精品解析：福建省福州第三中学2025-2026学年高三上学期第五次质量检测数学试题

福州三中2025-2026学年高三第五次质量检测 数 学 试 卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则和复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，可得 故选：C. 3. 已知双曲线的中心为原点，焦点在y轴上，两条渐近线的夹角为，且点在点上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的方程，将点代入方程得到，再根据题目信息得到渐近线倾斜角为或，对两种情况分别讨论即可得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，将点代入方程得，①. 因为两条渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为或. 当倾斜角为时，则，即，代入①式，得， 则，所以离心率； 当倾斜角为时，则，即，代入①式，得，无解. 综上所述，的离心率为. 故选：C. 4. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用诱导公式及同角三角函数的关系求得，进而利用两角和的正切公式可求值. 【详解】由可得，由于是第四象限角，则， 故，故. 故选：C. 5. 已知函数，，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由单调性结合，与0的大小可得，由单调性结合与0的大小可得，据此可得答案. 【详解】注意到在上单调递增， ，注意到， 又，则，则， 又，则； 令，得； 在R上单调递减，注意到. 则，即. 故选：D 6. 已知中，,点在边上移动，满足向量，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先建立坐标系，然后求出点的坐标，并设出点的坐标，进而得到向量的坐标，用数量积公式求出，最后利用二次函数求出最值 【详解】已知，所以是等边三角形，边长为2， 以中点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则，设， 所以，即， 因为，所以当时，有最大值2， 因此的最大值为2. 故选:B 7. 已知数列满足，对任意，有，则数列的前项和=（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件研究，进而可得. 【详解】因为， ， 所以. 所以. 故选：D 8. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数和偶函数的性质，对原等式进行变形，得出的递推式，结合所求推出，进而求解． 【详解】是奇函数，， ①， 把中的替换为，则②， 等式①加上②可得： ， 是偶函数，， ， 令，则 取，则，解得， 取，则，解得， 取，则，解得， 以此类推，对任意整数，， ，故C正确． 故选：C． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则的面积为 C. 若，则面积的最大值为 D. 若的外接圆半径为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行逐项计算即可. 【详解】对于A： 因为，根据正弦定理得， 则有，因为，所以， 即，所以是等腰三角形，A正确； 对于B： 因为，所以为直角三角形， 此时三角形的面积为，B正确； 对于C： 根据余弦定理得， 当且仅当时，等号成立，此时取最大值为， 那么，所以C错误； 对于D： 由正弦定理得，所以， 所以，D正确； 故选：ABD. 10. 已知正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A；利用1的妙用判断B；利用平方并结合A选项判断CD. 【详解】因，则，得，等号成立时，故A错误； ， 等号成立时，故B正确； ，等号成立时，故C正确； ， 则，等号成立时，故D正确. 故选：BCD 11. 在棱长为 2 的正方体中，E、G为中点，F在正方形内移动（包括边界），满足，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点F使得平面 B. 三棱锥的外接球表面积为 C. 直线上的一点到直线的最短距离为 D. 异面直线与所成角的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A，先找到点的轨迹在以为直径的圆与正方形的交线即半圆上的点，通过观察得到当移动到点时，平面，则存在点F使得平面；选项B，由三棱锥的侧面的外接圆圆心为边中点，底面的外接圆圆心为边的中点，可以得出三棱锥的外接球半径，从而求出表面积；选项C，利用线面垂直的判定定理得到平面，从而得到，由，得到是直线和直线的公垂线段，则是直线上的一点到直线的最短距离，求出的长度即可；选项D，找到异面直线与所成角为， 当移动到平面中心时， 可以求出，从而得到此时异面直线与所成角不在内. 【详解】选项A，在正方形内移动（包括边界），满足， 在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点， 当移动到点时，，平面，平面， 平面，存在点F使得平面，故选项A正确； 选项B，在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点， 设中点为，中点为，为直角三角形，由题意可知，， 为直角三角形，可得 由题意可知，所以为三棱锥外接球球心， 外接球半径，外接球表面积为，故选项B正确； 选项C，连接，取中点，连接，， 过作交于，是的中点，是中点， ，，，平面， 平面，，， 是直线和直线的公垂线段， 是直线上的一点到直线的最短距离， 正方体的棱长为，，， ，， 又∽，则有，， ，，故选项C不正确； 选项D，，异面直线与所成角为， 在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点， 当移动到平面中心时，由题意可得，，，则有，所以是直角三角形， 则，此时异面直线与所成角不在内.故选项D错误. 故选：AB. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上． 12. 抛物线的准线方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 【分析】抛物线的标准形式为 ∴抛物线的准线方程为 故答案为: 13. 已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，得到直线的斜率为，设所求直线的方程为，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 设所求直线的方程为，即， 由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切，可得，解得， 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 14. 某投资公司评估一个需要投资万的项目，该项目从第年年末开始，每一年的净利润是万元，而且收益可以持续年.若年利率为，记第年年末的收益现值为（，），___________；若该项目值得投资，则的最小值为___________万元.（参考数据：） 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据折现率的公式，求出每一年的收益现值，再利用等比数列的前项和，若项目值得投资，则可求出的取值，进而求出最小值. 【详解】依题意，根据折现率公式，得： 第1年年末，净利润万元的收益现值为； 第2年年末，净利润万元的收益现值为； 第3年年末，收益现值为； 以此类推， 第年年末，净利润万元的收益现值为； 则年后的总收益现值为 若该项目值得投资，则， 解得：， .故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， （1）求角； （2）若，且，求外接圆半径R 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，结合勾股定理逆定理即得； （2）令是的中点，由得到，再根据（1）知即得. 【小问1详解】 由得， 根据余弦定理，得 化简得， ∵，， 【小问2详解】 令是的中点，则, ， ，， 由（1）知，， 所以外接圆半径. 16. 已知数列的前项和为，. （1）若为等比数列，求的通项公式； （2）若，，为数列的前项和，证明. 【答案】（1） （2） 由得，又，所以是首项为，公比为的等比数列，则，则， ， 则， 两式相减得， 所以， 因为且，所以，故. 【解析】 【分析】（1）利用，可得，再根据数列为等比数列，得到，令得，代入即可得出答案. （2）根据构造法求出，从而得到，再利用错位相减法求出，根据的结果即可完成证明. 【小问1详解】 由得，，两式相减得，若为等比数列，则公比为，则， 当时，，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆过点，离心率为．右焦点为，过的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程; （2）若点在椭圆上，且满足(为坐标原点)，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率公式和过点即可得到方程组，解出即可； （2）设直线l的方程为，再联立椭圆方程得到韦达定理式，计算出点P坐标，再代入椭圆方程即可得到值，即得到直线方程. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 故椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由题可知直线的斜率不为零， 设直线l的方程为，， 则联立，可得， 由根与系数的关系可知：， 因为，所以，所以， 所以， 又点在椭圆上，所以， 解得或（舍）， 所以，故直线l的方程为，即. 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：在图1中，由，可得， 所以，则， 因为，可得，所以， 在图2中知，取AC的中点O，连接QO，BO， 又因为Q为PC的中点，可得，所以， 因为，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）在图1中，证得，取AC的中点O，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得； （2）以为原点，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设点到平面的距离为d，根据题意，求得，得到点到平面的距离为，令得到，结合向量的距离公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，平面平面，平面平面，且， 所以平面ABC，所以直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，，所以， 设平面的法向量为，因此， 令，可得，，所以， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 解：假设线段AP上是否存在点M，使得三棱锥的体积为， 在中，，可得， 因为三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为d，可得，因此， 因此点到平面的距离为， 令（），由（2）得，， 又因为平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，且. 19. 已知函数，函数， （1）求的单调区间； （2）若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明：由题意得， 则， 令， 化简得， 则，令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到， 即成立，可得， 故得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求解单调区间即可. （2）结合导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数证明不等式即可. （3）构造函数，求出导函数，对再一次求导后，还要第三次求导，然后由时的导数值的正负分类讨论求解即可． 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 因为，所以， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 则在上恒成立， 令，且满足题意， 而，令， 则，令， 则， 则在上是增函数，即在上单调递增， 得到，当时，， 此时在上单调递增，即在上单调递增， 则，可得在上单调递增， 得到恒成立，原不等式恒成立， 当时，则，又， 得到， 则由零点存在性定理得，存在，使得， 当时，，此时在上单调递减， 即在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 即在上单调递增，而， 则当时，，此时在上单调递减， 可得，不合题意， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2025-2026学年高三第五次质量检测 数 学 试 卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的中心为原点，焦点在y轴上，两条渐近线的夹角为，且点在点上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7 5. 已知函数，，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，,点在边上移动，满足向量，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 已知数列满足，对任意，有，则数列的前项和=（ ） A. 0 B. C. D. 2 8. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则的面积为 C. 若，则面积的最大值为 D. 若的外接圆半径为， 10. 已知正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 在棱长为 2 的正方体中，E、G为中点，F在正方形内移动（包括边界），满足，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点F使得平面 B. 三棱锥的外接球表面积为 C. 直线上的一点到直线的最短距离为 D. 异面直线与所成角的取值范围为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上． 12. 抛物线的准线方程为__________． 13. 已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 14. 某投资公司评估一个需要投资万的项目，该项目从第年年末开始，每一年的净利润是万元，而且收益可以持续年.若年利率为，记第年年末的收益现值为（，），___________；若该项目值得投资，则的最小值为___________万元.（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， （1）求角； （2）若，且，求外接圆半径R 16. 已知数列的前项和为，. （1）若为等比数列，求的通项公式； （2）若，，为数列的前项和，证明. 17. 已知椭圆过点，离心率为．右焦点为，过的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程; （2）若点在椭圆上，且满足(为坐标原点)，求直线的方程. 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，函数， （1）求的单调区间； （2）若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $