第八章 实数 单元测试 2025-2026学年人教版七年级下册数学

第八章 实数 单元同步精练与测试 一、选择题 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 2． 下列说法： ①有理数与无理数之和是有理数；②有理数与无理数之和是无理数；③无理数与无理数之和是无理数；④无理数与无理数之积是无理数，其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 4．在实数0.3，0，，，，，，0.123456…中，其中无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．若 ， ，则 （　　） A． 8 B．±8 C．±2 D．±8或±2 6．若，则实数m所在范围是（　　） A． B． C． D． 7．无理数在数轴上位置的描述，正确的是（　　） A．在点的左边 B．在点的右边 C．和原点的距离小于3 D．和原点的距离大于3 8．设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（　　） A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在实数，使 9．下列说法正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．有最小的正整数，没有最小的整数 C．a，b，c 是直线，若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c D．内错角相等 10．下列四个式子： ① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5． 其中大小关系正确的式子的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．请写出一个大于且小于3的无理数　 　． 12．若一个正数的平方根分别为 和，则 a 的值是　 　． 13．的平方根是　 　． 14．1-的相反数是　 　. 15．实数－的立方根是　 　 16．绝对值小于 的所有整数是　 　． 三、综合题 17．已知一个正数x的两个平方根分别是和. （1）求a和x的值． （2）求的立方根． 18．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： （1）、的值； （2）的平方根． 19．已知4a-11的平方根是，3a+b-1的算术平方根是1，c是的整数部分. （1）求a，b，c的值； （2）求2a-b+c的立方根. 20．解方程 （1）； （2） 21．列方程解应用题 小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3:2，纸片面积为294cm2. （1）请你帮小明求出纸片的周长； （2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由.（π取3.14） 22．请根据如图所示的对话内容回答下列问题． （1）求该魔方的棱长； （2）求该长方体纸盒的表面积． 23．数轴上有A、B两点，A点表示的数为x，且，B点表示的数为的立方根． （1）求x的值，B点表示的数． （2）求AB间的距离． 24．已知正实数x的平方根是a和a＋b. （1）当b＝6时，求a； （2）若a2x＋(a＋b)2x＝6，求x的值. 25．定义：若，则称a与b是关于整数n的“平衡数”，比如3与是关于－1的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”． （1）填空：与8是关于　 　的“平衡数”． （2）现有与（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，求n的值． 答案 一、选择题 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，A不符合题意； B、=2是分数，属于有理数，B不符合题意； C、=-3是整数，属于有理数，C不符合题意； D、是无理数，D不符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据有理数、无理数的定义及无理数的常见形式进行求解即可. 2． 下列说法： ①有理数与无理数之和是有理数；②有理数与无理数之和是无理数；③无理数与无理数之和是无理数；④无理数与无理数之积是无理数，其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】【解答】解：①有理数与无理数之和是无理数，则本项说法错误； ②有理数与无理数之和是无理数，则本项说法正确； ③无理数与无理数之和可能为有理数，则本项说法错误； ④无理数与无理数之积是可能是有理数，则本项说法错误， 综上所述，说法正确的有②，共1个. 故答案为：A. 【分析】根据无理数和有理数的定义逐个分析即可求解. 3．下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A. ，故此选项错误不合题意； B. ，故此选项错误不合题意； C. ，故此选项正确符合题意； D. ，故此选项错误不合题意； 故答案为：C． 【分析】根据算术平方根和立方根的定义即可求解. 4．在实数0.3，0，，，，，，0.123456…中，其中无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】【解答】解：由0.3，0，，，，，，0.123456…中， 其中无理数有，，，0.123456…共4个， 故答案为：C． 【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，逐个分析，即可求解. 5．若 ， ，则 （　　） A． 8 B．±8 C．±2 D．±8或±2 【答案】D 【解析】【解答】 故答案为：D 【分析】根据绝对值和偶次幂的定义，可得出a、b可能的取值，得出结果即可。 6．若，则实数m所在范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴实数m所在范围是． 故答案为：C． 【分析】先估算，再求出即可得到。 7．无理数在数轴上位置的描述，正确的是（　　） A．在点的左边 B．在点的右边 C．和原点的距离小于3 D．和原点的距离大于3 【答案】D 【解析】【解答】A．，则-在-4的右边，故A项错误； B．，则-在-3的左边边，故B项错误； C．-和原点的距离是π，，故C项错误； D．-和原点的距离是π，，故D项正确； 故答案为：D． 【分析】利用两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，可对A，B作出判断；再利用绝对值的意义，可知，可对C，D作出判断. 8．设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（　　） A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在实数，使 【答案】C 【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、因为表示小于的最大整数，所以，故本选项错误，不符合题意； C、因为表示小于的最大整数，所以的最大值是1，故本选项正确，符合题意； D、存在实数，使，如，则，故本选项错误，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用 表示小于的最大整，可对A作出判断；利用定义（x】的表示小于x的最大整数，可得到x-（x】＞0，可对B作出判断；利用定义可得到，即可得到最大值为1，可对C作出判断；取x=0.2时，可对D作出判断. 9．下列说法正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．有最小的正整数，没有最小的整数 C．a，b，c 是直线，若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c D．内错角相等 【答案】B 【解析】【解答】解：A、无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，无限不循环小数才是无理数，故此选项错误； B、有最小的正整数是1，没有最小的整数，故此选项正确； C、在同一平面内，a，b，c 是直线，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c，故此选项错误； D、两直线平行，内错角相等，故此选项错误. 故答案为：B. 【分析】根据无理数的定义即可判定A；根据整数的定义可以判断B；根据在同一平面内，垂直同一直线的两直线互相平行可判断C；根据平行线的性质可以判断D. 10．下列四个式子： ① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5． 其中大小关系正确的式子的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解： ① 、∵8<10，∴ ，符合题意； ② 、∵65>64，∴ ，不符合题意； ③④ 、∵2< <3，∴ ，③④符合题意； 故答案为：C 【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。 二、填空题 11．请写出一个大于且小于3的无理数　 　． 【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解：大于且小于3的无理数有，，，等. 故答案为：（答案不唯一）. 【分析】根据无理数的大小比较和定义，即可求得. 12．若一个正数的平方根分别为 和，则 a 的值是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题可知：， 解得：， 故答案为：． 【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：，解方程即可求出a． 13．的平方根是　 　． 【答案】±0.5 【解析】【解答】解：（-0.5）2的值是0.25，0.25的平方根是±0.5 故答案为：±0.5． 【分析】利用平方根的计算方法求解即可。 14．1-的相反数是　 　. 【答案】-1 【解析】【解答】1−的相反数是：−1， 故答案为：−1. 【分析】根据实数相反数的定义求解即可。 15．实数－的立方根是　 　 【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴实数－的立方根是． 故答案为：． 【分析】利用立方根的计算方法求解即可。 16．绝对值小于 的所有整数是　 　． 【答案】±4，±3，±2，±1，0 【解析】【解答】解：∵16＜18＜25， ∴4＜ ＜5， ∴绝对值小于 的所有整数有：±4，±3，±2，±1，0． 故答案为：±4，±3，±2，±1，0． 【分析】先估算出 的大小，再写出所有符合条件的整数即可． 三、综合题 17．已知一个正数x的两个平方根分别是和. （1）求a和x的值． （2）求的立方根． 【答案】（1）解：根据题意得： 解得 ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ 【解析】【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得3a+2+a+14=0，求出a的值，然后求出3a+2的值，进而可得正数x的值； （2）根据x的值求出x-36的值，然后利用立方根的概念进行计算. 18．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： （1）、的值； （2）的平方根． 【答案】（1）解：由题意得，，． ∴，． ∴x=5，y=2； （2）解：由（1）得，x=5，y=2． ∴． ∴的平方根是． 【解析】【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题． （2）根据平方根的定义解决此题． 19．已知4a-11的平方根是，3a+b-1的算术平方根是1，c是的整数部分. （1）求a，b，c的值； （2）求2a-b+c的立方根. 【答案】（1）解：∵4a-1l的平方根是. ∴4a-1l=9 ∴a=5 ∵3a+b-1的算术平方根是1 ∴3a+b-1=l ∴b=-13； ∵c是的整数部分，4<<5 ∴c=4 （2）解： 【解析】【分析】（1）根据平方根和算术平方根及估算无理数大小的方法可得 4a-11=9，3a+b-1=1，4<<5 ，再求出a、b、c的值即可； （2）将a、b、c的值代入2a-b+c计算即可。 20．解方程 （1）； （2） 【答案】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：. 【解析】【分析】（1）首先移项，然后将未知数的系数化为1可得x2=4，接下来利用平方根的概念进行解答； （2）根据立方根的概念可得x-1=-5，求解可得x的值. 21．列方程解应用题 小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3:2，纸片面积为294cm2. （1）请你帮小明求出纸片的周长； （2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由.（π取3.14） 【答案】（1）解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm， 得 3x·2x=294 ∵x>0，∴x=7 ∴长方形的长为21cm，宽为14cm ∴2（21+14）=70cm 答：纸片的周长为70cm； （2）解：小明不能裁出想要的圆形纸片，理由如下： 设完整圆形纸片的半径为rcm， 得 3.14r2=157 解得： r= （负值舍去） ∴r= ∵ >7 ∴2 r=2 >14 ∴小明不能裁出想要的圆形纸片. 【解析】【分析】（1）利用纸片的长宽之比为3:2，设未知数，再根据矩形的面积公式列方程，解方程求出未知数的值，然后求出矩形的长和宽，即可求出矩形的周长. （2）设完整圆形纸片的半径为rcm，利用圆的面积公式，建立关于r的方程，解方程求出r的值，将r的值与7比较大小，可作出判断. 22．请根据如图所示的对话内容回答下列问题． （1）求该魔方的棱长； （2）求该长方体纸盒的表面积． 【答案】（1）解：设魔方的棱长为xcm， 可得：x3=216， 解得：x=6， 答：该魔方的棱长6cm （2）解：设该长方体纸盒的长为ycm， 6y2=600， y2=100， y=10， 答：该长方体纸盒的长为10cm 【解析】【分析】（1）由正方体的体积公式，再根据立方根，即可解答；（2）根据长方体的体积公式，再根据平方根，即可解答. 23．数轴上有A、B两点，A点表示的数为x，且，B点表示的数为的立方根． （1）求x的值，B点表示的数． （2）求AB间的距离． 【答案】（1）解：∵∴，∵，∴点B表示的数是 （2）解：当A在x轴的正半轴上时，；当A在x轴的负半轴上时， 【解析】【分析】（1）利用立方根和平方根求出x的值和点B表示的数即可； （2）分两种情况，再利用两点之间的距离公式求解即可。 24．已知正实数x的平方根是a和a＋b. （1）当b＝6时，求a； （2）若a2x＋(a＋b)2x＝6，求x的值. 【答案】（1）解：∵正实数 的平方根是a和a＋b， ， ， ， ； （2）解：∵正实数 的平方根是a和a＋b， ， ， ， ， ， ， . 【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列式求解；（2）根据平方根的定义得到 ， ，最后代入求解即可. 25．定义：若，则称a与b是关于整数n的“平衡数”，比如3与是关于－1的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”． （1）填空：与8是关于　 　的“平衡数”． （2）现有与（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，求n的值． 【答案】（1）2 （2）解：∵与（k为常数）始终是数n的“平衡数”， ∴ ∵与x取值无关 ∴， 解得， ∴． 故答案为：6． 【解析】【解答】 (1)根据定义，-6+8=2 故填2；(2) 根据定义a+b是n的平衡数，且于x无关，说明x的系数为0。a+b=6x2-4kx+8-2（3x2-2x+k）=6x2-4kx+8-6x2+4x-2k=(4-4k)x+8-2k，x的系数（4-4k）为0即k=1， ∴ a+b=8-2k=8-2=6 【分析】根据题中平衡数定义求和，与x取值无关即x的系数为0，由此可解。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $