专题8.2 立体图形的直观图重难点题型讲义（1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学册重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理了立体图形直观图的知识体系，以斜二测画法为核心，从定义、步骤到“三变三不变”规律分层呈现，清晰构建平面与空间图形直观图的内在联系，突出斜二测画法的重难点分布。 讲义亮点在于“题型递进式”练习设计，从斜二测画法辨析到由直观图还原几何图形（如例1判断原三角形形状），培养空间观念与几何直观，结合计算题型提升推理能力。拓展训练与自我检测满足分层需求，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可夯实基础或深化探究。

专题8.2 立体图形的直观图重难点题型专训 （1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 斜二测画法辨析 题型二 斜二测法画平面图形的直观图 题型三 由直观图还原几何图形 题型四 斜二测画法中有关量的计算 拓展训练一 斜二测画法相关求解 知识点一： 立体图形的直观图的画法 1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变； 平行于轴的长度变成原来的一半， 2、平面图形直观图的画法及要求 第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于，且使（或）它们确定的平面表示水平面； 第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段，在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段； 第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半， 3、空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 4、直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”: (1)坐标轴的夹角改变；(2)与轴平行的线段长度变为原来的一半；(3)图形改变。 “三不变”:(1)平行性不改变；(2)与轴和轴平行的线段长度不改变；(3)相对位置不改变。 【即时训练】 1．（25-26高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 2．（24-25高一下·浙江·期中）某几何体底面的直观图为如图矩形，其中，该几何体底面的面积为________． 【经典例题一 斜二测画法辨析】 【例1】（24-25高一下·天津西青·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ）. A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．一个直角的直观图仍是一个直角 D．平行的线段在直观图中仍然平行 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？ 1．（24-25高一下·河南驻马店·月考）关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 3．（24-25高三下·浙江温州·月考）设平面直角坐标系中有线段，其对应的直观图上的线段为，若，则的斜率为______. 4．（25-26高一·全国·课后作业）画出上、下底面边长分别为3cm和5cm，高为4cm的正四棱台的直观图. 【经典例题二 斜二测法画平面图形的直观图】 【例1】（24-25高二上·海南海口·期中）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【例2】（25-26高一·江苏·单元复习）如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    1．（25-26高一·全国·课后作业）等腰三角形中，，其直观图可能是图中的（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 2．（多选）（2025·辽宁·三模）有一张长方形的纸（如图所示），现可任意沿虚线将其剪开或折叠（不将纸剪断），可以得到的图形的直观图是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·课后作业）一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积等于______． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图． 【经典例题三 由直观图还原几何图形】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是的直观图，其中，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 1．（24-25高一下·安徽滁州·月考）如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一·全国·单元测试）如图所示的是水平放置的三角形直观图，D'是中B'C'边上的一点，且D'C'＜D'B'，A'D'∥y'轴，那么原的AB、AD、AC三条线段中（　　）    A．最长的是AB B．最长的是AC C．最短的是AC D．最短的是AD 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是水平放置的的直观图，轴，轴，则是__________三角形． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形． 【经典例题四 斜二测画法中有关量的计算】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 【例2】（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·河北邢台·月考）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （    ）    A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______ 4．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【拓展训练一 斜二测画法相关求解】 【例1】（24-25高一下·福建三明·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【例2】（2025高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 1．（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽淮北·月考）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________. 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，已知点，，.求该水平放置的四边形用斜二测画法作出的直观图的面积. 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，则平面图形的面积是（    ） A．14 B．7 C． D． 2．（25-26高一·全国·课后作业）利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（    ） ①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形. A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 3．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知是等腰直角三角形，且，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 6．（多选）（24-25高三上·全国·一轮复习）关于斜二测画法所得直观图的说法错误的是（    ） A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 7．（多选）（24-25高一下·湖北武汉·月考）用斜二测画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．平行线段在直观图仍是平行线段 B．相等的角在直观图仍是相等的角 C．菱形的直观图是菱形 D．梯形的直观图是梯形 8．(多选)（25-26高一下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．最长的线段在直观图中对应的线段仍最长 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 9．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，为水平放置的的直观图，其中，则在原平面图形中有（　　） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 11．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是__________. 12．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为______. 13．（24-25高二上·上海·月考）在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为___________. 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 15．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，试求梯形水平放置的直观图的面积． 17．（24-25高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 18．（25-26高一·全国·课后作业）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    19．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 20．（2025高一下·全国·专题练习）有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 立体图形的直观图重难点题型专训 （1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 斜二测画法辨析 题型二 斜二测法画平面图形的直观图 题型三 由直观图还原几何图形 题型四 斜二测画法中有关量的计算 拓展训练一 斜二测画法相关求解 知识点一： 立体图形的直观图的画法 1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． （1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承或 （2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变； 平行于轴的长度变成原来的一半， 2、平面图形直观图的画法及要求 第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于，且使（或）它们确定的平面表示水平面； 第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段，在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段； 第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半， 3、空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 4、直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”: (1)坐标轴的夹角改变；(2)与轴平行的线段长度变为原来的一半；(3)图形改变。 “三不变”:(1)平行性不改变；(2)与轴和轴平行的线段长度不改变；(3)相对位置不改变。 【即时训练】 1．（25-26高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 2．（24-25高一下·浙江·期中）某几何体底面的直观图为如图矩形，其中，该几何体底面的面积为________． 【答案】 【分析】根据直观图，得到底面平面图形的形状和图形的高，根据平行四边形的面积公式求出底面积. 【详解】在直观图中，令轴与交于点，则， 直观图还原为平面图形如图， 根据直观图与原图的关系可得：， 故该几何体的底面是平行四边形，其面积为. 故答案为：. 【经典例题一 斜二测画法辨析】 【例1】（24-25高一下·天津西青·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ）. A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．一个直角的直观图仍是一个直角 D．平行的线段在直观图中仍然平行 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则判断. 【详解】根据斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，A错； 直角的一条边与轴平行，另一条边与轴平行，则其直观图变为或，BC均错； 平行的线段在直观图中仍然平行，D正确。 故选：D. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？ 【答案】答案见解析. 【分析】根据斜二测画法的规则判断可得； 【详解】解：根据斜二测画法规则知： ，故为直角三角形. 1．（24-25高一下·河南驻马店·月考）关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可. 【详解】斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，故A不符合题意； 斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行，故B不符合题意； 用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行，故C不符合题意； 斜二测画法中，直观图和原图的面积不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【答案】ACD 【分析】根据斜二测画法的要求和结论理解辨析即可． 【详解】根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行， 原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以B错误，ACD正确. 故选：ACD． 3．（24-25高三下·浙江温州·月考）设平面直角坐标系中有线段，其对应的直观图上的线段为，若，则的斜率为______. 【答案】0或 【解析】根据斜二侧画法，“平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段长度减半”，由此得出若直线AB与x轴平行满足条件，当直线与x轴不平行时，设倾斜角为，计算即可求解． 【详解】根据斜二侧画法知，线段AB对应直观图上的线段， 若直线AB与x轴平行时，，此时AB的斜率为0； 若直线AB不与x轴平行时，设AB倾斜角为，, 则在直观图中，据斜二侧画法及余弦定理可得：， 因为， 所以， 化简得， 即， 故答案为：0或． 【点睛】本题考查了斜二侧画法中线段长度的变化情况，余弦定理，属于中档题． 4．（25-26高一·全国·课后作业）画出上、下底面边长分别为3cm和5cm，高为4cm的正四棱台的直观图. 【答案】图形见解析 【分析】根据斜二测画法规则及作图步骤即可作出正四棱台的直观图. 【详解】(1)画轴：如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使， (2)画下底面：以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=5cm，在y轴上取线段PQ，使PQ=cm， 分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线， 令它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正四棱台的下底面， (3)画上底面：在z轴上取点，使=4cm，过作轴、轴分别平行于x轴、y轴， 以点为中心，在轴上取线段M1N1，使M1N1=3cm，在轴上取线段P1Q1，使P1Q1=cm， 分别过点M1，N1作轴的平行线，过点P1，Q1作轴的平行线， 令它们的交点分别为A1，B1，C1，D1，四边形A1B1C1D1就是正四棱台的上底面， (4) 成图：连接线段AA1，BB1，CC1，DD1，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正四棱台的直观图，如图. 【经典例题二 斜二测法画平面图形的直观图】 【例1】（24-25高二上·海南海口·期中）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 【例2】（25-26高一·江苏·单元复习）如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的定义和步骤即可求解. 【详解】（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系， 再建立如图②所示的坐标系，使. (2)在坐标系中，在轴上截取； 在轴上截取，使. (3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示).    1．（25-26高一·全国·课后作业）等腰三角形中，，其直观图可能是图中的（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【解析】根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意及直观图的画法可知当时，等腰三角形的直观图是④； 当时，等腰三角形的直观图是③， 综上，等腰三角形的直观图可能是③④，故选D. 【点睛】本题主要考查了平面图形的直观图的画法以及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 2．（多选）（2025·辽宁·三模）有一张长方形的纸（如图所示），现可任意沿虚线将其剪开或折叠（不将纸剪断），可以得到的图形的直观图是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据立体图形直观图的斜二测画法，分别判断各选项正误. 【详解】 A项沿着和竖线剪开，沿中间线上翻得到. B项和线剪开，和线剪开，沿中间线上翻得到. C项四边形和四边形都被剪了，四边形和四边形位置冲突，所以不可能得到. D项沿和剪开，沿中间线上翻，再沿线剪开，沿中间线下翻得到. 故选：ABD. 3．（25-26高二·全国·课后作业）一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积等于______． 【答案】 【分析】根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积与它的直观图的面积之间的关系是，先求出直观图即正方形的面积，根据比值求出原平行四边形的面积即可． 【详解】—个平面图形的面积与它的直观图的面积之间的关系是，因为直观图的面积，所以原平面四边形的面积为，故答案为. 【点睛】本题主要考查学生灵活运用据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，属于基础题. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则作图． 【详解】（1）在已知的正五边形中，取正五边形的中心O为坐标原点， 对称轴为y轴，过O与y轴垂直的直线为x轴．分别过点B，E作、 ，与x轴分别交于G，H．画对应的，，使． （2）以点为中点，在轴上取，分别过， 在轴的上方作，，并使，； 在轴上轴的上方，取，在轴的下方，取， 并以点为中点画，且． （3）连接，，，，所得的五边形就是正五边形 的直观图． 【经典例题三 由直观图还原几何图形】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是的直观图，其中，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】由斜二测画法的定义求出以及长度关系即可. 【详解】轴，轴，． 又，所以， 则是直角三角形，但不是等腰三角形． 故选：B 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 【答案】作图见解析 【分析】利用直观图的画法规则画出平面图. 【详解】如图： （1）在平面直角坐标系中，在轴上截取，； （2）在轴上截取； （3）过作直线平行于轴，如图截取; （4）连接. 则四边形即为所求. 1．（24-25高一下·安徽滁州·月考）如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图与原图的关系分析求解即可； 【详解】由图可知，所以四边形的面积为； 根据轴不变，轴减半的原则，的坐标为：    四边形周长为 所以四边形周长与面积的数值之比为, 故选：A. 2．（多选）（25-26高一·全国·单元测试）如图所示的是水平放置的三角形直观图，D'是中B'C'边上的一点，且D'C'＜D'B'，A'D'∥y'轴，那么原的AB、AD、AC三条线段中（　　）    A．最长的是AB B．最长的是AC C．最短的是AC D．最短的是AD 【答案】AD 【分析】根据题意，作出原的平面图，结合勾股定理分析可得答案． 【详解】根据题意，原的平面图如图， 其中，，， 则有， 故的AB、AD、AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD； 故选：AD    3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是水平放置的的直观图，轴，轴，则是__________三角形． 【答案】直角 【分析】根据斜二测画法的定义求出即可. 【详解】因为轴，轴，所以， 所以在中， 故为直角三角形． 故答案为：直角 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形． 【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的步骤和规则进行解答即可. 【详解】解：（1）在已知图形中画坐标系，使，在轴上，与重合，如图（1）； （2）画直角坐标系，在x轴上取，即，如图（2）所示； （3）在图（1）中过作轴，交轴于．在图（2）中，在x轴上取， 过D作轴，并使； （4）连接，，则即为原图形，如图（2）所示． 【经典例题四 斜二测画法中有关量的计算】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 【例2】（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)图象见解析 (2)5， 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， ∴四边形的面积为． 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在斜二测直观图中，，且， 所以为等腰直角三角形，所以， 且，由斜二测画法可知，在中，， ，， 故． 2．（多选）（24-25高一下·河北邢台·月考）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （    ）    A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】首先利用斜二测画法，表示图象的直观图，再根据几何关系，表示长度，判断选项. 【详解】由题意可画出其直观图如下，    其中，故A错误，B正确； 过点分别作，垂足分别为点， 故， ，故， 则四边形为等腰梯形，故C正确； 故四边形的周长为，即D错误. 故选：BC 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______ 【答案】 【分析】先求出直观图矩形的面积，再根据原图形与直观图面积关系求出四边形的面积. 【详解】由题意，， 原图形面积与斜二测直观图形面积之间的关系为， 可得． 4．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)5，． 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 【拓展训练一 斜二测画法相关求解】 【例1】（24-25高一下·福建三明·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】结合图形可得，求出四边形面积后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D， 因为轴，轴， 所以， 因为轴， 所以四边形为平行四边形， 故, 又, 轴， 得, 故． 所以四边形面积为, 因为四边形面积是四边形的面积的， 所以四边形的面积为． 【例2】（2025高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4） 【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果； （2）由直观图可知，即为直角三角形； （3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果； （4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果. 【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ； （2）由斜二测画法规则知， 故原为直角三角形； （3）由已知可得在中，，， 故； （4）原三角形面积为，画直观图后，，， ． 1．（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形作出，求其各边长，即得周长. 【详解】作出，如下图所示： 由题意可知因为，，，所以， 故，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：D. 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由斜二测画法的规则复原为原图形，求解相关量逐项判断即可. 【详解】在中，作交于点， 因为，所以，， 又 ，所以，，， 利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形， 由斜二测画法，可得，，， 所以，， ，故A、B、D正确，C错误. 3．（24-25高一下·安徽淮北·月考）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________. 【答案】 【分析】根据斜二测画法，与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出，，的长度，即可求出原三角形的周长. 【详解】在中，， 根据直观图画出原图如下： 则，， 在中，， 所以原三角形的周长是. 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，已知点，，.求该水平放置的四边形用斜二测画法作出的直观图的面积. 【答案】 【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算. 【详解】解：由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，， 所以 . 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，则平面图形的面积是（    ） A．14 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长以及高，然后求出面积． 【详解】根据直观图画法的规则，直观图中平行于轴，， 可知原图中，从而得出AD⊥DC，且， 直观图中，，可知原图中，， 即四边形ABCD上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图， 故其面积. 故选：B 2．（25-26高一·全国·课后作业）利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（    ） ①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形. A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【解析】根据斜二测画法的规则，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错； 两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错； 根据直观图的画法中，平行性保持不变，可得③，④正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面图形的直观图的画法以及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 3．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知是等腰直角三角形，且，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，分别以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，画出直观图，求得的长（范围），结合选项，即可求解. 【详解】以所在的直线为轴，画出的直观图，如图所示， 因为为等腰直角三角形，且，可得， 此时中，可得，所以B正确； 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，如图所示， 可得，且， 过作轴于点，可得，则， 在直角中，可得，故正确； 以为坐标原点，以所在的直线为轴，此时， 所以得取值范围为，结合选项，可得B、D正确. 故选：BD. 4．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，结合斜二测画法，得出的形状，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积是. 5．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】D 【分析】根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，， ，故A、B错误； 对于C，四边形的面积为：，即C错误． 对于D，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确； 6．（多选）（24-25高三上·全国·一轮复习）关于斜二测画法所得直观图的说法错误的是（    ） A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法的规则即可结合选项逐一求解. 【详解】由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐系，而平行性没有改变，A，B，C都不正确，D正确， 故选：ABC 7．（多选）（24-25高一下·湖北武汉·月考）用斜二测画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．平行线段在直观图仍是平行线段 B．相等的角在直观图仍是相等的角 C．菱形的直观图是菱形 D．梯形的直观图是梯形 【答案】AD 【分析】由斜二测画法的知识可逐项判断. 【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确； 对于B，对于平面多边形，不妨以正方形为例， 其直观图直角变为或，B错误； 对于C，根据斜二测画法知，平行于轴的线段长度不变， 平行于轴的线段长度变为原来的一半，故菱形的直观图不是菱形，C错误； 对于D，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行， 且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，D正确； 故选：AD 8．(多选)（25-26高一下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．最长的线段在直观图中对应的线段仍最长 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 【答案】CD 【详解】对于A项，由正方形的直观图是平行四边形可知A错误， 对于B项，如图，矩形的直观图是平行四边形， 最长的线段在直观图中对应的线段不是最长，故B项错误； 对于C项，线段上的点在直观图中相对位置不变，故线段的中点在直观图中仍然是线段的中点，故C项正确； 对于D项，如图所示： 直角梯形的直观图可能是等腰梯形，故D项正确． 故选：CD 9．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，为水平放置的的直观图，其中，则在原平面图形中有（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜二测画法规则确定点的位置，再作出，逐项计算判断即可. 【详解】在直观图中，， 取中点，连接， 则，而， 于是， 由斜二测画法规则作出，如图， 则，， ， ， 显然，AD正确，BC错误. 10．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 【答案】AD 【分析】根据斜二测画法还原，然后求出三边即可得答案. 【详解】根据斜二测画法还原，如图所示： 由斜二测画法可知，， 则，所以为正三角形. 所以. 故选：AD 11．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是__________. 【答案】 【分析】首先求出，，即可得到原四边形中，的值，即可求出原四边形的面积. 【详解】根据斜二测画法的定义知在直观图中是等腰直角三角形，所以， 根据勾股定理，，又因为是的中点， 所以，可得在原四边形中，，， 故原四边形的面积. 故答案为：. 12．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为______. 【答案】8 【分析】利用斜二测画法还原直观图即得. 【详解】由题可知， ∴，还原直观图可得原平面图形，如图， 则， ∴原平面图形的面积为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海·月考）在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为___________. 【答案】 【分析】根据题意，同时求出、的长，由此可得的面积． 【详解】 根据题意，中，，，， 在直观图中， ， 故的面积． 故答案为：． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为. 15．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 【答案】9 【分析】根据斜二测画法，还原成平面图形，计算面积即可. 【详解】根据斜二测画法，还原成平面图形. 得到，，，， 可知四边形是直角梯形，所以四边形的面积． 故答案为：9 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，试求梯形水平放置的直观图的面积． 【答案】 【分析】根据题意，得到梯形水平放置的直观图仍为梯形，画出其直观图，求得直观图中梯形的高，结合梯形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，在梯形中，可得， 因为为等腰直角三角形，所以, 又因为梯形水平放置的直观图仍为梯形，如图所示， 其中上底和下底的长度都不变，且， 所以，即梯形的高为， 梯形的面积． 17．（24-25高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】运用斜二测画法画图即可. 【详解】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 18．（25-26高一·全国·课后作业）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    【答案】图见解析， 【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算. 【详解】由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，， 所以 .    19．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得. （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，. 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 20．（2025高一下·全国·专题练习）有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 【答案】812元 【分析】在直观图中，过点作，垂足为，先求出直观图的面积，再利用，求出原图形的面积，即可求得答案. 【详解】在直观图中，过点作，垂足为，如下图： 则在中，，，所以， 又四边形为矩形，， 所以，则， 由此可得， 又， 所以， 故这块菜地所产生的总经济效益是 (元). 学科网（北京）股份有限公司 $