8.2 立体图形的直观图 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§8.2 立体图形的直观图 目录 题型1：斜二测画法的概念辨析 3 题型2：画平面图形的直观图 5 题型3：画立体图形的直观图 7 题型4：与直观图有关的计算问题 9 1. 直观图 直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示. 2. 斜二测画法 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法. (1) 利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于，且使(或),它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画出平行于轴或轴的线段(平行关系不变). ③已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. (2) 几何体的直观图的画法： ①画轴.画轴、轴、轴，三轴相交于点，使，. ②画底面.在平面(水平面)上，按“横不变，纵减半”规则画出底面. ③画侧棱.从底面各顶点向上(轴方向)画平行且相等的线段，长度不变. ④成图.连接上底面各点，去掉辅助线，并将被遮挡的棱改为虚线. 3. 由直观图还原平面图形 (1) 直观图中轴与轴的夹角为（或），还原为平面图形时，则需还原成，与轴平行的线段还原时应为原线段长的2倍，且保持与轴平行，与轴平行的线段的长度不变. (2) 直观图中任何一点距轴的距离都为原图中相应点距轴距离的. 4. 斜二测画法中的直观图与原图的面积关系 一个平面多边形的面积为，它由斜二测画法所画的直观图的面积为，则有，. 题型1：斜二测画法的概念辨析 【例1.1.】 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法辨析 【分析】由斜二测画法逐一判断即可. 【详解】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 【例1.2.】 关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可. 【详解】斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，故A不符合题意； 斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行，故B不符合题意； 用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行，故C不符合题意； 斜二测画法中，直观图和原图的面积不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 【例1.3.】 根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（    ） A．90°，90° B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90° 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】根据斜二测画法的规则可得． 【详解】根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°. 故选：D. 【例1.4.】 利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（    ） A．① B．①② C．③ D．①②③④ 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】根据斜二测画法的规则依次判断各命题即可作答. 【详解】由斜二测画法规则知，斜二测画法不改变平行性，即原图形与直观图中对应的相交直线、平行直线的关系不变， 因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，①②正确， 由于斜二测画法规则中，原图形中x，y轴互相垂直，在直观图中，对应的轴夹角为， 并且原图形中在y轴上或平行于y轴的线段在直观图中长度减半，原图形中在x轴上或平行于x轴的线段在直观图中长度不变， 因此斜二测画法会改变角的大小，③④错误. 故选：B 题型2：画平面图形的直观图 【例2.1.】 下图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.94 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法辨析 【分析】根据直观图，画出原图形，即可得出答案. 【详解】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形， 且在直观图中平行于轴的边与底边垂直， 原图形如图所示： 此平面图形可能是C. 故选：C. 【例2.2.】 利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图 【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 【例2.3.】 如图，是水平放置的的直观图，轴，轴，则是___________三角形． 【答案】直角 【难度】0.85 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法的规则判断即可. 【详解】在斜二测画法中，平行于轴的线段在原图中平行于轴，平行于轴的线段在原图中平行于轴， 且原图中轴互相垂直， 因为轴，轴，还原后， 即，所以是直角三角形. 故答案为：直角. 【例2.4.】 如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 【答案】图见解析. 【难度】0.85 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法可得在原图形中，，轴，的位置不变，，的位置不变，，画出图形即可. 【详解】解：如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，连接，，便得到了原图形（如图）． 题型3：画立体图形的直观图 【例3.1.】 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0.8 cm 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解. 【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图， 直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm． 故选：D. 【例3.2.】 画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 【答案】答案见解析 【难度】0.84 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据斜二测画法的方法建系,再分别画出底面与顶点即可. 【详解】画法：（1）画轴． 画x轴、y轴、z轴，（或），，如图（1）． （2）画底面． 以O为中心在平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图． （3）画顶点，在z轴上截取，使． （4）成图，顺次连接，，，，并擦去辅助线，被遮挡住的线段，，改成虚线，得四棱锥的直观图如图（2）． 【例3.3.】 有一个正六棱锥（底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥），底面边长为3cm，高为3cm，画出这个正六棱锥的直观图. 【答案】详见解析 【难度】0.85 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据斜二测画法的一般步骤，即可做出正六棱锥的直观图. 【详解】解：（1）先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图，如图所示. （2）过正六边形的中心建立轴，在轴上截取，画出正六棱锥的顶点，如图所示. （3）连接，，，，，，如图所示. （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图所示. 题型4：与直观图有关的计算问题 【例4.1.】 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，， ，故A、B错误； 对于C，四边形的面积为：，即C错误． 对于D，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确； 【例4.2.】 用斜二测画法画出的直观图如图所示，角的对边分别为，且，则中，边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、正弦定理边角互化的应用 【分析】首先，根据已知条件，利用正弦定理求出角的大小.然后，由斜二测画法的性质，得到原三角形的相关信息，进而求出边上的高. 【详解】 因为， 由正弦定理可得：， 所以代入 可得：， 化简可得：，则，因为， 所以，已知，即， 那么中边上的高. 根据斜二测画法的性质，在斜二测画法中，平行于轴的线段长度变为原来的一半， 那么原三角形中边上的高. 将代入可得. 所以中边上的高为. 故选：C. 【例4.3.】 如图，是水平放置的的直观图，，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.68 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误. 【详解】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B错误； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 【例4.4.】 如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法还原原平面图形，分别求出轴、轴方向线段长度，然后计算周长. 【详解】根据题意，直观图边长为， ，， 还原为平行四边形， ，，所以， 原平面图形的周长是cm.    【例4.5.】 若某平面图形用斜二测画法得到的直观图是边长为4的正三角形，则原图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【详解】如图，直观图是边长为的正三角形， 则其高， 过作轴，交于，则， 则在原中，，边上的高为， 故的面积为. 【例4.6.】 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】结合图形可得，求出四边形面积后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D， 因为轴，轴， 所以， 因为轴， 所以四边形为平行四边形， 故, 又, 轴， 得, 故． 所以四边形面积为, 因为四边形面积是四边形的面积的， 所以四边形的面积为． 【例4.7.】 （多选）已知是等腰直角三角形，且，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测画法辨析 【分析】根据题意，分别以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，画出直观图，求得的长（范围），结合选项，即可求解. 【详解】以所在的直线为轴，画出的直观图，如图所示， 因为为等腰直角三角形，且，可得， 此时中，可得，所以B正确； 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，如图所示， 可得，且， 过作轴于点，可得，则， 在直角中，可得，故正确； 以为坐标原点，以所在的直线为轴，此时， 所以得取值范围为，结合选项，可得B、D正确. 故选：BD. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §8.2 立体图形的直观图 目录 题型1：斜二测画法的概念辨析 3 题型2：画平面图形的直观图 3 题型3：画立体图形的直观图 4 题型4：与直观图有关的计算问题 4 1. 直观图 直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示. 2. 斜二测画法 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法. (1) 利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于，且使(或),它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画出平行于轴或轴的线段(平行关系不变). ③已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. (2) 几何体的直观图的画法： ①画轴.画轴、轴、轴，三轴相交于点，使，. ②画底面.在平面(水平面)上，按“横不变，纵减半”规则画出底面. ③画侧棱.从底面各顶点向上(轴方向)画平行且相等的线段，长度不变. ④成图.连接上底面各点，去掉辅助线，并将被遮挡的棱改为虚线. 3. 由直观图还原平面图形 (1) 直观图中轴与轴的夹角为（或），还原为平面图形时，则需还原成，与轴平行的线段还原时应为原线段长的2倍，且保持与轴平行，与轴平行的线段的长度不变. (2) 直观图中任何一点距轴的距离都为原图中相应点距轴距离的. 4. 斜二测画法中的直观图与原图的面积关系 一个平面多边形的面积为，它由斜二测画法所画的直观图的面积为，则有，. 题型1：斜二测画法的概念辨析 【例1.1.】 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【例1.2.】 关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【例1.3.】 根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（    ） A．90°，90° B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90° 【例1.4.】 利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（    ） A．① B．①② C．③ D．①②③④ 题型2：画平面图形的直观图 【例2.1.】 下图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【例2.2.】 利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【例2.3.】 如图，是水平放置的的直观图，轴，轴，则是___________三角形． 【例2.4.】 如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 题型3：画立体图形的直观图 【例3.1.】 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0.8 cm 【例3.2.】 画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 【例3.3.】 有一个正六棱锥（底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥），底面边长为3cm，高为3cm，画出这个正六棱锥的直观图. 题型4：与直观图有关的计算问题 【例4.1.】 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【例4.2.】 用斜二测画法画出的直观图如图所示，角的对边分别为，且，则中，边上的高为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 如图，是水平放置的的直观图，，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（   ）    A． B． C． D． 【例4.5.】 若某平面图形用斜二测画法得到的直观图是边长为4的正三角形，则原图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例4.6.】 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【例4.7.】 （多选）已知是等腰直角三角形，且，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（　　） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $