精品解析：福建福州第三中学2025-2026学年高三第十五次质量检测数学试卷

福州三中2025-2026学年高三第十五次质量检测 数学试卷 命题人：商三数学集备组 审卷人：商三数学集备组 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级､准考证号､姓名填写在答题卡上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足⫋的集合的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2. 已知，若复数是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则“对于任意，都有”是“值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设等差数列的前项和为，公差为.若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某班5位同学参加3项比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有（ ）种． A. 120 B. 180 C. 240 D. 360 8. 在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下图是函数的部分图象，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在处的切线斜率为 B. 当时，最大值为 C. 当时，在定义域上单调递减 D. 当时，存在一个极大值点和一个极小值点 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（ ） A. B. 的内心在定直线上 C. 若，则 D. 若，则的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的中位数约为__________.（精确到0.1） 13. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则______． 14. 在棱长为2的正方体中，底面的中心为，在直线上，记经过点且垂直于的平面与该正方体的截面为，为了保证始终存在，则的取值范围为：__________；若的面积为，则=__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，是Rt的斜边上一点，，记，． （1）求证：； （2）若，求的值．（注：） 16. 如图，已知均为圆台的母线，四边形为圆台的轴截面，且. （1）证明：； （2）若二面角的余弦值为，求圆台的体积. 17. 已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B．O为坐标原点． （1）求椭圆E的方程； （2）设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P，求证：． 18. 某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接.已知元件正常工作的概率为，，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”.线路是否正常工作仅由元件决定. （1）求，； （2）记一个模块中指示灯亮的盏数为，求的分布列及期望； （3）该器件由上述（）个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一半模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）当时， （i）若，求证：； （ii）记，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2025-2026学年高三第十五次质量检测 数学试卷 命题人：商三数学集备组 审卷人：商三数学集备组 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级､准考证号､姓名填写在答题卡上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足⫋的集合的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 2. 已知，若复数是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接将方程的根代入方程解得. 【详解】已知是方程的根，将代入方程：  ，， 即，解得. 3. 已知函数的定义域为，则“对于任意，都有”是“值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过充分条件与必要条件求解. 【详解】对于任意，都有可以推出的值域是或其子集，故充分性不成立， 若的值域是，可以推出对于任意，都有，故必要性成立， 因此“对于任意，都有”是“值域为”的必要不充分条件. 4. 设等差数列的前项和为，公差为.若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以. 5. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由圆锥曲线，可知， 则，所以，曲线为双曲线， 所以焦距为， 解得，则， 所以离心率. 6. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当马赫数分别为8和13时，由指对运算计算得，，即可求解. 【详解】当马赫数为8时，速度， 解得，即，， 当马赫数为13时，速度， 解得，即，， 所以,. 故选：C 7. 某班5位同学参加3项比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有（ ）种． A. 120 B. 180 C. 240 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】设报1项的同学有人，报2项的同学有人，根据题意得，解出，再利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】设报1项的同学有人，报2项的同学有人， 由题意有：5位同学每人报名1项或2项，3个项目每个项目恰有2人报名，总报名名额为， 所以，即恰好有1人报2项，其余4人各报1项， 第一步：先选报2项的同学有种选法， 第二步：选该同学报的2个项目有种选法，假设选的项目是和， 则项目各已有1人，还需各1人，项目还需要2人， 第三步：分配剩余4人，从4人中选1人去项目有种选法，选1人去项目有种选法， 剩余的2人去项目有1种选法，共有种选法， 根据分步乘法计数原理有：种选法. 故选：B 8. 在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下图是函数的部分图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象可得，根据时，函数取得最大值1，即可得到答案； 【详解】，排除A， 当时，函数取得最大值1， ，故排除C； 验证B，D ，， 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在处的切线斜率为 B. 当时，最大值为 C. 当时，在定义域上单调递减 D. 当时，存在一个极大值点和一个极小值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，代入可判断A；利用导数研究函数单调性可判断B；举反例可判断C；利用零点存在定理结合函数单调性可判断D. 【详解】已知函数（），分析各选项如下： A选项：当时，在定义域内， 求导得 代入得，故A正确； B选项：当时，，求导得 令得，当时，当时， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最大值，且最大值为，B正确； C选项：当时，的定义域为， 由，，得在定义域上不单调递减， 故C错误； D选项：当时，函数的定义域为， 求导得， 令， 分母，故的符号由分子决定， 先研究的单调性： 当时，，即在上严格递增； 当时，，即在上严格递减。 计算， 由于，，故， 区间上的情况： 当时，， 又在上连续且严格递增，且， 故存在唯一的使得， 在上，，即，递减； 在上，，即，递增， 因此是的极小值点； 区间上的情况： 当时，， 又因为在上连续且严格递减，且， 故存在唯一的使得， 在上，，即，递增； 在上，，即，递减， 因此是的极大值点， 综上，当时，在定义域内存在一个极小值点和一个极大值点， 故D选项正确. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（ ） A. B. 的内心在定直线上 C. 若，则 D. 若，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，利用斜率的几何意义得到，结合题意得到进而判断A，联立方程组结合韦达定理得到，最后结合内心的性质判断B，利用二倍角公式并结合方程得到判断C，先确定，再利用弦长公式与点到直线的距离公式得到面积解析式，最后结合角平分线定理建立方程，求解参数，进而得到三角形面积判断D即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以， 解得，则抛物线方程为, 如图，作出符合题意的图形，作轴， 对于A，设，则，由题意得是直线的倾斜角， 由斜率的几何意义得， 由诱导公式得， 由焦半径公式得，在中，可得， 则，故A正确， 对于B，设的方程为，， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则，， 由斜率公式得，， 因为，所以，可得， 则，得到被轴平分， 可得的内心在定直线上，故B正确， 对于C，因为被轴平分，所以， 设，， 因为，所以， 由二倍角公式得，解得（另一根舍去）， 则，联立方程组，解得， 此时，与不符，故C错误， 对于D，因为， 所以或（与题意不符，排除）， 设直线的方程为，设， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则， 由弦长公式得，， 由焦半径公式得，且， 而直线的方程为，设到的距离为， 由点到直线的距离公式得， 则， 因为，所以平分， 由角平分线性质得，可得， 化简得，解得，则，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的中位数约为__________.（精确到0.1） 【答案】 【解析】 【详解】根据频率分布直方图：前三个矩形频率和为， 设中位数为，则，解得. 所以中位数为 13. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数列前项和与第项的关系变形已知等式，再利用等差数列定义求出的通项公式即得. 【详解】在正项数列中，， 当时，，即，解得， 当时，由，得， 整理得，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 即，而，则，所以. 14. 在棱长为2的正方体中，底面的中心为，在直线上，记经过点且垂直于的平面与该正方体的截面为，为了保证始终存在，则的取值范围为：__________；若的面积为，则=__________. 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）平面最远经过点，过作，为所求，求得的长度即可得出结果；（2）由三垂线定理得，截面M应平行于平面，构造延拓面可以得到菱形，计算菱形面积，分析可知截面M可以在上方与下方两种情况，计算即可得出结果. 【详解】 ①平面最远经过点，过作，垂足为，则即为所求， 连接，则，连，则易求，，， 在中，由余弦定理得，， 在中，， 又因为平面经过时，，所以的取值范围为. ②取分别为中点，由三垂线定理易证平面平面， 则截面平面，根据正方体的性质可知平面四边形为菱形， 易求其面积为. 当截面在平面上方并且经过的中点时，截面的面积为， 证明如下：将截面的边延长交于点， 由正方体的性质可知，因为， 所以四边形为菱形，分析可知，菱形与平面四边形全等， 故菱形面积为，其中， 此时截面M的面积，所以当截面面积为时，其经过的中点. 又因为，所以是的中点，所以， 又因为是平行四边形，所以，所以， 又因为平面与平面、截面M都相交， 设与截面M、平面的交点分别为， 根据相似三角形性质可知，， 根据①易求， 所以； 当截面在平面下方时，由前述可知， 此时的截面与截面关于截面对称， 故两截面到平面的距离相等，且距离为， 所以此时到截面的距离为. 综上得，或. 故答案为：①；②或. 【点睛】关键点点睛： （1）利用余弦定理求出，然后得出； （2）截面M平行于平面，构造菱形，计算菱形面积，截面经过的中点，分析可知截面M可以在上方与下方两种情况，然后根据相似三角形计算即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，是Rt的斜边上一点，，记，． （1）求证：； （2）若，求的值．（注：） 【答案】（1） 在Rt中，，． ， ，即． ，． （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，进而得到，即可求证； （2）在中，由正弦定理得到，再结合（1）得到，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，根据正弦定理得 又，， ， 由（1）知，． 解得或． ，， 16. 如图，已知均为圆台的母线，四边形为圆台的轴截面，且. （1）证明：； （2）若二面角的余弦值为，求圆台的体积. 【答案】（1） 因为均为圆台的母线， 所以延长必交于一点，如图： 因为，所以确定一个平面， 又因为圆台的上下底面互相平行， 即平面平面，平面平面， 平面平面， 根据面面平行的性质定理，得； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆台是由圆锥截成的，再由面面平行的性质可得； （2）先用勾股定理证明，进而证明，然后建立空间直角坐标系，用向量的方法由二面角的值可得圆台的高，进而可得圆台的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，得，，分别为上下底面圆的直径， 因此上底面的半径，下底面的半径. 又因为在上底圆，，， 所以，所以，即， 由（1）知与必相交于点，所以共面， 因为，，平面，， 所以平面，又因为，所以平面， 且平面，所以； 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系： 设圆台的高，  则， 设平面的法向量：，， 由，得，， 取，则，所以； 设平面的法向量为，， 由，得，， 取，则，所以， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值舍去）， 所以圆台的体积， 因此圆台的体积为. 17. 已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B．O为坐标原点． （1）求椭圆E的方程； （2）设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P，求证：． 【答案】（1）； （2）证明如下： 由（1）知， 要证，只需证，即，得， 又，所以只需证. 设，因为，所以， 当直线的斜率不存在时，易知其方程为，则， 因为，，所以 将代入得，代入得. 当直线的斜率存在时，设其方程为，易知， 则，代入，得：， 整理得， 又圆与直线相切，所以， 所以，， 因为点在椭圆上，所以， 整理得， 又，所以， 由，解得. 综上，，即可得证. 【解析】 【分析】（1）根据已知直接求出即可； （2）将问题转化为证明，设出直线方程，结合，用表示出点坐标，然后代入椭圆方程求解即可得证. 【小问1详解】 因为圆经过下顶点，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆E的方程为. 【小问2详解】 略 18. 某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接.已知元件正常工作的概率为，，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”.线路是否正常工作仅由元件决定. （1）求，； （2）记一个模块中指示灯亮的盏数为，求的分布列及期望； （3）该器件由上述（）个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一半模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 【答案】（1）， （2）分布列见解析， （3）新器件较原器件正常工作的概率变小，理由见解析 【解析】 【分析】（1）记事件表示元件正常工作，，则,,利用独立事件的乘法及对立事件的概率即可求解； （2）确定随机变量的可能取值为，，，利用独立事件的乘法及对立事件求得对应的概率即可求出分布列，进而求均值即可； （3）设原器件正常工作的概率为，新器件正常工作的概率为，求得, ，通过作差，比较与的大小即可. 【小问1详解】 记事件表示元件正常工作，，则 ， . 【小问2详解】 模块中指示灯亮的盏数的所有取值为，，，则 ， ， ， 即的分布列为 则的期望. 【小问3详解】 设恰有（且）个模块的指示灯亮为事件， ， 设原器件正常工作的概率为，新器件正常工作的概率为，则 . 同理可得， 由，得， 所以，所以，故， 所以，即， 所以新器件较原器件正常工作的概率变小. 19. 已知函数. （1）若，求取值范围； （2）当时， （i）若，求证：； （ii）记，求证：. 【答案】（1） （2） （i）当时，， 证明：当，，即，， 令，， 令，， 所以， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即，， 所以，，证毕. （ii）由，令，则， 所以 ， 下面先证明， 由（i）知上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，， 又因为，故当时，，，， 所以，即， 所以， 所以，证毕； 再证明：， 由（i）知和在上恒成立， 所以，当时，，即 ，， 所以 所以 所以 ，证毕. 综上，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将问题转化为，进而求函数最小值即可求得答案； （2）（i）构造函数，进而在上单调递增即可证明结论； （ii）令，进而得.再结合（i）的证明过程中得到的不等式得，，进而得到即可证明；再结合（i）证明过程中得到的不等式和结论得，最后结合等比数列求和即可证明结论. 【小问1详解】 已知，即， 因为，， 所以，即，， 令， 则 ， 令，，则， 所以在上单调递减，，即， 所以，当时，，，，单调递减； 当时，，，，单调递增； 所以，当时，取得最小值， 所以，即的取值范围为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $