福建福州第三中学2025-2026学年高三第十五次质量检测数学试卷

福州三中2025-2026学年高三第十五次质量检测 数学试卷 命题人：商三数学集备组 审卷人：商三数学集备组 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级､准考证号､姓名填写在答题卡上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足⫋的集合的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2. 已知，若复数是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则“对于任意，都有”是“值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设等差数列的前项和为，公差为.若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某班5位同学参加3项比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有（ ）种． A. 120 B. 180 C. 240 D. 360 8. 在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下图是函数的部分图象，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在处的切线斜率为 B. 当时，最大值为 C. 当时，在定义域上单调递减 D. 当时，存在一个极大值点和一个极小值点 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（ ） A. B. 的内心在定直线上 C. 若，则 D. 若，则的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的中位数约为__________.（精确到0.1） 13. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则______． 14. 在棱长为2的正方体中，底面的中心为，在直线上，记经过点且垂直于的平面与该正方体的截面为，为了保证始终存在，则的取值范围为：__________；若的面积为，则=__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，是Rt的斜边上一点，，记，． （1）求证：； （2）若，求的值．（注：） 16. 如图，已知均为圆台的母线，四边形为圆台的轴截面，且. （1）证明：； （2）若二面角的余弦值为，求圆台的体积. 17. 已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B．O为坐标原点． （1）求椭圆E的方程； （2）设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P，求证：． 18. 某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接.已知元件正常工作的概率为，，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”.线路是否正常工作仅由元件决定. （1）求，； （2）记一个模块中指示灯亮的盏数为，求的分布列及期望； （3）该器件由上述（）个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一半模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）当时， （i）若，求证：； （ii）记，求证：. 福州三中2025-2026学年高三第十五次质量检测 数学试卷 命题人：商三数学集备组 审卷人：商三数学集备组 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级､准考证号､姓名填写在答题卡上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 或 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 在Rt中，，． ， ，即． ，． （2） 【16题答案】 【答案】（1） 因为均为圆台的母线， 所以延长必交于一点，如图： 因为，所以确定一个平面， 又因为圆台的上下底面互相平行， 即平面平面，平面平面， 平面平面， 根据面面平行的性质定理，得； （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）证明如下： 由（1）知， 要证，只需证，即，得， 又，所以只需证. 设，因为，所以， 当直线的斜率不存在时，易知其方程为，则， 因为，，所以 将代入得，代入得. 当直线的斜率存在时，设其方程为，易知， 则，代入，得：， 整理得， 又圆与直线相切，所以， 所以，， 因为点在椭圆上，所以， 整理得， 又，所以， 由，解得. 综上，，即可得证. 【18题答案】 【答案】（1）， （2）的分布列为 （3）新器件较原器件正常工作的概率变小，理由如下： 设恰有（且）个模块的指示灯亮为事件， ， 设原器件正常工作的概率为，新器件正常工作的概率为，则 . 同理可得， 由，得， 所以，所以，故， 所以，即， 所以新器件较原器件正常工作的概率变小. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （i）当时，， 证明：当，，即，， 令，， 令，， 所以， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即，， 所以，，证毕. （ii）由，令，则， 所以 ， 下面先证明， 由（i）知在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，， 又因为，故当时，，，， 所以，即， 所以， 所以，证毕； 再证明：， 由（i）知和在上恒成立， 所以，当时，，即 ，， 所以 所以 所以 ，证毕. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $