第七章 相交线与平行线 单元复习演练卷 2025-2026学年人教版七年级下册数学

第7章 相交线与平行线 单元复习演练卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有7个小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列各图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运动属于平移的是（　　） A．荡秋千 B．电风扇叶片的转动 C．地球绕着太阳转 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动 3．若与的两边分别平行，且，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 4．如图， 这是小亮绘制的潜望镜原理示意图， 两个平面镜的镜面 与 平行， 入射光线 与出射光线 平行． 若入射光线 与镜面 的夹角 ， 则 的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图为平面上5条直线l1，l2，l3，l4，l5相交的情形，根据图中标注的角度，判断正确的是（　　） A．l1和l3平行，l2和l3平行，l4和l3平行 B．l1和l3平行，l2和l3不平行，l4和l3不平行 C．l1和l3不平行，l2和l3平行，l4和l3平行 D．l1和l3不平行，l2和l3不平行，l4和l5平行 6．如图，将三个相同的三角尺不重叠无空隙地拼在一起，观察图形，在直线 BA，AC，CE，ED，CD，AE 中，相互平行的有（　　） A．4组 B．3 组 C．2 组 D．1组 7．如图，已知AB∥CD， ， ．则 与 之间满足的数量关系是（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 8． 在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，直线表示起跳线，经测量，米，米，米，则该同学立定跳远的实际成绩是　 　米． 9． 如图，三角形的面积为15，的长为5，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是　 　． 10． 如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝102 m，宽AD＝51 m，从A，B两处入口的中路宽都为1 m，两小路汇合处路宽为2 m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为　 　m2. 11．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为　 　m． 12．如图，在三角形ABC中，BC＝6，把三角形ABC沿射线AB方向平移3个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点M．若CM＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　． 13．观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=　 　度． 三、综合题(本大题有8个小题，共74分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14．如图，直线，相交于点，． （1）的邻补角为　 　； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求的度数． 15．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． （1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝　 　，∠β＝　 　； （2）现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠FHG的度数； （3）现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，则∠BAM＝　 　．（直接写出答案） 16．如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①，②，③，④四个部分.当动点P落在某个部分时，连接、，构成，，三个角，（规定：线上各点不属于任何部分且点P、A、B三点不共线） （1）当动点P落在第①部分时，求证：； （2）当动点P落在第②部分时，直接用等式表示，，之间的数量关系； （3）当动点P落在第③部分时，用等式表示，，之间的数量关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明. 17．如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，. （1）观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是　 　；∠BCE与∠ACD的数量关系是　 　； （2）类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由； （3）拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系. 18．如图，点，分别在直线，上，，.射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止.射线停止运动的同时，射线也停止运动，设旋转时间为t（s）. （1）当射线经过点时，直接写出此时的值； （2）当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示） （3）当EM//FN时，求的值. 19．已知， ， ，试回答下列问题： （1）如图1，求证： ； （2）如图2，若点E，F在BC上，且满足 ，并且OE平分 ，试求 的度数； （3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，则 的值是否发生变化？请说明理由 20．问题情境 我们知道“如果两条平行线被第三条直线所截，所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用． 已知三角板ABC中，，，，长方形DEFG中，． 问题初探 如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，于点N，则∠EMC的度数是多少呢？ 此题有多种解答方法，下面是小军同学的分析过程： 过点C作，则，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． （1）请你直接写出　 　，　 　； （2） 类比再探 若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系，并说明理由； （3） 方法迁移 请你总结（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系，并直接写出结果． 21．在三角形ABC中，点D在线段AC上，EDBC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G． （1）如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明； （2）如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG－∠EDF=90°； （3）当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明． 答案 一、选择题(本大题有7个小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列各图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：根据对顶角的定义： 中和顶点不在同一位置，不是对顶角； 中和角度不同，不是对顶角； 中和顶点不在同一位置，不是对顶角； 中和是对顶角； 故答案为：． 【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可。 2．下列运动属于平移的是（　　） A．荡秋千 B．电风扇叶片的转动 C．地球绕着太阳转 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动 【答案】D 【解析】【解答】解： 【解答】解：A、荡秋千是旋转，不属于平移，故不符合题意； B、电风扇叶片的转动属于旋转，不属于平移，故不符合题意； C、地球绕着太阳转属于旋转，不属于平移，故不符合题意； D、急刹车时，汽车在地面上的滑动属于平移，故符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据平移的定义进行判断即可. 3．若与的两边分别平行，且，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】【解答】解：与的两边分别平行，且，或，解得或，当时，；当时，． 故答案为：C. 【分析】根据题意可得或，据此求出x后代入即可求解. 4．如图， 这是小亮绘制的潜望镜原理示意图， 两个平面镜的镜面 与 平行， 入射光线 与出射光线 平行． 若入射光线 与镜面 的夹角 ， 则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可知：∠2=∠1=40°10'， ∴∠5=180°-∠1-∠2=99°40'. ∵AB∥CD， ∴∠6=∠5=99°40'. 故答案为：C. 【分析】由入射角等于出射角可知∠2=∠1，结合已知∠1=40°10'，可知∠2=∠1=40°10'。再由∠1+∠2+∠5=180°，可知∠5=99°40'。再由AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等。可得∠6=∠5=99°40'. 5．如图为平面上5条直线l1，l2，l3，l4，l5相交的情形，根据图中标注的角度，判断正确的是（　　） A．l1和l3平行，l2和l3平行，l4和l3平行 B．l1和l3平行，l2和l3不平行，l4和l3不平行 C．l1和l3不平行，l2和l3平行，l4和l3平行 D．l1和l3不平行，l2和l3不平行，l4和l5平行 【答案】C 【解析】【解答】解：如下图： ∠1=88°， ∴∥（同位角相等，两直线平行） ∵88°+92°=180°， ∴∥（同旁内角互补，两直线平行） 又∵92°+92°≠180°， ∴和不平行， 故答案为：C． 【分析】本题考查平行线的判定．根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，据此可推出∥；根据同旁内角互补，两直线平行，据此可推出∥，综合题意可选出选项． 6．如图，将三个相同的三角尺不重叠无空隙地拼在一起，观察图形，在直线 BA，AC，CE，ED，CD，AE 中，相互平行的有（　　） A．4组 B．3 组 C．2 组 D．1组 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意知： ∴ ∴在直线 BA，AC，CE，ED，CD，AE 中，相互平行的有3组， 故答案为：B. 【分析】根据题意得到进而根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此即可求解. 7．如图，已知AB∥CD， ， ．则 与 之间满足的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：如下图所示，作NE∥AB，MF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MF∥EN 得 ， ， ， ； ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 故答案为：B. 【分析】过点M和点N分别作NE∥AB，MF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得AB∥CD∥MF∥EN，根据平行线的性质可得∠BMF=∠ABM，∠FMD=∠CDM，∠BNE=180°-(∠ABM+∠NBM)，∠END=180°-(∠CDM+∠MDN)，则∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BND=360°(∠ABM+∠CDM+∠MBN+∠MDN)，结合已知条件可得∠BND=360°-(∠ABM+∠CDM)，化简即可. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 8． 在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，直线表示起跳线，经测量，米，米，米，则该同学立定跳远的实际成绩是　 　米． 【答案】2.3 【解析】【解答】解：∵PC⊥BD， ∴该同学立定跳远的实际成绩就是垂线段PC的长即2.3米. 故答案为：2.3. 【分析】利用垂线段最短可得答案. 9． 如图，三角形的面积为15，的长为5，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是　 　． 【答案】6 【解析】【解答】解：作 解得： 由垂线段最短可知：线段PC的最小值是6 故答案为：6. 【分析】根据垂线段最短，作出垂线段并用三角形面积相等求出即可. 10． 如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝102 m，宽AD＝51 m，从A，B两处入口的中路宽都为1 m，两小路汇合处路宽为2 m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为　 　m2. 【答案】5000 【解析】【解答】解：由图可得，草坪部分正好可以拼成一个长方形， 且这个长方形的长为102−2=100m，宽为51−1=50m， 所以草坪的面积为 故答案为：5000． 【分析】草坪部分正好可以拼成一个长方形，求出长方形的长和宽，然后计算即可． 11．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为　 　m． 【答案】140 【解析】【解答】解：根据题意得出：小桥可以平移到矩形的边上，得出小桥的长等于矩形的长与宽的和， 故小桥总长为：280÷2=140（m）． 故答案为：140． 【分析】利用平移的性质直接得出答案即可． 12．如图，在三角形ABC中，BC＝6，把三角形ABC沿射线AB方向平移3个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点M．若CM＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【答案】15 【解析】【解答】解：∵把三角形ABC沿射线AB方向平移3个单位至三角形EFG处， ∴CG=BF=AE=3，△EFG≌△ABC，BC=GF=6， ∴S四边形AEMC+S△BEM=S四边形BFGM+S△BEM， ∴， 故答案为：15. 【分析】先根据平移的性质得到CG=BF=AE=3，△EFG≌△ABC，BC=GF=6，再根据S四边形AEMC+S△BEM=S四边形BFGM+S△BEM，结合梯形面积公式即可求解. 13．观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=　 　度． 【答案】（n+1）×180 【解析】【解答】解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G， ∵AB∥CD， ∴AB∥P1E∥P2F∥P3G． 由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180° ∴（1）∠1+∠2=180°，（2）∠1+∠P1+∠2=2×180，（3）∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，（4）∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°， ∴∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=（n+1）×180°． 故答案为：（n+1）×180． 【分析】出现平行线间的折线可过折点作平行线构造出同旁内角，由同旁内角互补解决问题. 三、综合题(本大题有8个小题，共74分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14．如图，直线，相交于点，． （1）的邻补角为　 　； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求的度数． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ， ； （3）解：， ， ，， 又， ， ． ，， ， ， ． 【解析】【解答】（1）由图形知：∠COM的邻补角为∠MOD； 故答案为：∠MOD. 【分析】（1）根据邻补角的定义即得结论； （2），理由： 由垂直的定义可得∠AOM=∠1+∠AOC=90°，利用等量代换可得∠2+∠AOC=90°，即得∠NOC=90°，根据垂直定义即得结论； （3）由垂直的定义及 可求出∠1=30°，从而求出∠AOC=60°，由对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=60°，根据∠MOD=∠MOB+∠BOD进行计算即可. 15．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． （1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝　 　，∠β＝　 　； （2）现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠FHG的度数； （3）现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，则∠BAM＝　 　．（直接写出答案） 【答案】（1）15°；150° （2）解：∵PQ∥MN， ∴∠GEF=∠CAB=45°， ∴∠FGQ=75°， ∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA， ∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°， ∴∠FHG=67.5°； （3）30°或90°或120° 【解析】【解答】解：（1）过E作EH∥PQ，则PQ∥MN∥EH， ∴∠α=∠EDH，∠HEA=∠BAC， ∴∠E=∠DEH+∠HEA=∠α+∠BAC， ∴∠α=∠E-∠BAC=60°-45°=15°. ∵E、C、A三点共线， ∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°. 故答案为：15°；150°. （3）当BC∥DE时，∠CAE=∠DFE=30°， ∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE， ∴∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°； 当BC∥EF时，∠BAE=∠ABC=45°， ∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°； 当BC∥DF时，有∠CAN=∠DEG=15°， ∴∠BAM=∠MAN+∠CAN-∠BAC=180°-15°-45°=120°. 故答案为：30°或90°或120°. 【分析】（1）过E作EH∥PQ，则PQ∥MN∥EH，由平行线的性质可得∠α=∠EDH，∠HEA=∠BAC，则∠E=∠DEH+∠HEA=∠α+∠BAC，据此可求出∠α的度数，根据邻补角的性质可得∠β=180°-∠DFE，据此计算； （2）由平行线的性质可得∠GEF=∠CAB=45°，则∠FGQ=75°，由角平分线的概念可得∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，然后利用内角和定理进行计算； （3）当BC∥DE时，由平行线的性质可得∠CAE=∠DFE=30°，根据角的和差关系可得∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC，据此计算；当BC∥EF时，∠BAE=∠ABC=45°，然后根据∠BAM=∠BAE+∠EAM进行计算；当BC∥DF时，有∠CAN=∠DEG=15°，然后根据∠BAM=∠MAN+∠CAN-∠BAC进行计算. 16．如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①，②，③，④四个部分.当动点P落在某个部分时，连接、，构成，，三个角，（规定：线上各点不属于任何部分且点P、A、B三点不共线） （1）当动点P落在第①部分时，求证：； （2）当动点P落在第②部分时，直接用等式表示，，之间的数量关系； （3）当动点P落在第③部分时，用等式表示，，之间的数量关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明. 【答案】（1）证明：如图，过点P作， ， ， ， ， ； （2） （3）解：（i）当动点P在射线的右侧时，结论是： （ii）当动点P在射线的左侧时，结论是 选择（i）证明：如图，过点P作， ， ， ， ， ， 选择（ii）证明：如图，过点P作， ， ， ， ， . 【解析】【解答】解：（2）如图，过点P作， ， ， ， ， 【分析】（1）过点P作FP∥AC，则FP∥AC∥BD，由平行线的性质可得∠PAC=∠APF，∠FPB=∠PBD，然后根据角的和差关系进行证明； （2）过点P作EP∥AC，则EP∥AC∥BD，由平行线的性质可得∠PAC+∠APE=180°，∠PBD+∠BPE=180°，然后根据∠APB+∠PAC+∠PBD=∠APE+∠BPE+∠PAC+∠PBD进行解答； （3）当动点P在射线BA的右侧时，过点P作FP∥AC，则FP∥AC∥BD，由平行线的性质可得∠PAC=∠APF，∠FPB=∠PBD，然后根据角的和差关系进行解答；当动点P在射线BA的左侧时，过点P作FP∥AC，则FP∥AC∥BD，由平行线的性质可得∠PAC+∠APF=180°，∠FPB+∠PBD=180°，然后结合∠FPB=∠APF+∠APB进行解答. 17．如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，. （1）观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是　 　；∠BCE与∠ACD的数量关系是　 　； （2）类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由； （3）拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系. 【答案】（1）； （2）解：分类讨论：①如图1所示， ∵CE//AB， ∴， ∴； ②如图2所示， ∵CE//AB， ∴， ∴. 综上可知当或时，CE//AB； （3）解：根据（1）可知， ∴， ∴. 分类讨论：①如图3所示， ∵， ∴， ∴BC//DE. ∵，即， ∴； ②如图4所示， ∵， ∴， ∴AC//DE. 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴，即. ∵，， ∴. 故答案为：，； 【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BCD=∠ACE，由角的和差关系可得∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，然后将两式相加即可； （2）①当∠ACD在∠BCE内部时，根据平行线的性质可得∠ACE=∠BAC=30°，然后根据∠ACD=∠DCE-∠ACE进行计算； ②当∠ACD在∠BCE外部时，根据平行线的性质可得∠BCE=∠B=60°，然后根据∠ACD=360°-∠ACB-∠DCE-∠BCE进行计算； （3）根据（1）可知∠BCE+∠ACD=180°，结合∠BCE=3∠ACD可得∠ACD的度数，①当∠ACD在∠BCE内部时，易得∠BCD=∠CDE=45°，推出BC//DE，根据平行线的性质可得AC⊥DE；②当∠ACD在∠BCE外部时，有∠ACD=∠CDE=45°，然后根据平行线的判定定理进行解答即可. 18．如图，点，分别在直线，上，，.射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止.射线停止运动的同时，射线也停止运动，设旋转时间为t（s）. （1）当射线经过点时，直接写出此时的值； （2）当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示） （3）当EM//FN时，求的值. 【答案】（1）解：的速度为每秒，， 当射线经过点时，所用的时间为：； （2）解：过点作直线，如图所示： ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：与的速度不相等， 当时，与不平行； 当时，与可能平行，当时，设与交于点，如图所示： ， ， 由题意可得：， ， ， ， ， ， 解得：. 【解析】【分析】（1）利用∠CFE的度数除以每秒旋转的度数可得所用的时间； （2）过点P作直线HQ∥AB，根据平行线的性质可得∠FPQ=∠CFP=2t，∠EPQ=∠KEP=3t，则∠EPF=t，然后根据∠KPE=90°-∠EPF进行解答； （3）易得当0<t≤60时，EM与FN不平行；当60<t≤90时，EM与FN可能平行，当EM∥FN时，设FN与AB交于点G，根据平行线的性质可得∠AGF=∠MEB，∠AGF+∠CFN=180°，由题意可得∠MEB=3t-180°，∠CFN=2t，据此求解即可. 19．已知， ， ，试回答下列问题： （1）如图1，求证： ； （2）如图2，若点E，F在BC上，且满足 ，并且OE平分 ，试求 的度数； （3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，则 的值是否发生变化？请说明理由 【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ . （2）解：由 以及（1）得 . ∵ ，OE平分 ， ∴ ， ， ∴ （3）解： 的值不发生变化.理由如下： ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ . ∵ 为 的外角， ∴ ， ∴ ， ∴ 的值为定值，不发生变化. 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质先求出 ， 再证明求解即可； （2）先求出 ， ， 再计算求解即可； （3）根据 ， 求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可。 20．问题情境 我们知道“如果两条平行线被第三条直线所截，所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用． 已知三角板ABC中，，，，长方形DEFG中，． 问题初探 如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，于点N，则∠EMC的度数是多少呢？ 此题有多种解答方法，下面是小军同学的分析过程： 过点C作，则，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． （1）请你直接写出　 　，　 　； （2） 类比再探 若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系，并说明理由； （3） 方法迁移 请你总结（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系，并直接写出结果． 【答案】（1）30°；60° （2）解：∠EMC＋CAF＝90°，理由如下： 过点C作CH∥GF， ∵DE∥GF， ∴DE∥CH． ∴∠EMC＝∠MCH，∠CAF＝∠ACH． ∴∠EMC＋∠CAF＝∠MCH＋∠ACH＝90°． （3）∠BAG－∠BMD＝30° 【解析】【解答】（1）根据题意可得： ∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-60°=30°，∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°， 故答案为：30°，60°； （3）如图： 过点B作BK//GF，则∠BAG=∠KBA， ∵BK//GF，DE//GF， ∴BK//DE， ∴∠BMD=∠KBM， ∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°。 故答案为：∠BAG－∠BMD＝30°. 【分析】（1）利用角的运算求解即可； （2）过点C作CH∥GF，根据平行线的性质可得∠EMC＝∠MCH，∠CAF＝∠ACH，再利用角的运算和等量代换可得∠EMC＋∠CAF＝∠MCH＋∠ACH＝90°； （3）过点B作BK//GF，则∠BAG=∠KBA，再利用角的运算和等量代换可得∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°。 21．在三角形ABC中，点D在线段AC上，EDBC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G． （1）如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明； （2）如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG－∠EDF=90°； （3）当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明． 【答案】（1）解：∠EDF+∠BGF=90°． 证明如下： 过点F作FH∥BC交AC于点H． ∵ED∥BC， ∴ED∥FH ． ∴∠EDF=∠1． ∵FH∥BC， ∴∠BGF=∠2． ∵FG⊥FD， ∴∠DFG=90°． ∴∠1+∠2=90°． ∴∠EDF+∠BGF=90°． （2）证明： 过点F作FH∥BC交AC于点H． ∴∠ABC=∠AFH ． ∴∠ABC=∠1+∠3 ． ∴∠3=∠ABC－∠1 ． ∵ED∥BC， ∴ED∥FH． ∴∠EDF=∠1， ∴∠3=∠ABC－∠EDF ． ∵FG⊥FD， ∴∠DFG=90°． ∴∠BFG+∠3=90°． ∴∠3=90°－∠BFG ． ∴90°－∠BFG=∠ABC－∠EDF ． ∴∠ABC+∠BFG－∠EDF=90°． （3）解：补全图形如图： ∠BGF－∠EDF =90°． 理由如下： 过点F作FH∥BC交AC于点T． ∵ED∥BC， ∴ED∥FT ． ∴∠EDF=∠DFT． ∵FT∥BC， ∴∠BGF=∠GFT． ∵FG⊥FD， ∴∠DFG=90°． ∴∠GFT -∠DFT =90°． ∴∠BGF -∠EDF =90°． 【解析】【分析】（1）结论：∠EDF+∠BGF=90°，如图1，过点F作FH∥BC交AC于点H，利用平行线的性质求解即可； （2）如图2，过点F作FH∥BC交AC于点H，利用平行线的性质求解即可； （3）作出图形，利用平行线的性质求解即可。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $