精品解析：江苏省扬州市江都区第三中学2024-2025学年下学期七年级期中测试数学卷

江都区第三中学2024-2025学年第二学期七年级数学期中检测 满分：150分；考试时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确是（　　） A. x2+x2＝2x4 B. （x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2 C. a3（﹣a）4＝a7 D. （﹣2x2）4＝16x6 3. 下列各式能用平方差公式计算是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A 点M B. 格点N C. 格点P D. 格点Q 5. 若，则的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 6. 已知，，则值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 《九章算术》中有问题大意如下：现多人共同买东西，若每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则不足4元，问人数，物价各是多少？设共有x人，物价y元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或4 D. 3或15 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 某桑蚕丝的直径约为0.000016，将“0.000016米”用科学记数法可表示为______米． 10. 已知是关于，二元一次方程，则的值是________． 11. 若实数m,n满足，则=_______． 12. 一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为______千米/小时． 13. 若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 14. 若是一个完全平方式，则_________． 15. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为________． 16. 如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是_______． 17. 如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是______． 18. 如图，在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），P，Q分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数为________． 19. 计算： （1） （2） 20. 计算： （1） （2）解方程组： 21. 将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值； （2）若，求x的值． 22. （1）化简：； （2）设，是否存在实数m，使得能化简为，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由． 23. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，位置如图所示．现将平移，使的中点平移到点，点、、的对应点分别是点、、． （1）请画出平移后的； （2）连接、，这两条线段之间的关系是__________； （3）点为方格纸上的格点，若，则图中的格点共有________个． 24. 甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． （1）求m，n的值； （2）求原方程组的解． 25. 如图将一条两边互相平行的长方形纸片沿着折叠． （1）如图①，若交于点， ①当，求的度数； ②过点作，交线段于点，判断是否平分，并说明理由； （2）如图②，将长方形纸带沿折叠，再沿折叠成图②，使和边重合，若，则图②中 （直接写出答案）． 26. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． （1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 27. 在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值； （4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 28. 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． （1）解方程组． （2）解方程组 （3）已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江都区第三中学2024-2025学年第二学期七年级数学期中检测 满分：150分；考试时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，不是中心对称，是轴对称图形，不合题意； B，不是中心对称，是轴对称图形，不合题意； C，不是中心对称，是轴对称图形，不合题意； D，既是中心对称，又是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确是（　　） A. x2+x2＝2x4 B. （x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2 C. a3（﹣a）4＝a7 D. （﹣2x2）4＝16x6 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，掌握计算方法是正确计算的前提． 【详解】解：x2+x2＝2x2，因此选项A不正确； （x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2，因此选项B不正确； a3（﹣a）4＝a3•a4＝a7，因此选项C正确； （﹣2x2）4＝16x8，因此选项D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查整式乘法的平方差公式、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，解题关键是熟练掌握以上运算的运算法则． 3. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式．根据平方差公式为逐项判断即可． 【详解】解：A．不符合平方差公式，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B．原式，符合平方差公式，故本选项符合题意； C．，不符合平方差公式，故本选项不符合题意； D．原式，不符合平方差公式，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A. 点M B. 格点N C. 格点P D. 格点Q 【答案】B 【解析】 【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 5. 若，则的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将所给等式的左边展开，然后与等式右边比较，可得含有m和n的等式，变形即可得答案． 【详解】∵(x+2)(2x−n)=2x2+mx+2 而(x+2)(2x−n)=2x2-nx+4x-2n ∴2x2-nx+4x-2n=2x2+mx+2 ∴-2n=2，-n+4=m， 解得m=5，n=-1 ∴m−n =5-(-1)=6； 故选:A. 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，明确多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 《九章算术》中有问题大意如下：现多人共同买东西，若每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则不足4元，问人数，物价各是多少？设共有x人，物价y元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据题意可得等量关系：人数物品价值；人数物品价值，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设有x人，物品价值y元， 由题意得：； 故选：D． 8. 已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或4 D. 3或15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 某桑蚕丝的直径约为0.000016，将“0.000016米”用科学记数法可表示为______米． 【答案】1.6×10-5 【解析】 【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000016米=1.6×10-5． 故答案为1.6×10-5． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10. 已知是关于，的二元一次方程，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到，，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 解得：， 故答案为：． 11. 若实数m,n满足，则=_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可以求得m、n的值，从而可以求得的值． 【详解】∵， ∴m-2=0，n-2019=0， 解得，m=2，n=2019， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查非负数的性质、负指数幂和零指数幂，解答本题的关键是明确题意，利用非负数的性质求出m和n的值． 12. 一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，该轮船在静水中的速度为______千米/小时． 【答案】12 【解析】 【分析】设船的速度为，水流的速度为，根据题意列方程即可． 【详解】解：设船的速度为，水流的速度为， 由题意可知：逆流航行的时间为10小时，则 ，解得 船在静水中的速度为12千米/小时 故答案为12． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 13. 若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的两个方程相减得到，进而可得，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若是一个完全平方式，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式．根据完全平方公式：，进行计算即可得． 【详解】解：∵是一个完全平方公式， ∴， ∴， 解得：或； 故答案为：或． 15. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的尺规作图的理解、垂直平分线的性质定理、角平分线的定义、等边对等角、三角形的内角和定理，根据尺规作图的痕迹得出直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，根据“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，得出，根据等边对等角，得出，根据“三角形的内角和为”，计算，根据计算，根据角平分线的定义，计算得出答案即可，熟练掌握垂直平分线的性质定理、三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：由作图得：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是______． 【答案】560 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为x、y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解之得， ∴小长方形的长、宽分别为， ∴， ∴大长方形的面积， 18. 如图，在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），P，Q分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出图形是解题的关键．作D关于的对称点E，作D关于的对称点F，连接交于P，交于Q，则此时的周长最小，根据三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作D关于的对称点E，作D关于的对称点F，连接交于P，交于Q， 则此时的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，同底数的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减； （2）首先计算同底数的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，然后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算： （1） （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，解二元一次方程组． （1）先利用积的乘方公式和平方差公式将原式变形，再利用完全平方公式展开即可． （2）先将方程组变形，再利用加减消元法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 将方程组变形为： 由①②得： 解得： 把代入①式得：， 解得： 则方程组的解为：． 21. 将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）逆用幂的乘方法则、逆用同底数幂的除法法则，，再代入即可； （）把原式化为为底数的幂，再利用同底数幂的乘法，最后根据幂相等且底数相等，则指数相等，即可求解； 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查了幂的乘方法则正用与逆用、同底数幂的除法法则的逆用、同底数幂的乘法，掌握这些法则是解题的关键． 22. （1）化简：； （2）设，是否存在实数m，使得能化简为，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）能， 【解析】 【分析】本题考查运用含乘法公式的整式的混合运算，求一个数的平方根，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘单项式进行计算，再合并同类项即可； （2）结合（1）的结论得出即可求解． 【详解】解：（1）原式； （2）存在， ，， ∴， ∴ ， ． 23. 在正方形网格中，每个小正方形边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，位置如图所示．现将平移，使的中点平移到点，点、、的对应点分别是点、、． （1）请画出平移后的； （2）连接、，这两条线段之间的关系是__________； （3）点为方格纸上的格点，若，则图中的格点共有________个． 【答案】（1）见详解 （2）平行且相等 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及割补法 的面积 （1）由使的中点平移到点，得出平移方式为：先向右移2格，再向上移1格，据此做出点A和点B和点C的对应点，再顺次连接即可． （2）根据平移变换的性质． （3） 过点D作直线，直线l与格点交点即为所求． 【小问1详解】 如图所示，即为所求． 【小问2详解】 若连接、，这两条线段的关系是平行且相等． 【小问3详解】 如图，点，即为所求． 24. 甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． （1）求m，n的值； （2）求原方程组的解． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值； （2）把m与n的值代入方程组求解即可得到答案． 本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键． 【小问1详解】 解：把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ，； 【小问2详解】 解：把，代入方程组得：， 则方程组的解为． 25. 如图将一条两边互相平行的长方形纸片沿着折叠． （1）如图①，若交于点， ①当，求的度数； ②过点作，交线段于点，判断是否平分，并说明理由； （2）如图②，将长方形纸带沿折叠，再沿折叠成图②，使和边重合，若，则图②中 （直接写出答案）． 【答案】（1）①；②是，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①依据题意，由折叠，，又，从而，进而的解；②依据题意，由，可得，，再根据，得，再由折叠的性质得到，进而可以判断得解． （2）由折叠性质得到，由平角定义得出，再由平行线的性质即可得解． 本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义． 【小问1详解】 ① ∵， ∴ ∵将一条两边互相平行的长方形纸片沿着折叠， ∴ ∴ ∵， ∴． ②∵， ∴，， ∵ ∴ ∵将一条两边互相平行的长方形纸片沿着折叠， ∴ ∴， ∴平分． 【小问2详解】 ∵将一条两边互相平行的长方形纸片沿着折叠， ∴， ∴， ∵， ∴． 26. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． （1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； （3）购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； 【小问2详解】 解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； 【小问3详解】 解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 27. 在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值； （4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）10；（4）2 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）由（1）（2）结论可知：，即，求解即可； （4）根据，，周长为2，可得：，因此，即，根据，，可知长方形的面积为：． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积， ， ， ； （3）在直角中，，三边分别为、、， 由（1）（2）结论可知：， ，， ， ； （4），，周长为2， ， 在中，， ， ， ， ， ，，， ，， 长方形的面积为：． 28. 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． （1）解方程组． （2）解方程组 （3）已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； 【小问3详解】 将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$