江苏淮安市开明中学等校2025-2026学年下学期九年级八校联考期中数学试卷（2026.4.28）

数学四 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“祝”相对的字是（ ） A. 考 B. 试 C. 顺 D. 利 5. 如图，在中，，直线a经过点A和边的中点D，直线b经过点C，且，若，则的度数为（ ） A. 57° B. 67° C. D. 46° 6. 一个圆锥的母线为，底面圆的半径为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 电影《满江红》一经上映便受到广大观众的喜爱，已知第一天票房为3亿元，前三天票房累计约15亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（） A. B. C. D. 8. 在中，，，垂足为，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 10. 分解因式：_________． 11. 若二次函数的图象经过点，则______． 12. 超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 70 80 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值是_____． 14. 如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是______度． 15. 如图，的半径为6，点在上，点在内，且，过点作的垂线交于点、．设，，则与的函数表达式为_____． 16. 如图，等边的边长为2，点在边上，过点作交的延长线于点，若，则的长为_____ 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. 计算与解不等式组 （1）； （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，中，点，分别在，上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形为菱形，，，则的面积为__________ 20. 临近中考，心理专家建议考生可通过以下三种方式进行考前减压：A．享受美食，B．交流谈心，C．体育锻炼． （1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“体育锻炼”的概率是_____； （2）随机采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们选择同种减压方式的概率． 21. 为统计跳绳情况，某校随机抽取了名女生和名男生的跳绳成绩，并对数据进行整理得如下统计表： 表1： 分值（分） 男生（人） 女生（人） 表2： 数据 平均数 中位数 众数 方差 男生成绩（分） 女生成绩（分） （1）上述表格中，______，_____； （2）请计算女生成绩的方差____； （3）结合表和表中的统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由． 22. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 24. 某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个元，以每个不低于成本价且不超过元的价格销售，售价（元/个）与每天销售量（个）的对应值表格如下： （元/个） （个） （1）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每天的利润可达到元？ 25. 已知关于的二次函数（m为常数）． （1）此二次函数的对称轴是直线_____ （2）说明该函数图象与轴必有两个不同的交点； （3）若，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，在点从点运动到点的过程中，的长总是先增大后减小，直接写出的取值范围． 26. 在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻满足；如图②，在并联电路中，总电阻满足 （1）如图②，已知，总电阻为，求的值； （2）我们也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图③，在直线上任取两点、，分别过点、作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点位于直线的同侧，连接、，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：∵，，∴ 又∵，∴ _____①_____， ∴（依据________②______） 同理可得：，∴， ∴，即 依据上述证明过程，补全①②的内容： ①_______________②____________ （3）如图④，三个电阻、、并联在同一电路中，已知，，，且，请在图中用无刻度直尺和圆规作出电路图中表示总电阻的线段． （4）如图②，电阻，并联在电路中，且，请用所学过的数学知识讨论一下，分别为多少时，该电路的总电阻最大，最大电阻是多少？ （5）我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围． 27. 定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角的倍，该三角形称为“倍角三角形”．如图1，在中，，则是“二倍角三角形”；如图2，，则是“三倍角三角形”； 【提出问题】三角形中的角与边之间存在一定的关系，如我们学过的：“等角对等边”、“直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”．那么在“二倍角三角形”中，三边之间是否也存在特殊的关系？ 结论：在“二倍角三角形”中，若，则 【推理证明】“转化”是我们研究数学问题的重要思想方法，研究小组思考将“二倍角”问题转化为等角进行研究，得到如下两种证明思路： 思路一：如图3，延长至，使，连接． 思路二：如图4，将沿直线翻折，使点与点重合，与分别交于点、E，连接． （1）请从以上两种思路中，选择其中一种继续完成证明． 【拓展应用】 （2）①如图5，已知中，，点是斜边的中点，将沿折叠，点恰好落在边上点处，若，则_____ ②如图6，在“四倍角三角形”中，，则的长为_____． 【深度应用】 对于“三倍角三角形”，如图7，可以将它分割成两个等腰三角形”知识一个物图8，也可以将它分割成一个二倍角三角形和一个一般三角形． （3）如图9，在“三倍角三角形”中，，平分，，则的值为__________ 数学四 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】2027 【12题答案】 【答案】 78 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】## 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】， 【19题答案】 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1）， （2） （3） 解：女生的成绩较好，理由如下： 男、女生成绩的众数相同，但女生成绩的平均数、中位数都高于男生，且女生成绩的方差低于男生，所以女生的跳绳成绩总体比男生好且更稳定． 【22题答案】 【答案】 【23题答案】 【答案】（1） 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点，交的延长线于点， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）的半径为3 【24题答案】 【答案】（1） （2）元 【25题答案】 【答案】（1） （2） 解：二次函数， 判别式， 所以该函数图象与轴必有两个不同的交点． （3） 【26题答案】 【答案】（1） （2）；相似三角形的对应边成比例 （3） 即为表示总电阻的线段； （4）当时，该电路的总电阻最大，最大电阻是 （5） 【27题答案】 【答案】（1） 证明：思路一： ， ， ， ， ， ，， ， 即， ； 思路二：由翻折，得，， ， ， ， ， ， ， ，，即， ， ， 即． （2）①；② （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $