精品解析：北京市第十二中学2025-2026学年第二学期期中考试试题八年级数学

北京市第十二中学2025-2026学年第二学期期中考试试题八年级数学 （满分100分，时间120分钟） 一、选择题（每题2分，共24分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解∶∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选∶A． 2. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项． 【详解】解： A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； C、被开方数为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意； D、 ，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，无法合并，A错误； B选项：，B正确； C选项：，C错误； D选项：，D错误． 4. 估计的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的值应在和之间， 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 5. 下列图形中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数的定义是当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示， 当自变量取一个值时，有个与它相对应， 不能表示是的函数， 故A选项符合题意； B选项：当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应， 能表示是的函数， 故B选项不符合题意； C选项：当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应， 能表示是的函数， 故C选项不符合题意； D选项：当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应， 能表示是的函数， 故D选项不符合题意． 6. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 8. 已知，△中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断△是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各选项是否满足直角三角形条件，判断哪个选项不能确定为直角三角形． 【分析】A． 由变形得，符合勾股定理逆定理，说明，能判断为直角三角形． B． 三边，，满足，符合勾股定理逆定理，能判断为直角三角形． C． 由及三角形内角和，可得，即，能判断为直角三角形． D． 设，，，则，解得，三个角分别为、、，均为锐角，无法构成直角三角形． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A的坐标是，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，先根据勾股定理得出，再结合菱形的性质，，即可作答． 【详解】解：过点A作，如图： ∵点A的坐标是， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 则 ∴点C的坐标是， 故选：C 10. 下列选项的命题中，是真命题的是（ ） A. 有三边相等的四边形是菱形 B. 四个角相等的菱形是正方形 C. 两条对角线互相平分的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，涉及正方形、菱形和矩形的判定定理．根据相关判定定理可知：对角线相等且互相平分的四边形是矩形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形．据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、菱形的定义是四条边都相等的四边形，“有三边相等的四边形是菱形”是假命题，因为三边相等不能保证四边形是菱形，不符合题意； B、正方形的定义是四个角都是直角且四条边都相等的四边形，菱形已满足四边相等，若四个角相等，则每个角为，“四个角相等的菱形是正方形”是真命题； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，但矩形需满足对角线相等或有一个角是直角，“两条对角线互相平分的四边形是矩形”是假命题，不符合题意； D、对角线相等、互相垂直且平分的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，因此不一定是正方形，“两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是假命题，不符合题意； 故选：B． 11. 已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点重合），连接．求作：点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本的尺规作图，平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．结合基本的尺规操作，利用平行四边形的判定定理逐项进行判定即可． 【详解】解：甲：如图所示， 此时，四边形不是平行四边形， ∴与不平行，故甲作法错误； 乙：如图所示， 此时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故乙作法正确； 丙：如图所示， 此时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故丙作法正确； ∴作法一定正确的是乙、丙； 故选：B． 12. 为平行四边形的对角线，，于点，于点，，交于点，连接和，射线交线段的延长线于点．①；②；③；④；上述结论正确的有（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断为等腰直角三角形，得到，再证明，易证，于是可对①进行判断；根据平行四边形的性质得到，可对②进行判断；由H不是的中点，可对③进行判断；依据勾股定理即可得到，，可对④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平行四边形中，， ∴，故②正确； ∵H不是的中点， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． ∴其中正确的结论有①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 二、填空题（每题2分，共22分） 13. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法法则计算，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解： ． 14. 比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法．首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系即可求解． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 15. 写出一个使式子“”成立的的值，这个值可以是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．根据二次根式的性质与化简得出，然后找出一个符合条件的值即可． 【详解】解：若， 则， 所以a的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 等边三角形的边长为6，则它的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长，即可求三角形的面积，从而求解． 【详解】解：过点作，垂足为， 是等边三角形，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 17. 如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，由矩形的对角线相等且互相平分，所以． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，（矩形的对角线相等且互相平分）， ∴． 故答案为：2． 18. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，在中，，E，F分别为，边的中点，过点A作，交的延长线于点D，连接，．若，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得，从而得出，再由三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，点为边的中点， ∴， ∴， ∵E，F分别为，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 20. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，根据勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得： ． 故答案为：． 21. 将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中．点，点，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据正方形性质得出，，利用同角的余角相等证得，进而利用证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，最后根据线段的和差关系求出的长，结合点所在象限即可得出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，  ，， ，， 四边形为正方形， ，， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 22. 如图，在中，，D为的中点，过D作交于E点，则的长为 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．掌握方程思想是解题关键．先连接，根据线段垂直平分线的性质，可得，然后设，由勾股定理可得方程：，继而求得答案． 【详解】解：连接BE， ∵D为的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 23. 如图，是边长为8的等边三角形，是射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值是__________． 【答案】 2 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，先由旋转的性质及等腰三角形的性质得，再由三角形中位线定理得，则，得点的轨迹为射线，且，当时，最短，即可求解 ． 【详解】解：如图所示，连接，取的中点，连接， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 为等腰三角形， ， 点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， ， 点的轨迹为射线，且， ∴当时，最短， 是边长为的等边三角形， ， 点为的中点， ， ∵在中，， ， 线段长度的最小值为2． 三、解答题（24题10分，25-30题每题5分，31-32每题7分） 24. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式分别化简二次根式后，再合并即可得到答案； （2）原式分别化简，然后再合并即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 25. 当时，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】把代入代数式，利用完全平方公式、二次根式的混合运算法则，合并求值即可． 【详解】解：把代入得， 原式 ． 26. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 【答案】 证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． 【解析】 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明，题中已经给了一组平行的对边，只需要证明另一组对边平行即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够根据题中所给的条件选择合适的判定方法时解决本题的关键． 27. 已知小乐家、书店、学校在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小乐从家跑步去书店，在书店购买资料书后，又步行去学校取东西，然后再步行回家，图中表示时间，表示小乐离家的距离，根据图中信息回答问题： （1）书店离小乐家______；小乐在书店购买资料用了______． （2）计算小乐从学校回家的平均速度是多少？ （3）小乐从家出发时，离家的距离是多少千米？ 【答案】（1）2.5；1.5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查函数函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． （1）由图象直接可得答案； （2）用路程除以时间可得乐乐从学校回家的平均速度； （3）用1.5减去离开学校的路程即为离家的距离，列式计算即可． 【小问1详解】 解：由图象可得，书店离乐乐家，小乐在书店购买资料用了 故答案为：2.5；15； 【小问2详解】 解：小乐从学校回家的平均速度是， 答：小乐从学校回家的平均速度是； 【小问3详解】 解：小乐从家出发时，离家的距离是， 答：小乐从家出发时，离家的距离是． 28. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 29. 如图．四边形中，，连接，且，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，，利用勾股定理求出；过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 过点作交延长线于． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 30. 如图，D是的边的中点，过D作交于点E．求证：E是的中点． 【答案】 证明：∵DE∥BC， ∴， ∵D是AB的中点， ∴， ∴， ∴， ∴E是AC的中点. 【解析】 【分析】用平行线分线段成比例定理得到，再根据D是AB的中点得到，进而得到即可得到答案. 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理. 31. 在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全图形如图1所示： （2） （3） 解：，证明如下： 如图2，作，交的延长线于点H，连接． ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）依题意补全图形即可； （2）设，利用正方形和翻折的性质得到，，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数； （3）作，交的延长线于点H，连接，利用正方形和翻折的性质证明，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． 四边形是正方形， ，， ， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ， ， ． 【小问3详解】 略 32. 在平面直角坐标系中，对于点、点和图形，给出如下定义：在图形上存在点，使得点是线段的中点（P，Q不重合），则称点为图形关于点的“映射点”． 已知正方形的顶点为． （1）已知点的坐标为，在点中，正方形关于点的映射点是__________； （2）已知点，若x轴上存在正方形关于点的映射点，直接写出的取值范围； （3）已知点，以为中心作边长为1且各边与坐标轴平行的正方形，记为正方形，点在正方形上，若正方形上存在正方形关于点的映射点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式，分别求得对应的点Q的坐标，然后判断该点是否在正方形上即可； （2）设该映射点为，存在在正方形上，使得是中点，根据中点坐标公式可得，，结合点在正方形上，得到的a、b的取值范围，从而求得m的取值范围； （3）分点T在离正方形的左侧最远和点T在离正方形的右侧最远，分别求得对应的t的值即可． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵正方形的顶点为， ∴在正方形上的任意一点满足， 根据题意，假设点是线段的中点，点，点， 则， ∴，即， ∵点在正方形的边上，且与不重合， ∴点是正方形关于点的映射点； 同理可得点和点对应的点分别为和， ∵点不在正方形上，点在正方形的边上，且与不重合， ∴点是正方形关于点的映射点； 综上，正方形关于点的映射点是和； 【小问2详解】 解：∵x轴上存在正方形关于点的映射点， ∴设该映射点为，存在在正方形上，使得是中点，如图所示， 则， ∴，， ∵正方形的顶点为， ∴在正方形上的任意一点满足， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵正方形以为中心，边长为1且各边与坐标轴平行，都在正方形上， ∴的最大值为正方形T的对角线长， 如图，此时点T在离正方形的左侧最远， 则，，， ∵点是线段的中点， ∴，即， 解得， 如图，此时点T在离正方形的右侧最远， 则，，， 同理可得， 解得， ∴点在正方形上时，若正方形上存在正方形关于点的映射点，t的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十二中学2025-2026学年第二学期期中考试试题八年级数学 （满分100分，时间120分钟） 一、选择题（每题2分，共24分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 5. 下列图形中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，△中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断△是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A的坐标是，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项的命题中，是真命题的是（ ） A. 有三边相等的四边形是菱形 B. 四个角相等的菱形是正方形 C. 两条对角线互相平分的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 11. 已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点重合），连接．求作：点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 12. 为平行四边形的对角线，，于点，于点，，交于点，连接和，射线交线段的延长线于点．①；②；③；④；上述结论正确的有（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每题2分，共22分） 13. 计算的结果是__________． 14. 比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 15. 写出一个使式子“”成立的的值，这个值可以是___________． 16. 等边三角形的边长为6，则它的面积是___________． 17. 如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为______． 18. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 19. 如图，在中，，E，F分别为，边的中点，过点A作，交的延长线于点D，连接，．若，则的长为______． 20. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________． 21. 将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中．点，点，则点的坐标是__________． 22. 如图，在中，，D为的中点，过D作交于E点，则的长为 ___________________． 23. 如图，是边长为8的等边三角形，是射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值是__________． 三、解答题（24题10分，25-30题每题5分，31-32每题7分） 24. 计算： （1） （2） 25. 当时，求代数式的值． 26. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 27. 已知小乐家、书店、学校在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小乐从家跑步去书店，在书店购买资料书后，又步行去学校取东西，然后再步行回家，图中表示时间，表示小乐离家的距离，根据图中信息回答问题： （1）书店离小乐家______；小乐在书店购买资料用了______． （2）计算小乐从学校回家的平均速度是多少？ （3）小乐从家出发时，离家的距离是多少千米？ 28. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 29. 如图．四边形中，，连接，且，若，求的长． 30. 如图，D是的边的中点，过D作交于点E．求证：E是的中点． 31. 在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 32. 在平面直角坐标系中，对于点、点和图形，给出如下定义：在图形上存在点，使得点是线段的中点（P，Q不重合），则称点为图形关于点的“映射点”． 已知正方形的顶点为． （1）已知点的坐标为，在点中，正方形关于点的映射点是__________； （2）已知点，若x轴上存在正方形关于点的映射点，直接写出的取值范围； （3）已知点，以为中心作边长为1且各边与坐标轴平行的正方形，记为正方形，点在正方形上，若正方形上存在正方形关于点的映射点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $