精品解析：福建省福州第三中学2025-2026学年高三下学期第十二次质量检测数学试卷

福州三中2025-2026学年高三第十二次质量检测 数学试卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，，则（　　 ） A B. 1 C. D. 2 3. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 6. 设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为的方块：可以通过一次操作变成以下状态 中的任何一种：，，，或.游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 若样本数据的方差，则所有的都相等 B. 以模型去拟合一组数据时，令，求得线性回归方程为，则， C. 在的展开式中，含项的系数是 D. 某校高三年级男生的身高（单位：cm）近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则 （若，则，） 10 已知狄利克雷函数设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 在区间上的有理数零点恰有3个 11. 已知正方形的边长为2，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（ ） A. 点在四棱锥外接球的球面上 B. 四棱锥内切球的表面积为 C. 四棱锥与四棱锥公共部分的体积为 D. 四棱锥的四个侧面所在平面将空间分成14个部分 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 函数图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则________． 13. 数列满足（），，对于任意有恒成立，则的取值范围是________． 14. 过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线交于两点，弦的衍生三角形是．记为弦的一阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的二阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的三阶衍生三角形；⋯，由此进行下去，记所有的弦的阶衍生三角形的面积之和为，若对任意，，则正整数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，当时，． （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）证明：． 16. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形的面积的最大值． 17. 甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. （1）当时. （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率; （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球概率为P，则当m为何值时，P最大？ 18. 已知函数，，其中． （1）求函数的零点； （2）． （ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：； （ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，. （1）证明：平面； （2）点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且. （ⅰ）若平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2025-2026学年高三第十二次质量检测 数学试卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，，故， 又因为，故. 2. 平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，，则（　　 ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先由变形，再结合向量数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意得，所以，两边平方得， 即，所以. 故选：C 3. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据分钟时，上方还剩下一半细沙，可列出方程，求出的值，然后令为原来的，即可求出结果. 【详解】依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器上方细沙只有开始时的时，则有，所以， 两边取对数得，所以， 即需要经过的时间为分钟． 故选：C 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】利用正弦二倍角公式、余弦二倍角公式，同角三角函数关系以及诱导公式分析即可. 【详解】当，等式左边，等式右边， 此时，故等式不成立，所以， 所以变形得：， 即， 因为，所以， 所以，又，所以当时，. 5. 在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A、B和C，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，利用直线与平面位置关系的向量法，即可求解；对D，利用面面平行的性质，即可求解. 【详解】如图1所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 又易知，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故A错误， 对于B，如图2，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故B错误， 对于C，如图3，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故C错误， 对于D，如图4，记为正方体所在棱的中点，连接，易得， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，则直线平面，所以D正确， 6. 设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 由题意，在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是， 则， 即，解得，即. 7. 已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再根据抛物线的定义计算，最后求圆外的定点与圆上的动点之间的距离的最小值，即点与圆心之间的距离减去半径，即可求得. 详解】根据题意得，，解得，即， 因为圆心恰好为抛物线的焦点，则， 又，所以点在圆的外部， 所以的最小值为，解得. 故选：A. 8. 现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为的方块：可以通过一次操作变成以下状态 中的任何一种：，，，或.游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于选项A，可以通过例举所有的可行性，在甲操作后，乙采取对称策略，即可保证自己能赢；对于选项B、C、D，可通过操作验证，甲赢. 【详解】对于选项A，经过甲操作可以变为，，，，或. 对于，乙操作成；对于，乙操作成；对于，乙操作成；对于，乙操作成； 对于，乙操作成；对于，乙操作成. 此时甲操作后，乙可以采取对称策略，保证自己能拿到最后一个方块，无论如何乙都能赢，所以A正确； 对于选项B，甲将操作为，此时乙可以操作为，，，甲必胜； 对于选项C，甲将操作为，甲必胜； 对于选项D，甲将操作为，由选项A知甲必胜. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的方差，则所有的都相等 B. 以模型去拟合一组数据时，令，求得线性回归方程为，则， C. 在的展开式中，含项的系数是 D. 某校高三年级男生的身高（单位：cm）近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则 （若，则，） 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，由回归方程，得， 所以，所以，故B错误； 对于C，在展开式中含项为：， 所以在展开式中含项的系数是，故C正确； 对于D，因为高三年级男生的身高（单位：cm）近似服从， 所以，，， 即，， 所以，故D错误. 10. 已知狄利克雷函数设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 在区间上的有理数零点恰有3个 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的奇偶性的定义可判断A；根据函数的周期性和定义和函数的定义可判断B；函数及三角函数的值域可判断C；应用特殊三角函数值可判断D． 【详解】的定义域为，当为有理数时，是有理数，则， 当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数， 故，是奇函数，故A正确； 对于任意的整数，当为有理数时，也是有理数，则， 当为无理数时，也是无理数，则， ，即函数是周期函数，故B正确； 函数的值域为，当为无理数时，， 当为有理数时，，不能取到一个周期所有实数，所以取不到全部，故C错误； ，当为有理数时，，得出在区间上有，3个有理数零点，故D正确； 故选：ABD． 11. 已知正方形的边长为2，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（ ） A. 点在四棱锥外接球的球面上 B. 四棱锥内切球的表面积为 C. 四棱锥与四棱锥公共部分的体积为 D. 四棱锥的四个侧面所在平面将空间分成14个部分 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据四棱锥与正方体的关系即可判断选项A；根据四棱锥内切球体积与表面积的关系即可判断选项B；找出四棱锥与四棱锥公共部分，转化为求四棱锥和三棱柱的体积问题，再求和即可判断选项C；结合直观想象及空间想象判断选项D. 详解】A：将四棱锥补成一个正方体， 则四棱锥的外接球为该正方体的外接球，因为点是该正方体的一个顶点， 所以点在四棱锥外接球的球面上，A正确. B：四棱锥的体积， 侧面积， 表面积， 则四棱锥内切球的半径， 则该内切球的表面积为，B错误. C：连接，易证，， 则四边形和四边形均为平行四边形， 设，，则，分别为，的中点， 设，的中点分别为，，连接，，，， 则四棱锥和四棱锥的公共部分为几何体， 其体积为四棱锥和三棱柱体积之和， 即，C正确. D：平面、平面、平面将空间分成8个， 最后平面将其中6个空间各分成2部分， 所以四个侧面所在平面将空间分成个部分，D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后，得到， ∵的图象关于轴对称， ∴是偶函数， ∴，，即，， ∵， ∴． 13. 数列满足（），，对于任意有恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】累加法求数列通项公式，利用数列性质分析即可. 【详解】因为， 所以， ， ， ， 累加得：， 又，所以， 当时，满足，， 所以数列的通项公式为：， 因为，所以随着的增大，逐渐减小，逐渐增大， 所以为递增的数列，且， 所以任意有恒成立，则有，故的取值范围是. 14. 过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线交于两点，弦的衍生三角形是．记为弦的一阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的二阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的三阶衍生三角形；⋯，由此进行下去，记所有的弦的阶衍生三角形的面积之和为，若对任意，，则正整数的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】直线和抛物线联立方程组，由直线和抛物线相交得到，利用根与系数的关系写出，求出，求出，从而可以求出，继而求出，从而得到是等比数列，利用无穷等比数列的前项和求出，利用求出的范围，从而得到正整数的最大值. 【详解】将代入，得到，即， ，， 设，则， ，，， ， ， ， ， ， 这说明弦的阶衍生三角形都可以生成阶中的两个衍生三角形， 且后者的面积之和是前者面积的，故数列是以为首项， 以为公比的等比数列， ， 对任意，， ，， ，，， ，， 正整数的最大值为. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，当时，． （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知递推式，得到，结合等差数列的定义即可证明结论，由等差数列通项公式，即可得到所求通项公式； （2）求得，由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证． 【小问1详解】 因为，所以，即， 又因为，所以是首项为1，公差1的等差数列， 所以，所以． 【小问2详解】 证明：因为， 所以 因为，所以 16. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求解，即可求椭圆方程； （2）首先求，联立直线与椭圆方程，并利用韦达定理表示四边形的面积，即可求解面积的最大值. 【小问1详解】 设椭圆的方程为， 由已知得，得，，， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可得，，则， 设，，直线的方程为， 代入，整理为， 由，解得：， 且，， 四边形的面积 ， 当时，. 17. 甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. （1）当时. （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率; （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？ 【答案】（1）（i）；（ii）分布列见解析，. （2）时，P最大. 【解析】 【分析】（1）（i）利用对立事件计算概率；（ii）根据题意计算概率，再分布列和求数学期望； （2）列出概率，设，利用导数与单调性、最值得关系求解. 【小问1详解】 （i）设事件：小明4次摸球中，至少摸出1个白球， 则. （ii）由题可知，可能的取值为， 甲口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， 乙口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， , , ， ， ， 分布列如下， 0 1 2 3 4 所以. 【小问2详解】 小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率P， 因为， 所以， 令，则， 所以当时，；当时，； 所以函数在单调递增，单调递减， 所以当，即时，P最大，最大值为. 18. 已知函数，，其中． （1）求函数的零点； （2）． （ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：； （ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）0． （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，结合可得出函数的零点； （2）（ⅰ）根据的定义，分和讨论得证；（ⅱ）由题，当时，，当时，，所以等价于当时，恒成立，求导，分和讨论，结合单调性可得答案. 【小问1详解】 函数的定义域为R， 则， 当时，，则， 当时，，则， 所以函数在上为减函数． 又因为，故函数有且只有一个零点0. 【小问2详解】 （ⅰ）函数的定义域为， 当时，， 当时，， 所以. （ⅱ）由（1）知，当时，， 又， 所以当时，恒成立， 因为当时，恒成立， 所以等价于当时，恒成立， 又， 若，当时，由， 所以在上递增，所以此时恒成立. 若，当时，由，解得， 在上递减，此时，不符合题意． 综上可知，存在实数a满足题意，a的取值范围是. 19. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，. （1）证明：平面； （2）点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且. （ⅰ）若平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）（ii）不存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直证明线线垂直，再综合证明线面垂直即可； （2）（i）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用空间向量求二面角的最值即可；（ii）先求四棱锥的外接球球心，再证明点不在该球上即可. 【小问1详解】 证明：因为，所以，所以，故． 又平面，所以平面． 又平面，所以． 因为，所以， 所以，即． 又平面，所以平面． 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接，则． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，由，得． 又在长方形外，和均为锐角， 所以．可化为， 两边平方后，整理得， 故，整理可得． （i）设平面的法向量为，由， 得取，得， 故平面的一个法向量为． 设平面的法向量为． 得取，得， 故平面的一个法向量为． 则． 令，则，所以． 由函数单调递增，得当时，取最大值，最大值为． （ii）设和交于点，则． 若五棱锥存在外接球，则球心在过点且垂直于平面的直线上， 设球心，必有． ，解得，， 则． 又，所以，解得或， 由题知，且，即，但都不在这个范围内， 故不存在点，使得五棱锥存在外接球． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $