精品解析：湖北武汉市华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高二下学期数学独立作业9 (2026.3.22)

2024级高二数学独立作业9（2026.3.22） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 在处取得极小值 3. 已知函数与的图象在处的切线重合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ） A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克 6. 已知函数有极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的增函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，其中，若存在两条不同的直线同时与曲线和相切，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 当时，函数有极大值 D. 当时，函数有极大值 10. 已知函数，是的极大值点，则（ ） A. 或 B. 的图像在点处的切线方程为 C. 若方程有一个解，则 D. 若方程有三个解，且这三个解从小到大依次成等差数列，则 11. （多选题）若，是函数图象上的任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. 的最小值为e D. 的最大值为e 12. 已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 13. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.若函数，取作为的初始近似值，则的2次近似值为______. 14. 若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 15. 已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性． 17. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 19. 已知函数，若函数在处取得极值， （1）求的值； （2）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数，. （1）若存在正数，使得，求实数的取值范围； （2）设在处的切线方程为. ①求的解析式； ②当时，恒成立，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二数学独立作业9（2026.3.22） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解. 【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得， 因此，. 故选：C. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 在处取得极小值 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减，故选项A错误； 选项B，当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极大值，故选项B错误； 选项C，当时，， 则在上单调递减，故选项C正确； 选项D，时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极小值，故选项D错误. 3. 已知函数与的图象在处的切线重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合题意列方程求解即可. 【详解】，. 由题意知，即，解得. 所以. 4. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而判断函数值的正负，即可排除BD，通过函数的单调性排除C，推出结果即可. 【详解】令，则， 由得，即函数在上单调递增， 由得，即函数在上单调递减， 所以当时，， 由此知的定义域为， 于是对任意，有，则，故排除BD， 因为函数在单调递减，则函数在递增，故排除C， 则可知A中图象符合题意. 5. 放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ） A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克 【答案】C 【解析】 【分析】求导，由求得，再计算即可． 【详解】求导得：， 因为， 所以，所以 所以， 故选：C 6. 已知函数有极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设得有变号零点，再等价转化为有两个不同的实数根即可求解. 【详解】由题可得有变号零点， 有两个不同的实数根， 所以或. 所以满足题意的a的取值范围是. 故选：C 7. 已知函数是上的增函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数大于等于零建立不等关系，分类讨论参数的范围进行确定. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以恒成立， 不等式化为， 若时，， 则时，，不符合题意； 当时，令， 得，或， 若，即时， 不等式的解为或者， 不符合题意； 当，即时， 不等式恒成立，符合题意； 若，即时， 不等式的解为或者， 不符合题意. 综上知，. 故选： 8. 已知函数，，其中，若存在两条不同的直线同时与曲线和相切，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，将该切线方程与函数的解析式联立，可得出关于的二次方程有两个不等的实根，由可得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】在曲线上取点，， 故曲线在点处的切线方程为， 联立可得， 因为存在两条不同的直线同时与曲线和相切， 则关于的二次方程有两个不等的实根， 所以，可得， 所以关于的方程有两个不等的实根， 显然不满足方程，故，所以， 令，其中，则，列表如下： 减 减 极小值 增 且当时，；当时，，如下图所示： 由图可知，当时，即时，直线与函数的图象有两个交点， 故实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 当时，函数有极大值 D. 当时，函数有极大值 【答案】ABD 【解析】 【详解】从图象可以看出过点的为的图象，过点的为导函数的图象， 若函数，则， 当时，，即，故， 所以在上单调递增，所以A正确； 当时，，即，故， 所以在上单调递减，所以B正确； 当时，，即， 故，所以在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，C错误； 当时，，故，在上单调递增， 所以当时，函数有极大值，D正确. 10. 已知函数，是的极大值点，则（ ） A. 或 B. 的图像在点处的切线方程为 C. 若方程有一个解，则 D. 若方程有三个解，且这三个解从小到大依次成等差数列，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据极值点的性质求出的值，再根据导数的几何意义求切线方程，接着分析函数的单调性和极值，最后根据函数的极值判断方程解的情况 【详解】求导得， 由题意得，解得或， 当，，在附近，的值左正右负， 故是的极大值点， 当，， 在附近，的值左负右正，故是的极小值点， 得，故A错误； 由得，， ， 点处的切线斜率， 所以切线方程为，即，B正确； 令，得或， 当时，，所以函数单调递增， 当时，，所以函数递减， 当时，，所以函数递增. 所以的极大值为 ， 的极小值为 . 为三次函数，要使只有一个解，只需的极小值或的极大值. 所以或，故C正确； 设方程的三个解从小到大依次为，因为三个解成等差数列，所以，又三次函数的对称中心为 这里 ，所以关于点对称，因此，则 ，故D正确. 故选：BCD 11. （多选题）若，是函数图象上的任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. 的最小值为e D. 的最大值为e 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，可知在点和点处的切线的斜率之积为，根据两点在函数的图象的三种不同位置进行讨论，确定，且，然后根据各选项的要求，利用求导判断函数的单调性和极值情况即可逐一判断. 【详解】由题， 因为在点和点处的切线互相垂直，由导数的几何意义可知，在点和点处的切线的斜率之积为． ①当时，满足，即，因为，所以方程无解， 即不存在，使得在点和点处的切线互相垂直； ②当时，满足，即； ③当时，满足，即，此方程无解，所以不成立． 综上可知，当时，，因为，则，所以，故A错误，B正确． 对于C，可知，令，则， 当时，，在上单调递减． 故在处取得极小值，即最小值为，故C正确． 对于D，可知，令，则， 则在上单调递增．故当时，最大值为，所以D正确． 故选：BCD． 12. 已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由推出，结合奇函数性质得，即的周期为2，然后分析选项，对A，利用周期和，可证，对B，由是奇函数，两边求导得，即，对C，周期为2，结合周期 ，其值不一定为0，对D,由周期可验证 . 【详解】由，则，又函数是奇函数， 则，，因此可得，，即函数的周期为2， 由，令，则， 所以 ，故A正确； 由函数是奇函数，则，两边求导，得， 又是的导函数，则，故B正确； 由，则，即， 由，得为的对称轴，即， 两边求导得：. 令，得 ，即 .故D正确； 而，由，， 得，则为的对称轴，的值不一定为0，故C不正确 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 13. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.若函数，取作为的初始近似值，则的2次近似值为______. 【答案】 【解析】 【详解】由得，，又，得， ∴在处的切线的方程为：，令，得到； 所以，得到，所以， ∴在处的切线的方程为：， 令，得到，故的2次近似值为. 14. 若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】问题即在有解，可分离参数转化为最值问题求解. 【详解】函数的定义域为， ，因为存在单调递减区间， 所以在有解，即在有解， 令，则， 因为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性区间，结合极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数， 可得， （1）当时，，在上单调递增，在上单调递减， 所以为的极大值点，不合题意： （2）当时，令，则或， ①当时，即时，在和上单调递增， 在上单调递减，所以为的极大值点，不合题意； ②当时，即时，，所以在上单调递增，不合题意： ③当时，即时，在和上单调递增， 在上单调递减，故为的极小值点，适合题意， 综上可得，，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性． 【答案】（1）； （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】 （1）根据导数的几何意义得到，进而得到切线方程； （2）对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性. 【详解】（1）当时，，，又，， 所以曲线在处的切线方程为． （2）（）， ①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在和上单调递减，在上单调递增； ③当时，在上单调递减； ④当时，在和上单调递减，在上单调递增． 【点睛】本题考查的是导数的几何意义，切线方程的求法；考查了导数在研究函数的单调性中的应用；一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图象法，通过图象得到函数的单调区间；通过研究函数的导函数的正负得到单调性． 17. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的取值范围为 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导，再由是函数的一个极值点即求解；（2）由（2）确定，再由和求得单调区间；（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有个交点则须有求解． 试题解析：（1）因为， 所以，因此 （2）由（1）知， ， ． 当时，， 当时，， 所以的单调增区间是， 的单调减区间是 （3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时， 所以的极大值为，极小值为， 当时， 所以在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当， 因此，的取值范围为 考点：（1）函数在某点取得极值的条件；（2）利用导数研究函数的单调性. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】 （1）a≥0，f（x）在（0，+）单调递增. a＜0，f（x）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为. 所以等价于，即. 设g（x）=lnx-x+1，则. 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即. 【解析】 【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】（1） 的定义域为（0，+），. 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增. 若a＜0，则当时，时；当x∈时，. 故f（x）在单调递增，在单调递减. （2）略 【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 19. 已知函数，若函数在处取得极值， （1）求的值； （2）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对求导，因为函数在处取得极值，所以必有 （2）把第（1）问求出的代回，再将条件化成关于的不等式，只需求出函数在上的最小值即可. 【小问1详解】 ∵函数在处取得极值，∴， ∵，∴， ∴，， ∴，∴， 令，解得：或， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， ∴函数在处取得极小值，∴函数在处取得极值时. 【小问2详解】 由（1）得， ∵，且，在恒成立， ∴，即， ，整理得：， 即， 令，∴， ∴，∴， 化简得： ， 令，则， ∵时，，∴在单调递增， ∴， ∴当时，，∴解得：， 当，，单调递减， 当，，单调递增， ∴是极小值点，也是最小值点，， ∴， ∴实数的取值范围是. 20. 已知函数，. （1）若存在正数，使得，求实数的取值范围； （2）设在处的切线方程为. ①求的解析式； ②当时，恒成立，求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出，求出，分别对和求出，即可得到满足题意的的取值范围. （2）①求出，，，利用导数的几何意义求出在处的切线的斜率，切点为，利用点斜式得到在处的切线方程； ②构造，求出，由题意可得，求出的范围，分别按照，，，讨论求解. 【小问1详解】 ，，解得，故的定义域为， ， 当时，即时且时，恒成立， 则在上为增函数. ∴对一切正数，恒成立，舍去. 当时，即时且时，， 则在上为减函数. ∴对一切正数，，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 ①，， ，， 则在处的切线的斜率为，切点为， 则在处的切线方程为； ②设，， ， 由题意，当时，恒成立， 则，解得， 当时，即时，当时，， 在上是单调递增函数，则，此时，，矛盾. 当时，即时，当时，， 在上是单调递增函数，则， 此时，，矛盾. 当时，即时，， 在上是单调递减函数， 则当时，，恒成立， 当时，，恒成立，故满足题意； 当时，又，即时， 当时，，在上是单调递增函数， 则， 此时，，矛盾. 综上可得，的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $