5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第二课时） 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2·函数的极值与最大（小）值（第二课时） 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、理解函数最值的概念，明确最值与极值的区别与联系 2、掌握利用导数求闭区间上连续函数最值的方法与步骤 3、能运用函数的最值解决实际生活中的优化问题 通过学习函数的最值，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用导数求函数最值，提升数学运算、数学建模素养 重点 函数最值的概念 最值与极值的区别与联系 难点 利用导数求闭区间上连续函数最值的步骤 能将复杂的实际问题转化为函数的最值问题 新知导入 在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果 是某个区间上函数 的最大（小）值点，那么 不小（大）于函数 在此区间上的所有函数值． 在下图中左图、右图中，观察 上的函数 和 的图象，它们在 上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 结合上图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数 的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值． 知识清单 知识点一 函数的最值 1.函数的最值：一般地，如果在区间_____________上函数的图象是一条_____________的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数的所有_____________连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 2.一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在区间_____________上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是_____________，最小的一个是_____________. 3.可以按如下步骤画出函数的大致图象： （1）求出函数的定义域； （2）求导数及函数的________； （3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值； （4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出的大致图象． 例题讲解 例 1 求函数 在区间 上的最大值与最小值． 小结： 一般地，求函数 在区间 上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数 在区间 内的极值； （2）将函数 的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是 分，其中 （单位： cm ）是瓶子的半径．已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6 cm ． （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 思考： 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数 的图象（如图）上观察，你有什么发现？ 从图象上容易看出，当 时， ，即瓶子的半径是 3 cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当 时，利润才为正值． 课堂练习 1．下列命题中，真命题是（ ） A．函数的最大值一定不是该函数的极大值 B．函数的极大值可以小于该函数的极小值 C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值 D．函数在开区间内不存在最大值和最小值 2.函数在上的最大值是( ) A. B.0 C. D. 3.已知函数的最小值为1，则( ) A.1 B. C.e D. 4.已知函数，则在上的最小值是( ) A. B.0 C. D. 5.已知函数，，若，则的最小值为( ) A. B. C. D. 6.函数在上的值域是( ) A. B. C. D. 7.如果函数在上的最大值是2，那么在上的最小值是____________. 课后练习 1．函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，则的最小值为( ) A.2 B. C. D.5 3．(多选）已知，，且，则下列结论正确的是（    ） A.的最小值是4；                    B.恒成立； C.恒成立；               D.的最大值是． 4.已知函数，则的最小值是_____________. 5.已知函数，则的最大值为_______________. 6.若关于x的不等式恒成立，则a的最小值是________________. 7.若存在，使得成立，则实数a的最小值为______________. 8.已知函数. （1）求在上的最小值; （2）当时，恒成立，求正整数k的最大值. 答案以及解析 知识清单 1. 连续不断 极值 2. 最大值 最小值 3.零点 例题讲解 解：由上一节课例题可知，在区间 上，当 时，函数 有极小值，并且极小值为 ． 又由于 所以，函数 在区间 上的最大值是 4 ，最小值是 ． 例题2. 解：由题意可知，每瓶饮料的利润是 所以 令 ，解得 ．当 时 ；当 时， ．因此，当半径 时， 单调递增，即半径越大，利润越高；当半径 时， 单调递减，即半径越大，利润越低． （1）半径为 6 cm 时，利润最大． （2）半径为 2 cm 时，利润最小，这时 ，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． 课堂练习 1．B 【分析】根据最值与极值的关系直接判断. 【解析】解：函数的最大值有可能是函数的极大值,故A错误; 函数的极大值可以小于该函数的极小值,故B正确; 函数在某一闭区间上的极小值不一定是该函数的最小值,故C错误; 函数在开区间内有可能存在最大值和最小值,故D错误. 故选:B. 2.答案：B 解析：由题， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以. 故选：B. 3.答案：A 解析：函数的定义域为，， 当时，在内恒成立， 所以函数在内为增函数，此时无最小值， 当时，由，得，由，得， 所以函数在内为减函数，在内为增函数， 故当时，取最小值，即，故. 故选：A. 4.答案：C 解析：因为在区间上恒成立， 当且仅当时，取等号， 所以在区间上单调递减， 则在上的最小值是， 故选：C. 5.答案：C 解析：设，则，， 所以，令， 则， 令，函数单调递减， 令，函数单调递增， 所以， 即的最小值为. 故选：C. 6.答案：C 解析：由求导，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 又，，，， 所以函数在上的最大值为， 因此函数在上的值域是. 故选：C. 7.答案： 解析：，则， 令，得或. 当时，，则为增函数； 当时，，则为减函数. 当时，取得最大值为a，得， 又，. 在上，的最小值为. 故答案为：. 课后练习 1．B 【解析】求出导函数，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最小值． 【解析】解： 因为，于是函数在上单调递增，在上单调递减， ，，得函数在区间上的最小值是． 故选：B． 2.答案：C 解析：，，，，则， ，设，其中， ，令，解得：， 当时，；当时，； 当时，取到极小值，也是最小值为：. 3．BCD 【分析】A.利用基本不等式求解判断；B.令，得到，用导数法判断；C.利用基本不等式结合对数运算求解判断；D.由，令，用导数法求解判断. 【解析】A.,当且仅当，即，即等号成立，而，故错误； B.令，因为，，且，所以，，则，所以在上递减，则，即，故正确； C.因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，则，故正确； D.因为， 令，则， 令，解得 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，故正确． 故选：BCD 4.答案： 解析： .令，得，即在区间内单调递增;令，得，即在区间内单调递减.则. 5.答案： 解析：函数的定义域为R，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值. 6.答案： 解析：由于，则原不等式可化为，设，则，当时，，递增;，，递减，可得在处取得极大值， 且为最大值.所以，则a的最小值为. 7.答案： 解析：由题知，令，即，因为存在，使得成立，所以，令，，所以在上单调递减，在单调递增，所以，即，，所以实数a的最小值. 8.答案：（1）. （2）2 解析：（1）由题意，，在中，， 当时，解得，若，则当时，， 函数在上递增，; 当，即时，当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增，. . （2）由题意及（1）得，，在中，当时，，即，在上恒成立，， 在中，，， 在中，， 在上单调递增，; ;，使得，即， 当时，，，单调递减;当时，，，单调递增.在处取得极小值，也是最小值， 即.将代入，， ，，，k为正整数，k的最大值为2. 整数k的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $