精品解析：江苏扬州市江都区八校联谊2025-2026学年七年级第二学期数学期中试卷

七年级数学 一、单选题（本题8小题，每题3分，共24分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则它们的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点 C. 点 D. 点 6. 若一个关于x的多项式的完全平方是，则m的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第n次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则n的值为（ ） A. 504 B. 505 C. 2021 D. 2025 二、填空题（本题10小题，每题3分，共30分） 9. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维，的直径约为．数据用科学记数法表示为________． 10. 的值等于____． 11. 已知方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为____． 12. 若是方程的一个解，则的值为____． 13. 已知，则代数式的值为_______________． 14. 把方程写成用含有y的代数式表示x的形式，得____． 15. 如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于_____． 16. 如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是______． 17. 定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的结论有___．（填序号） 18. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． 则展开式中所有项的系数和是____． 三、解答题（本题10小题，共96分） 19. 计算： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 22. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．将平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F． （1）在图中请画出平移后得到的； （2）在图中画出的边上的高； （3）若连接，则这两条线段之间的关系是　 　； （4）的面积为　 　． 23. 如图，在中，，点D是边BC上的一点，连接AD，，将沿AD折叠得到，AE与BC交于点F． （1）求的度数； （2）若，试证明：． 24. 老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出：的最小值为______． （2）求出代数式的最小值． （3）比较代数式和的大小． 25. 如图1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．图2是货车盲区的部分分布图，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． （1）用含a，b的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）． （2）若，，求图中盲区的总面积． 26. 如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： （1）如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． （2）如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 27. 如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________ （2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，则的值为___________； ②已知，求的值； （3）两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和． 28. 把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： （1）如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转 °，使得与重合； （2）如图2，如果把图1所示的 以O为中心顺时针旋转得到，当 为多少度时，射线平分； （3）如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，如果把 以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时， 两条斜边？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 一、单选题（本题8小题，每题3分，共24分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、积的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此选项计算正确，符合题意； B、与不是同类项，不可合并，则此选项计算错误，不符合题意； C、，则此选项计算错误，不符合题意； D、，则此选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的结构特征，平方差公式为，只有两个二项式相乘，存在一项相同，另一项互为相反数时，才能用平方差公式计算，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； B选项，两个因式中各项均互为相反数，不存在相同项，故不能用平方差公式计算，符合题意； C选项 ，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； D选项，相同项为，相反项为和，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 4. 若，则它们的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 又 ． 5. 如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，作两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为旋转中心，即可得． 【详解】解：如图所示，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B即为旋转中心， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 6. 若一个关于x的多项式的完全平方是，则m的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，把握公式有和差两种情形计算即可． 【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故选：C． 7. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第n次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则n的值为（ ） A. 504 B. 505 C. 2021 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了代数式，图形的变化规律，以及一元一次方程，根据图形变化规律得出长度的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，再找出长度的规律，然后根据所求得出数字变化规律，再根据规律列出方程求解n的值． 【详解】解：∵，第1次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时，， 第2次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时， 以此类推，第n次平移后，． ∵的长度为2025， ∴， 解得：， 故选：B． 二、填空题（本题10小题，每题3分，共30分） 9. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维，的直径约为．数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键． 10. 的值等于____． 【答案】1 【解析】 【详解】解： 11. 已知方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，可知含未知数的项的次数为，且含未知数的项的系数不为，据此求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ， 解得， ． 12. 若是方程的一个解，则的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将方程的解代入原方程得到与的关系式，再将所求代数式变形后，整体代入求值． 【详解】解：将代入方程得：， 整理得 ， ∴． 13. 已知，则代数式的值为_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．根据平方差公式，把原式化为，然后用整体代入法即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 14. 把方程写成用含有y的代数式表示x的形式，得____． 【答案】 【解析】 【详解】解： 方程两边同时除以，得. 15. 如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质推出AC=AB，∠CAB=60°，根据旋转的性质得出△CQA≌△BPA，推出AQ=AP，∠CAQ=∠BAP，求出∠PAQ=60°，得出△APQ是等边三角形，即可求出答案． 【详解】解：如图： ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠CAB＝60°， ∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC， ∴△CQA≌△BPA， ∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP， ∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAQ＝60°， 即∠PAQ＝60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴QP＝PA＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△APQ是等边三角形，注意“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于60°． 16. 如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分线性质可得，所以，则当三点共线时有最小值，为长，即最小值为长，从而求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时有最小值，为，即最小为， ∴周长的最小值． 17. 定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的结论有___．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①运用新定义的运算将等式左边展开计算即可判断；②运用新定义的运算将的左侧展开得关于x的一元一次方程，解方程后即可判断；③将展开并利用完全平方公式得，再将代入计算即可判断；④由得，即可判断． 【详解】解：①，故结论①正确； ②，解得，故结论②正确； ③ ， ∵， ∴，故结论③正确； ④，则或，故结论④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③． 18. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． 则展开式中所有项的系数和是____． 【答案】64 【解析】 【分析】找出规律展开式所有项的系数和为，即可解答． 【详解】解：观察已知展开式的系数和：系数和：， 系数和：， 系数和：， 系数和：， 可得规律：展开式所有项的系数和为， ∴展开式中所有项的系数和为． 三、解答题（本题10小题，共96分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键． （1）根据乘方和零指数幂、负整数指数幂分别进行计算即可得出答案； （2）根据幂的乘方和同底数幂的乘法分别进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据完全平方公式进行化简，去括号，然后合并同类项，最后将和的值代入即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式 21. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）16；（2）48 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法逆用，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． （2）因为， 所以． 22. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．将平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F． （1）在图中请画出平移后得到的； （2）在图中画出的边上的高； （3）若连接，则这两条线段之间的关系是　 　； （4）的面积为　 　． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3）平行且相等 （4） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）根据三角形高的概念和网格的特点求解即可； （3）根据网格的特点，平移的性质和平行的概念求解即可； （4）用长方形的面积减去3个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示， ∵平移后得到的 ∴若连接，， ∴这两条线段之间的关系是平行且相等； 【小问4详解】 如图所示， 的面积． 【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的高，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积． 23. 如图，在中，，点D是边BC上的一点，连接AD，，将沿AD折叠得到，AE与BC交于点F． （1）求的度数； （2）若，试证明：． 【答案】（1） （2） 证明：由图形折叠的特征可得：． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出∠BAD=∠DAE=30°，由三角形外角的性质可得出答案； （2）由折叠的性质得出∠B=∠E=45°，证出∠E=∠EAC，则可得出结论． 【小问1详解】 解：由折叠图形的特征可得：． ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 24. 老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出：的最小值为______． （2）求出代数式的最小值． （3）比较代数式和的大小． 【答案】（1） （2）代数式的最小值是5； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）求差，再按照题中的方法求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是5； 【小问3详解】 解：∵ ， ∵， ∴， ∴． 25. 如图1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．图2是货车盲区的部分分布图，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． （1）用含a，b的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）． （2）若，，求图中盲区的总面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算与图形面积，利用完全平方公式的变形求解图形面积，熟记完全平方公式的变形是解本题的关键． （1）盲区面积等于梯形面积加上正方形面积加上两个直角三角形的面积，据此列式计算即可； （2）由，，可得，再整体代入法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，盲区的总面积为： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 26. 如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： （1）如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． （2）如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）如图①，则直线l即为所求； （2）如图②，的平分线所在的直线m即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键． （1）由点B关于l的对称点为P，可得直线l为线段的垂直平分线，即可作图； （2）点P关于m的对称点落在上，可得直线m为的平分线所在的直线，即可作图． 【小问1详解】 解：连接，作线段的垂直平分线l． 【小问2详解】 略 27. 如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________ （2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，则的值为___________； ②已知，求的值； （3）两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1） （2），13 （3）8 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，即可作答． （2）①直接把数值代入进行计算，即可作答． ②根据，然后代入数值化简计算，即可作答． （3）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积 则； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①与（1）同理得， ∵， ∴， ∴ ∴； ②∵ ∴ ， 故答案为：，13； 【小问3详解】 解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 28. 把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： （1）如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转 °，使得与重合； （2）如图2，如果把图1所示的 以O为中心顺时针旋转得到，当 为多少度时，射线平分； （3）如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，如果把 以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时， 两条斜边？ 【答案】（1） （2） （3）旋转的角度为或 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可； （2）利用旋转的性质，角平分线的性质及角度之间的关系计算即可； （3）在旋转的过程中找出时，的位置，分情况讨论，再利用角度之间的关系计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角板的性质可知： ∵，， ∴， ∴至少旋转，与重合． 故答案为：75 【小问2详解】 解：∵以O为中心顺时针旋转得到， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：当与相交于点E时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当与相交于点F时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转的角度， 综上所述：旋转的角度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $