的度数为（ ） A. 57° B. 67° C. D. 46° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角形的两锐角互余，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，所以，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：， ， 是边的中点， ， ， ， ． 6. 一个圆锥的母线为，底面圆的半径为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥侧面积公式，代入已知条件即可求出结果． 【详解】解：∵圆锥侧面积公式为，其中为底面半径，为圆锥母线长， 由题可知，， ∴． 7. 电影《满江红》一经上映便受到广大观众的喜爱，已知第一天票房为3亿元，前三天票房累计约15亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依次求出三天的票房，再根据前三日票房累计为15亿元列出方程即可． 【详解】解：∵第一天票房为3亿元，每天票房的增长率为x， ∴第二天票房为亿元 第三天票房为亿元 ∵前三日票房累计约为15亿元 ∴将三天票房相加，可列方程得． 8. 在中，，，垂足为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，可证明得到，则，据此可得，则． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 10. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查综合公式法和提公因式法进行因式分解，注意有公因式一定要先提公因式． 11. 若二次函数的图象经过点，则______． 【答案】2027 【解析】 【分析】将点代入可得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：将点代入，得 ， 即， ． 12. 超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 70 80 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 【答案】 78 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法，将三项测试成绩分别乘以对应的权重，求和即可得到总成绩． 【详解】解：根据题意，三项测试成绩的权重和为， 因此该应聘者的总成绩为： （分）． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将已知根代入原一元二次方程，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴， 整理得， 解得，． ∴的值是或． 14. 如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形外角和定理求出，根据正方形的性质得出，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵是正五边形的外角， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． 15. 如图，的半径为6，点在上，点在内，且，过点作的垂线交于点、．设，，则与的函数表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接并延长交于H，连接，利用圆周角定理和垂直定义证明，再利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图：连接并延长交于H，连接， 由圆周角定理得，．  ∵，  ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为6，  ∴， ∵，， ∴，即． 16. 如图，等边的边长为2，点在边上，过点作交的延长线于点，若，则的长为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及一元二次方程的解法．先根据平行线的性质和等边三角形的性质证明，利用相似比将  转化为关于 的方程，然后通过作高利用勾股定理表示出 ，联立求解即可． 【详解】解： 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 即， 过点 作于点，  是等边三角形，， ，， ， 在中，， ， 整理得， 解得， ， ， 即的长为． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. 计算与解不等式组 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质先化简，再进行加减运算即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，中，点，分别在，上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形为菱形，，，则的面积为__________ 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据判定定理找出和平行且相等即可． （2）根据可得是等边三角形，做辅助线的高，求出高即可得面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过点A作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 20. 临近中考，心理专家建议考生可通过以下三种方式进行考前减压：A．享受美食，B．交流谈心，C．体育锻炼． （1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“体育锻炼”的概率是_____； （2）随机采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们选择同种减压方式的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）先利用树状图得出所有等可能结果，从中找到他们选择同种减压方式的结果数，再利用概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式有3种等可能结果，他选择“体育锻炼”的只有1种结果， ∴他选择“体育锻炼”的概率是． 【小问2详解】 解：画树状图如图 共有9种等可能的结果数，其中他们选择同种减压方式的结果数为3， ∴他们选择同种减压方式的概率为． 21. 为统计跳绳情况，某校随机抽取了名女生和名男生的跳绳成绩，并对数据进行整理得如下统计表： 表1： 分值（分） 男生（人） 女生（人） 表2： 数据 平均数 中位数 众数 方差 男生成绩（分） 女生成绩（分） （1）上述表格中，______，_____； （2）请计算女生成绩的方差____； （3）结合表和表中的统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）， （2） （3） 解：女生的成绩较好，理由如下： 男、女生成绩的众数相同，但女生成绩的平均数、中位数都高于男生，且女生成绩的方差低于男生，所以女生的跳绳成绩总体比男生好且更稳定． 【解析】 【分析】（）根据中位数和众数的定义解答即可； （）根据方差的计算公式解答即可求解； （）根据平均数、中位数、众数和方差的意义判断即可求解． 【小问1详解】 解：∵共有名女学生， ∴成绩由低到高排列，中位数是第和第个数的平均数， ∴中位数， ∵男生成绩中出现的次数最多， ∴众数； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 22. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点，交的延长线于点， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）的半径为3 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，因为于点，所以，即可证明是的切线； （2）由，得，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则的半径长为3． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的半径长为3． 24. 某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个元，以每个不低于成本价且不超过元的价格销售，售价（元/个）与每天销售量（个）的对应值表格如下： （元/个） （个） （1）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每天的利润可达到元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（）由表格数据可判断是的一次函数，利用待定系数法求函数表达式，再根据题意确定自变量的取值范围即可； （）根据总利润单个利润销售量列出一元二次方程，求解后结合自变量取值范围即可得到结果； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表格数据的变化规律可知，是的一次函数， 设与的函数表达式为，把，分别代入得，  ，  解得， ∴， ∵成本价为每个元，以每个不低于成本价且不超过元的价格销售， ∴自变量的取值范围为， 综上，与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得，，  ，  不符合要求，舍去， ∴， 答：当售价定为元时，每天的利润可达到元． 25. 已知关于的二次函数（m为常数）． （1）此二次函数的对称轴是直线_____ （2）说明该函数图象与轴必有两个不同的交点； （3）若，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，在点从点运动到点的过程中，的长总是先增大后减小，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：二次函数， 判别式， 所以该函数图象与轴必有两个不同的交点． （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数对称轴求解方法求解即可； （2）求出判别式，证明即可； （3）根据题意求出，结合以及二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数， 对称轴为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，点横坐标满足 ​， 在抛物线上， 在直线上， 则 ，  ∵，， 要使在上先增大后减小，需对称轴落在区间内，即：， 解得． 26. 在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻满足；如图②，在并联电路中，总电阻满足 （1）如图②，已知，总电阻为，求的值； （2）我们也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图③，在直线上任取两点、，分别过点、作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点位于直线的同侧，连接、，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：∵，，∴ 又∵，∴ _____①_____， ∴（依据________②______） 同理可得：，∴， ∴，即 依据上述证明过程，补全①②的内容： ①_______________②____________ （3）如图④，三个电阻、、并联在同一电路中，已知，，，且，请在图中用无刻度直尺和圆规作出电路图中表示总电阻的线段． （4）如图②，电阻，并联在电路中，且，请用所学过的数学知识讨论一下，分别为多少时，该电路的总电阻最大，最大电阻是多少？ （5）我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围． 【答案】（1） （2）；相似三角形的对应边成比例 （3） 即为表示总电阻的线段； （4）当时，该电路的总电阻最大，最大电阻是 （5） 【解析】 【分析】（1）将已知的和总电阻代入并联电阻公式，通过解分式方程求出即可； （2）利用两角分别相等证明，再根据相似三角形对应边成比例推导并联电阻公式； （3）先通过交叉连线作平行线得到前两个电阻的并联线段，再与第三个电阻重复该平行模型得到总电阻线段； （4）将并联总电阻表示为关于单个电阻的二次函数，利用二次函数开口向下的性质求出最大值即可； （5）先用题目给出的不等式公式求出的最小值，再代入​取值范围的两个边界值比较大小，得到的最大值，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：把， 代入并联电阻公式，得 ， 解得， 经检验是原方程的解； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接、，两直线交于点，过点作，交直线于点；连接、，两直线交于点，过点作，交直线于点 【小问4详解】 解：∵并联电阻公式， ∴， 已知，设，则，代入得 ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，此时； 即当时，该电路的总电阻最大，最大电阻是； 【小问5详解】 解：串联总电阻：， 并联总电阻：， 则， 由基本不等式，当且仅当​即时取等号，此时， 当时，； 当时，； ∵， ∴， 综上，实数的取值范围为． 27. 定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角的倍，该三角形称为“倍角三角形”．如图1，在中，，则是“二倍角三角形”；如图2，，则是“三倍角三角形”； 【提出问题】三角形中的角与边之间存在一定的关系，如我们学过的：“等角对等边”、“直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”．那么在“二倍角三角形”中，三边之间是否也存在特殊的关系？ 结论：在“二倍角三角形”中，若，则 【推理证明】“转化”是我们研究数学问题的重要思想方法，研究小组思考将“二倍角”问题转化为等角进行研究，得到如下两种证明思路： 思路一：如图3，延长至，使，连接． 思路二：如图4，将沿直线翻折，使点与点重合，与分别交于点、E，连接． （1）请从以上两种思路中，选择其中一种继续完成证明． 【拓展应用】 （2）①如图5，已知中，，点是斜边的中点，将沿折叠，点恰好落在边上点处，若，则_____ ②如图6，在“四倍角三角形”中，，则的长为_____． 【深度应用】 对于“三倍角三角形”，如图7，可以将它分割成两个等腰三角形”知识一个物图8，也可以将它分割成一个二倍角三角形和一个一般三角形． （3）如图9，在“三倍角三角形”中，，平分，，则的值为__________ 【答案】（1） 证明：思路一： ， ， ， ， ， ，， ， 即， ； 思路二：由翻折，得，， ， ， ， ， ， ， ，，即， ， ， 即． （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）思路一：推导出，得到，证明，得到，化简即可解答； 思路二：推导出，得到，证明，得到，，即，，继而化简即可解答； (2)①连接，设，推导出，得到，继而推导出，得到，求出x的值，即可解答； ②在上取点，连接，使得，过点作于点，推导出，得到为“二倍角三角形”，则有，求出或(舍去)，再根据勾股定理，得到，求出，得到，，最后根据勾股定理求出，即可解答． （3）在上取点，连接，使，过点作于点，令与的交点为，设，则，推导出，得到或(舍去)，则，得到，即可解答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：①连接，如图，有，， 设， ，点是斜边AB的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ②在上取点，连接，使得，过点作于点，如图， 有，， ， ， 即为“二倍角三角形”，且， 由题意，可得 即 解得或(舍去) ，， ， ， 即 解得 ， ． 【小问3详解】 解：在上取点，连接，使，过点作于点，令与的交点为，如图 设，则， ， ，，， ，，， ，， ， ， 平分， ，， ， ， ， ，即， 解得或(舍去)， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $