5.3.1函数的单调性（第1课时） 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性（第1课时） 【学习目标】 1. 通过实例（高台跳水），直观了解函数的单调性与导数的正负之间的关系. 1. 能利用导数判断函数的单调性，会求函数的单调区间. 1. 理解函数图象与其导函数图象之间的联系，培养数形结合思想. 1. 掌握利用导数研究函数单调性的基本步骤. 【学习重点】 1. 函数的单调性与导数的正负的关系. 2. 利用导数求函数的单调区间. 【学习难点】 1. 对“ 是函数单调递增的充分不必要条件”的理解. 2. 利用导数符号确定单调区间，特别是含参数时的分类讨论. 学习任务一 从高台跳水看单调性与导数的关系 【合作探究】 1. 回顾高台跳水运动员的高度函数 （）. (1) 其图象是一条开口向下的抛物线.观察图象：运动员从起跳到最高点，高度 随时间 增大而______（上升/下降）；从最高点到入水，高度 随时间 增大而______（上升/下降）. (2) 计算 ，并判断 的符号：在上升阶段 ____ 0；在下降阶段 ____ 0. 1. 根据以上事实，你能否猜想：函数的单调性与导数的符号之间有什么关系？ 1. 观察下列基本函数的图象及其导数，验证你的猜想： (1) （）在 上单调______； (2) （）：当 时 ____0，函数单调______；当 时 ____0，函数单调______； (3) （，）在 和 上分别单调______. 1. 从导数的几何意义（切线斜率）角度解释：若 ，则曲线在点 处切线的斜率为正，曲线在该点附近是“上升”还是“下降”？ 【自主梳理】 1. 函数的单调性与导数的关系： · 一般地，在某个区间 上， (1) 如果 ，那么函数 在区间 上单调______； (2) 如果 ，那么函数 在区间 上单调______； (3) 如果 恒成立，那么函数 在区间 上是______函数（常数函数）. 1. 特别说明： (1) 若在某个区间内只有有限个点使 ，其余点均有 ，则函数在该区间上仍为单调______. (2) 例如：，，当 时 ，但函数在 上单调______. (3) 因此，“”是“函数 在区间上单调递增”的______条件. 学习任务二 利用导数判断函数单调性的步骤 【合作探究】 1. 已知导函数 的信息：当 时，；当 或 时，.试画出函数 的大致形状.（用文字描述：在 上下降，在 上上升，在 上下降） 1. 结合上述探究，总结利用导数判断函数 在定义域内某区间上单调性的步骤. 【自主梳理】 利用导数求函数单调区间的步骤： 第一步：确定函数的______（使函数有意义的 的取值范围）. 第二步：求导数 . 第三步：解不等式 ，得到单调______区间；解 ，得到单调______区间. 第四步：写出单调区间，注意区间之间用“和”或逗号连接，不能用“”. 注意： 1. 单调区间是定义域的子集. 2. 导数等于零的点可能是单调区间的分界点. 学习任务三 利用导数求函数的单调区间 【合作探究】 1. 求函数 的单调区间. · （按步骤：定义域 ，，令 得 ，列表判断符号） 1. 求函数 的单调区间. · （定义域 ，，由 得 ，再判断符号） 1. 已知函数 ，求其单调区间.（注意定义域 ） 【自主梳理】 常见函数的导数及单调性分析： 函数 导数 单调区间 增区间： 和 ；减区间： 减区间：；增区间： 增区间：；减区间： 【自查自纠】（正误判断） 1. 若函数 在区间 上单调递增，则 在 上恒成立. （ ） 1. 函数 在 上单调递增，但其导数 ，在 处等于 0. （ ） 1. 函数 的导数大于零的区间是 的单调递增区间. （ ） 1. 函数的单调递减区间一定是其导数小于零的区间. （ ） 1. 求函数的单调区间时，必须首先考虑定义域. （ ） 【典例分析】 例1：求函数 的单调区间. 解： 例2：已知函数 ，求其单调区间. 解： 【习题巩固】 1. 函数 的单调递减区间是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 下列函数中，在 上单调递增的是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 函数 的单调递增区间是（ ） · A.  B.  C.  D. 5.（选做）已知函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $