精品解析：上海华东师范大学第二附属中学2025-2026学年第二学期高一年级期中质量调研数学试卷

华东师大二附中2025学年第二学期高一年级期中质量调研 数学 试卷 （时间 120 分钟 满分 150 分） （试卷共 4 页 答题纸共 2 页） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1. 函数的圆频率是___________. 2. 若，则点在第___________象限. 3. 已知向量，．若，则实数m=________． 4. 若钝角满足，则___________. 5. 若中，，，，则___________. 6. 已知向量，，若、共线，则它们___________（填“同向”或“反向”）. 7. 函数的最小正周期是___________. 8. 若，能构成平面向量的一组基，但，不能，则实数t的所有可能之和为___________. 9. 在内使得成立的的取值范围是___________. 10. 已知，，，则在方向上投影的坐标为___________. 11. 若，，则___________. 12. 对任意向量，定义. 设点A在一次函数的图象上，点B在函数的图象上，则的最小值为___________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知不共线的向量、，则“为锐角”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知向量，，对任意R，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 16. 对任意锐角三角形ABC，有下列两个命题： ① 若，则； ② 恒成立； 则（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①真②真 D. ①假②假 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为 （1）求的值； （2）求的值． 18. 在△ABC中，角所对的边分别为，其中. （1）若，且，求A； （2）若，且，求△ABC的面积S△ABC. 19. 某展览会有四个展馆，分别位于矩形ABCD的四个顶点处，现要选择矩形内部（不含边界）的两点，并修建图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中米，米，且. （1）将步道总长（单位：米）表示（单位：弧度）的函数； （2）现需要对步道进行装饰.经测评，装饰后的EF段每米的建造费用较高，其余4条步道建造费用较低且相等.若前者是后者的1.2倍，试确定EF的长，使得总的建造费用最少. 20. 已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. （1）若，求； （2）若是中点，求的值； （3）记的中点为，求面积的最小值. 21. 已知R，，. （1）若，写出函数的单调区间（不用说明理由）； （2）若，试根据a的取值范围讨论函数的零点的个数； （3）若，已知函数的全体零点可排列为，若对任意正整数n都成立，求正实数u的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大二附中2025学年第二学期高一年级期中质量调研 数学 试卷 （时间 120 分钟 满分 150 分） （试卷共 4 页 答题纸共 2 页） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1. 函数的圆频率是___________. 【答案】2 【解析】 【详解】函数的圆频率是2. 2. 若，则点在第___________象限. 【答案】二 【解析】 【详解】由可得， 所以点在第二象限. 3. 已知向量，．若，则实数m=________． 【答案】3 【解析】 【分析】由向量垂直对应坐标形式的数量积为零，即可求解出的值. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 4. 若钝角满足，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】因为钝角满足，所以， 所以. 5. 若中，，，，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】因为中，，，， 所以 6. 已知向量，，若、共线，则它们___________（填“同向”或“反向”）. 【答案】同向 【解析】 【详解】因为、共线，所以， 所以，则，所以同向. 7. 函数的最小正周期是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据恒等变换得，再求最小正周期即可. 【详解】由题意知， 所以函数的最小正周期是 8. 若，能构成平面向量的一组基，但，不能，则实数t的所有可能之和为___________. 【答案】1 【解析】 【详解】由题意可得，，不共线，但，共线， 设，则， 所以，解得或. 时，，，两向量共线； 时，，，两向量互为相反向量. 均符合题意. 所以实数t的所有可能之和为. 9. 在内使得成立的的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合正余弦函数，正切函数的性质分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，满足题意； 当时，，显然成立， 综上，在内使得成立的的取值范围为 10. 已知，，，则在方向上投影的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，再由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】由，且则， 解得， 又， 则． 11. 若，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式可得，再利用和差化积公式得到，即可得解. 【详解】因为， 因为， ，即， ， 12. 对任意向量，定义. 设点A在一次函数的图象上，点B在函数的图象上，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，设，则，由的定义写出其表达式，先固定，构造函数，分析函数单调性，可得其最小值相应的函数，结合基本不等式可得到的最小值. 【详解】由题意，设， 则， 所以. 可以先固定  （其中  ），寻找使上式最小的 . 令 ，所以 ，所以 . 令，，则. 令， 则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知不共线的向量、，则“为锐角”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 因为不共线的向量、，且， 即在、不共线时，为锐角， 故为锐角的充要条件. 14. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，最小正周期为，正确； 对于B，，但定义域为，其周期为，错误； 对于C，图象下方做关于轴的对称，周期不变为，错误； 对于D，图象关于轴对称，不是周期函数，错误. 15. 已知向量，，对任意R，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 即， 所以， 即，对任意R恒成立， 所以， 即，所以， 因为，所以，所以. 又向量，所以，所以. 16. 对任意锐角三角形ABC，有下列两个命题： ① 若，则； ② 恒成立； 则（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①真②真 D. ①假②假 【答案】B 【解析】 【详解】对于①，取，则，， 因为，故错误； 对于②，要证明恒成立，即证明， 因为锐角三角形ABC，所以， ，所以， 又，相加可得， 又， 所以，故正确. 所以①假②真. 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值. 由条件得cosα＝，cosβ＝. ∵ α，β为锐角， ∴ sinα＝＝，sinβ＝＝. 因此tanα＝＝7，tanβ＝＝. (1) tan(α＋β)＝＝＝－3. (2) ∵ tan2β＝＝＝， ∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1. ∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝ 18. 在△ABC中，角所对的边分别为，其中. （1）若，且，求A； （2）若，且，求△ABC的面积S△ABC. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，，得. 由正弦定理，结合，得. 又， 故. 即. 化简得. 提取公因式：. 因为是三角形内角，，所以. 两边同时除以得. 由，得. ， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，因为，，得， 即，故. 由，得，又为三角形内角，故为锐角，所以. 所以，. 由正弦定理，，，， 所以 所以 19. 某展览会有四个展馆，分别位于矩形ABCD的四个顶点处，现要选择矩形内部（不含边界）的两点，并修建图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中米，米，且. （1）将步道总长（单位：米）表示（单位：弧度）的函数； （2）现需要对步道进行装饰.经测评，装饰后的EF段每米的建造费用较高，其余4条步道建造费用较低且相等.若前者是后者的1.2倍，试确定EF的长，使得总的建造费用最少. 【答案】（1），； （2）米时，总的建造费用最少. 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，进而得； （2）设普通步道（）的费用为元/米，则段费用为元/米，总费用：，记，进而结合辅助角公式求得，再说明时，最后代入求解即可. 【小问1详解】 解：直线EF与AD，BC分别交于点M，N， 因为，则，， ，解得， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 解：设普通步道（）的费用为元/米， 则段费用为元/米，总费用：， 整理得， 记， 则，即， 所以，所以， 由辅助角公式得：， 所以，解得， 所以，下面说明可以取到， 当时，，即， 所以，其中， 所以，而， 故，故存在，使得成立， 综上，，即的最小值为， 此时，其中，即 所以总费用， 此时米. 所以，米时，总的建造费用最少 20. 已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. （1）若，求； （2）若是中点，求的值； （3）记的中点为，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知在上的投影向量为，再根据数量积的定义求解即可； （2）用，表示向量，，进而结合题意，利用求解即可； （3）设，用，表示向量，，再结合得，根据得，根据求得中边上的高为，最后结合基本不等式求解面积的最小值即可. 【小问1详解】 解：因为在边上的射影满足， 所以在上的投影向量为，且， 所以 所以，当时， 【小问2详解】 解：因为点满足， 所以， 因为是中点，所以， 所以， 因为， 所以，即，解得（负舍） 所以 【小问3详解】 解：结合（2）知，因为点在直线上， 设，则， 因为， 所以，即， 代入整理得，即 因为的中点为， 所以， 所以 因为，，在边上的射影满足， 所以，且 因为点满足 所以点到的距离为，即中边上的高为 所以面积为 记，令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即时等号成立， 所以面积为，即面积的最小值为，此时. 21. 已知R，，. （1）若，写出函数的单调区间（不用说明理由）； （2）若，试根据a的取值范围讨论函数的零点的个数； （3）若，已知函数的全体零点可排列为，若对任意正整数n都成立，求正实数u的取值范围. 【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是 （2）当时，函数没有零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数有二次函数的单调性，直接写出函数的单调区间； （2）令，得或.结合的值域，讨论a的取值范围，得函数的零点的个数； （3）记 ,记 ，再对分类讨论即可. 【小问1详解】 若，则. 函数的单调减区间是，单调增区间是. 【小问2详解】 若，则，. 令，得. 当时，，所以有两个解，此时函数共有2个零点； 当时，有唯一解，此时函数共有1个零点； 当时，无解，此时函数没有零点. 综上所述，当时，函数没有零点； 当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. 【小问3详解】 （3）记,记， 易知对称轴为，可作出函数图像如下 当时，则在内有唯一解， 所以的正根从小到大依次为 所以 条件不等式可以改写为 ,符合题意 当时,则在有两个解 所以的正根从小到大依次为 可得,符合题意. 当时，则在内有两个解 条件不等式改写为 显然， 所以， 的正根从小到大依次为 所以只能取两个值， 所以 记,其中 因为，所以， 由韦达定理可知， 左侧积化和差， 结合,有,且该范围能取遍， 所以,进而 综上可知：的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $