精品解析：湖北恩施州高中教学联盟2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

高一年级期中考试数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与角的终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，与的夹角为，则（     ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若与平行，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点和是图象的两个相邻的对称中心，如图，过原点的直线与的图象在第一象限的一对相邻的交点分别为（其中在的左侧），过点分别作x轴的垂线，垂足分别为，若，且的面积是的面积的9倍，则（ ） A. B. C. 点B的坐标 D. 点A的坐标为 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则的最小值为6 B. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 C. 在中，若，则为钝角三角形 D. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在单调递减 B. 函数图象关于中心对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 11. 如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（ ） A. 当是线段的中点时， B. 当时， C. 当为定值时，点的轨迹是一条线段 D. 的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______． 13. 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点到水面的距离为（在水面下，则为负数），则米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当点从水面上浮现时开始计算时间，则米)关于时间（秒）的函数解析式为________． 14. 已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）若，且，求的值； （2）若，且，求的坐标. 16. 设函数. （1）列表并画出，的图象； （2）求函数在区间上的值域. 17. 已知点，，为坐标原点，函数 （1）求的解析式及最小正周期 （2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积 18. 在中，为的中点，在边上，交于，且，设． （1）用表示； （2），求； （3）若在上，且设，若，求的范围． 19. 已知单位圆与轴正半轴分别交于两点，过线段上一点作轴的垂线交单位圆于点（在第一象限），延长至点，使得为的中点，连接.设. （1）若，求； （2）求取得最大值时的值； （3）若，设的面积为，线段与劣弧围成的图形面积是，记，用定义证明的单调性并求的值域. 可用公式：时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级期中考试数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与角的终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，则与角的终边相同的最小正角是. 2. 已知，与的夹角为，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的夹角坐标公式求解即可. 【详解】因为，,所以，， 因为与的夹角为，所以. 3. 已知向量，，，若与平行，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 则 又因为与平行， 所以， 化简：，即， 解得：. 4. 角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角正余弦函数值的定义求出正余弦值，代入计算即可. 【详解】因为角终边过点，所以， . 所以. 故选：A. 5. 已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合区间内对称轴的个数，得出有关的不等式，进而求出的取值范围. 【详解】解：由正弦函数的对称轴为，函数，令， 解得对称轴方程为，则， 化简得，因为为整数且，要在区间内有且仅有条对称轴， 则整数的取值为，共个，因此必须满足，解得. 6. 已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算法则及定义，两边平方后化简即可得解, 【详解】因为，所以， 即， 又因为向量均为单位向量，且向量夹角为， 所以，即. 7. 已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求得角，然后利用三角形面积公式和正弦定理，将面积表示为的正弦型函数，根据三角函数的图象性质即可求解． 【详解】由，和余弦定理，可得， ，所以， 又由正弦定理，可得，则， 所以的面积 ， 因为为锐角三角形， 由解得，则，， 故. 8. 已知点和是图象的两个相邻的对称中心，如图，过原点的直线与的图象在第一象限的一对相邻的交点分别为（其中在的左侧），过点分别作x轴的垂线，垂足分别为，若，且的面积是的面积的9倍，则（ ） A. B. C. 点B的坐标 D. 点A的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出；因为的面积是的面积的9倍，可得，，，代入到中求解即可. 【详解】由题意得，所以，故B错误； 则. 因为的面积是的面积的9倍， 所以，解得， 所以，，， 所以，即， 化简得， 令，则，所以， 化简得，解得， 又，所以，即，所以.故A错误； 所以，所以. 所以点的坐标为，故D正确； 又，所以点的坐标为，故C错误. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则的最小值为6 B. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 C. 在中，若，则为钝角三角形 D. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算律即可判断A；根据向量夹角的求解即可判断BC；根据投影向量的计算即可判断D. 【详解】A，因为， 当，反向共线时等号成立，故A正确； B：，由与的夹角为锐角得，， 所以，则. 当与共线且同向时，，解得， 所以的取值范围是，B不正确； C，由可知的外角为钝角，所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故C错误； D：在上的投影向量的坐标为： ，故D正确. 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在单调递减 B. 函数图象关于中心对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB的正误，利用图像变换可判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误. 【详解】由图象可得，且，故即， 而，故， 因为，故，故， 对于A，当，， 而在上为减函数，故在为减函数，故A正确. 对于B，，故为函数图象的对称轴，故B错误. 对于C，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C正确. 对于D，当时，， 因为函数的值域为，故， 故，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（ ） A. 当是线段的中点时， B. 当时， C. 当为定值时，点的轨迹是一条线段 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A，当是线段的中点时，， 所以，所以A正确. 对于B，当时，取线段，线段的中点，分别记为，则平行于. 延长与直线交于点，则，. 所以，所以，所以点的轨迹为线段. 当点与重合时，. 当点与重合时，. 所以.所以B不正确. 对于C，当为定值2时，. 令，可得三点共线. 分别取线段的中点，记为，所以，即. 连接交于点，则. 所以点的轨迹是线段，所以C正确. 对于D，由于平行四边形在的左上方，且三点共线，所以. 所以，所以，即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理建立等量关系，从而求出的值. 【详解】由向量共线，根据平面向量共线定理可得， 化简得：， 所以，解得， 因此. 13. 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点到水面的距离为（在水面下，则为负数），则米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当点从水面上浮现时开始计算时间，则米)关于时间（秒）的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的最大值和最小值求出，再根据每分钟转4圈求出周期，从而可求得和. 【详解】由图可知的最大值为15，最小值为， 所以，解得， 因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15， 所以，得， 当时，，即，则， 因为，则， 所以. 14. 已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合取整函数的定义，分类讨论可得到的取值范围，根据向量模长公式将转化为关于和的表达式，再结合之前得到的取值范围求解该表达式的范围. 【详解】因为， 所以 ， 当时，，显然不成立； 当时，，显然成立， 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 所以，，， ， ， 因为， 所以. 所以的取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）若，且，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算可得，再结合题意建立关于的方程并求解； （2）根据向量共线设，再结合向量的模的坐标运算求解即可. 【小问1详解】 已知，解得，. 由，代入坐标得：， 则，解得：； 【小问2详解】 设（为实数）， 由，可得： 解得，即或， 所以或. 16. 设函数. （1）列表并画出，的图象； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据五点作图法画出图象. （2）化简的解析式，根据三角函数值域的求法求得正确答案. 【小问1详解】 列表： 0 x 1 4 7 10 y 0 2 0 0 作图： 【小问2详解】 由已知 ， 由已知， ∴， ∴， ∴函数在区间上的值域是. 17. 已知点，，为坐标原点，函数 （1）求的解析式及最小正周期 （2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积 【答案】（1），最小正周期为 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果； （2）由，结合的范围可求得或；当时，根据余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，根据正弦定理可求得，结合两角和差正弦公式和三角形面积公式可求得. 【小问1详解】 ，， ， 则的最小正周期. 【小问2详解】 ，， ，，则或， 或； 当时，，， ，，，， 又为的角平分线，，， ，， ； 当时，，，， 为的角平分线，， 在中，由正弦定理得：， ，在中，由正弦定理得：， ， . 综上所述：的面积为或. 18. 在中，为的中点，在边上，交于，且，设． （1）用表示； （2），求； （3）若在上，且设，若，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案； （2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案. （3）设，结合及（1）可得，即可得答案. 【小问1详解】 因P,R,C共线，则存在使， 则，整理得. 由共线，则存在使， 则，整理得. 根据平面向量基本定理，有， 则. 【小问2详解】 由（1），，， 则，，. 则， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，则. 由共线，设. 又. 则 . 因，则，则， 所以. 19. 已知单位圆与轴正半轴分别交于两点，过线段上一点作轴的垂线交单位圆于点（在第一象限），延长至点，使得为的中点，连接.设. （1）若，求； （2）求取得最大值时的值； （3）若，设的面积为，线段与劣弧围成的图形面积是，记，用定义证明的单调性并求的值域. 可用公式：时，. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意结合二倍角公式求解即可； （2）根据题意，先表示出，令，则，可得，进而根据二次函数的性质求解即可； （3）根据题意，先表示出，利用函数的单调性的定义证明在上单调递增，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，在中，易知， 由可得. 【小问2详解】 在中，，由为的中点， 可得， 在中，， 所以， 令，则， 所以， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，此时， 因此可得. 【小问3详解】 梯形的面积为，扇形的面积为， 所以， 所以， 先证当时，，由的面积小于扇形的面积，即，所以， ，且， ， 因为，所以， 所以 ，则， 所以在上单调递增，又， 所以的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $