精品解析：福建省福州第三中学2025-2026学年高三上学期第五次质量检测数学试题

福州三中2025-2026学年高三第五次质量检测 数 学 试 卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则和复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，可得 故选：C. 3. 已知双曲线的中心为原点，焦点在y轴上，两条渐近线的夹角为，且点在点上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的方程，将点代入方程得到，再根据题目信息得到渐近线倾斜角为或，对两种情况分别讨论即可得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，将点代入方程得，①. 因为两条渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为或. 当倾斜角为时，则，即，代入①式，得， 则，所以离心率； 当倾斜角为时，则，即，代入①式，得，无解. 综上所述，的离心率为. 故选：C. 4. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用诱导公式及同角三角函数的关系求得，进而利用两角和的正切公式可求值. 【详解】由可得，由于是第四象限角，则， 故，故. 故选：C. 5. 已知函数，，的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由单调性结合，与0的大小可得，由单调性结合与0的大小可得，据此可得答案. 【详解】注意到在上单调递增， ，注意到， 又，则，则， 又，则； 令，得； 在R上单调递减，注意到. 则，即. 故选：D 6. 已知中，,点在边上移动，满足向量，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先建立坐标系，然后求出点的坐标，并设出点的坐标，进而得到向量的坐标，用数量积公式求出，最后利用二次函数求出最值 【详解】已知，所以是等边三角形，边长为2， 以中点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则，设， 所以，即， 因为，所以当时，有最大值2， 因此的最大值为2. 故选:B 7. 已知数列满足，对任意，有，则数列的前项和=（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件研究，进而可得. 【详解】因为， ， 所以. 所以. 故选：D 8. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数和偶函数的性质，对原等式进行变形，得出的递推式，结合所求推出，进而求解． 【详解】是奇函数，， ①， 把中的替换为，则②， 等式①加上②可得： ， 是偶函数，， ， 令，则 取，则，解得， 取，则，解得， 取，则，解得， 以此类推，对任意整数，， ，故C正确． 故选：C． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则面积为 C. 若，则面积的最大值为 D. 若的外接圆半径为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行逐项计算即可. 【详解】对于A： 因为，根据正弦定理得， 则有，因为，所以， 即，所以是等腰三角形，A正确； 对于B： 因为，所以为直角三角形， 此时三角形的面积为，B正确； 对于C： 根据余弦定理得， 当且仅当时，等号成立，此时取最大值为， 那么，所以C错误； 对于D： 由正弦定理得，所以， 所以，D正确； 故选：ABD. 10. 已知正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A；利用1的妙用判断B；利用平方并结合A选项判断CD. 【详解】因，则，得，等号成立时，故A错误； ， 等号成立时，故B正确； ，等号成立时，故C正确； ， 则，等号成立时，故D正确. 故选：BCD 11. 在棱长为 2 的正方体中，E、G为中点，F在正方形内移动（包括边界），满足，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点F使得平面 B. 三棱锥的外接球表面积为 C. 直线上的一点到直线的最短距离为 D. 异面直线与所成角的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A，先找到点的轨迹在以为直径的圆与正方形的交线即半圆上的点，通过观察得到当移动到点时，平面，则存在点F使得平面；选项B，由三棱锥的侧面的外接圆圆心为边中点，底面的外接圆圆心为边的中点，可以得出三棱锥的外接球半径，从而求出表面积；选项C，利用线面垂直的判定定理得到平面，从而得到，由，得到是直线和直线的公垂线段，则是直线上的一点到直线的最短距离，求出的长度即可；选项D，找到异面直线与所成角为， 当移动到平面中心时， 可以求出，从而得到此时异面直线与所成角不在内. 【详解】选项A，在正方形内移动（包括边界），满足， 在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点， 当移动到点时，，平面，平面， 平面，存在点F使得平面，故选项A正确； 选项B，在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点， 设中点为，中点为，为直角三角形，由题意可知，， 为直角三角形，可得 由题意可知，所以为三棱锥外接球球心， 外接球半径，外接球表面积为，故选项B正确； 选项C，连接，取中点，连接，， 过作交于，是的中点，是中点， ，，，平面， 平面，，， 是直线和直线的公垂线段， 是直线上的一点到直线的最短距离， 正方体的棱长为，，， ，， 又∽，则有，， ，，故选项C不正确； 选项D，，异面直线与所成角为， 在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上的点， 当移动到平面中心时，由题意可得，，，则有，所以是直角三角形， 则，此时异面直线与所成角不在内.故选项D错误. 故选：AB. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上． 12. 抛物线的准线方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 【分析】抛物线的标准形式为 ∴抛物线的准线方程为 故答案为: 13. 已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，得到直线的斜率为，设所求直线的方程为，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 设所求直线的方程为，即， 由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切，可得，解得， 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 14. 某投资公司评估一个需要投资万的项目，该项目从第年年末开始，每一年的净利润是万元，而且收益可以持续年.若年利率为，记第年年末的收益现值为（，），___________；若该项目值得投资，则的最小值为___________万元.（参考数据：） 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据折现率的公式，求出每一年的收益现值，再利用等比数列的前项和，若项目值得投资，则可求出的取值，进而求出最小值. 【详解】依题意，根据折现率公式，得： 第1年年末，净利润万元的收益现值为； 第2年年末，净利润万元的收益现值为； 第3年年末，收益现值为； 以此类推， 第年年末，净利润万元的收益现值为； 则年后的总收益现值为 若该项目值得投资，则， 解得：， .故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， （1）求角； （2）若，且，求外接圆半径R 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，结合勾股定理逆定理即得； （2）令是的中点，由得到，再根据（1）知即得. 小问1详解】 由得， 根据余弦定理，得 化简得， ∵，， 【小问2详解】 令是的中点，则, ， ，， 由（1）知，， 所以外接圆半径 16. 已知数列的前项和为，. （1）若为等比数列，求的通项公式； （2）若，，为数列的前项和，证明. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用，可得，再根据数列为等比数列，得到，令得，代入即可得出答案. （2）根据构造法求出，从而得到，再利用错位相减法求出，根据的结果即可完成证明. 【小问1详解】 由得，，两式相减得，若为等比数列，则公比为，则， 当时，，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由得，又，所以是首项为，公比为的等比数列，则，则， ， 则， 两式相减得， 所以， 因为且，所以，故. 17. 已知椭圆过点，离心率为．右焦点为，过的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程; （2）若点在椭圆上，且满足(为坐标原点)，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率公式和过点即可得到方程组，解出即可； （2）设直线l的方程为，再联立椭圆方程得到韦达定理式，计算出点P坐标，再代入椭圆方程即可得到值，即得到直线方程. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 故椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由题可知直线的斜率不为零， 设直线l的方程为，， 则联立，可得， 由根与系数的关系可知：， 因为，所以，所以， 所以， 又点在椭圆上，所以， 解得或（舍）， 所以，故直线l的方程为，即. 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）在图1中，证得，取AC中点O，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得； （2）以为原点，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设点到平面的距离为d，根据题意，求得，得到点到平面的距离为，令得到，结合向量的距离公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 证明：在图1中，由，可得， 所以，则， 因为，可得，所以， 在图2中知，取AC的中点O，连接QO，BO， 又因为Q为PC的中点，可得，所以， 因为，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 解：由题意知，平面平面，平面平面，且，所以平面ABC，所以直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，，所以， 设平面的法向量为，因此， 令，可得，，所以， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 解：假设线段AP上是否存在点M，使得三棱锥的体积为， 在中，，可得， 因为三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为d，可得，因此， 因此点到平面的距离为， 令（），由（2）得，， 又因为平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，且. 19. 已知函数，函数， （1）求的单调区间； （2）若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 分析】（1）利用导数求解单调区间即可. （2）结合导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数证明不等式即可. （3）构造函数，求出导函数，对再一次求导后，还要第三次求导，然后由时的导数值的正负分类讨论求解即可． 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 因为，所以， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意得， 则， 令， 化简得， 则，令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到， 即成立，可得， 故得证. 【小问3详解】 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 则在上恒成立， 令，且满足题意， 而，令， 则，令， 则， 则在上是增函数，即在上单调递增， 得到，当时，， 此时在上单调递增，即在上单调递增， 则，可得在上单调递增， 得到恒成立，原不等式恒成立， 当时，则，又， 得到， 则由零点存在性定理得，存在，使得， 当时，，此时在上单调递减， 即在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 即在上单调递增，而， 则当时，，此时在上单调递减， 可得，不合题意， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2025-2026学年高三第五次质量检测 数 学 试 卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的中心为原点，焦点在y轴上，两条渐近线的夹角为，且点在点上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7 5. 已知函数，，零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，,点在边上移动，满足向量，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 已知数列满足，对任意，有，则数列的前项和=（ ） A. 0 B. C. D. 2 8. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则面积为 C. 若，则面积的最大值为 D. 若的外接圆半径为， 10. 已知正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 在棱长为 2 的正方体中，E、G为中点，F在正方形内移动（包括边界），满足，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点F使得平面 B. 三棱锥的外接球表面积为 C. 直线上一点到直线的最短距离为 D. 异面直线与所成角的取值范围为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上． 12. 抛物线的准线方程为__________． 13. 已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为__________． 14. 某投资公司评估一个需要投资万项目，该项目从第年年末开始，每一年的净利润是万元，而且收益可以持续年.若年利率为，记第年年末的收益现值为（，），___________；若该项目值得投资，则的最小值为___________万元.（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， （1）求角； （2）若，且，求外接圆半径R 16. 已知数列的前项和为，. （1）若为等比数列，求的通项公式； （2）若，，为数列的前项和，证明. 17. 已知椭圆过点，离心率为．右焦点为，过的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程; （2）若点在椭圆上，且满足(为坐标原点)，求直线的方程. 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，函数， （1）求的单调区间； （2）若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $