4.2 提公因式法 第2课时 课件 2025—2026学年北师大版八年级数学下册

4.2 提公因式法 第 2 课时 提公因式为多项式的因式分解 教学目标 一、知识与技能 能识别多项式各项中隐含的多项式公因式，并能正确提取。掌握当公因式为多项式时的提公因式方法，能熟练完成因式分解。理解多项式公因式的概念，会处理公因式互为相反数时的符号变换问题。 二、过程与方法 经历从单项式公因式到多项式公因式的拓展过程，体会数学知识之间的内在联系与迁移。 三、情感态度与价值观 感受数学知识螺旋上升、层层递进的结构之美，增强学习信心。 1. 多项式的第一项系数为负数时， 2. 公因式的系数是多项式各项__________________； 3. 字母取多项式各项中都含有的____________； 4. 相同字母的指数取各项中最小的一个，即_________. 提公因式法因式分解的一般步骤： 系数的最大公约数 相同的字母 先提取“-”号，注意多项式的各项变号 ； 复习导入 最低次幂 新课教授 【合作探究】① m(n－1)＋3(n－1)； ② 3(x－y)＋6(x－y)2；③ c(a－b)4＋c2(a－b)3. 问题3：不去括号，多项式③中有哪几项？它们有没有公共因式？ 问题1：不去括号，多项式①中有哪几项？它们有没有公共因式？ m(n－1)，3(n－1). 它们有公共因式 (n－1). 问题2：不去括号，多项式②中有哪几项？它们有没有公共因式？ 3(x－y)，6(x－y)2. 它们有公共因式 3(x－y). c(a－b)4，c2(a－b)3. 它们有公共因式 c(a－b)3. 探究点1：整体提公因式法 新知探究 整体提公因式法是提公因式法因式分解中一种较为灵活的方法，它将多项式中的某一部分看成一个整体来提取公因式．先确定整体公因式，明确公因式的系数、字母以及多项式部分，提取公因式后，要检查剩下的因式是否还能继续分解． 探究点1：整体提公因式法 【归纳总结】 解：=a(x - 3) + 2b(x - 3) = (x - 3)(a + 2b). 例1 把下列各式分解因式： (1) a(x - 3) + 2b(x - 3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2. = y(x + 1)(1 + xy + y). 探究点1：整体提公因式法 解：= y(x + 1) + y2(x + 1)2 新课教授 新知探究 1. x(a + b) + y(a + b) 2. 3a(x - y) - (x - y) 3. 6(p + q)2 - 12(q + p) 解：= (a + b)(x + y) 解：= (x - y)(3a - 1) 解：= 6( p + q)( p + q - 2) 【练一练】1. 将下列式子因式分解. 探究点1：整体提公因式法 下面的多项式有公因式吗？与同伴交流思考． (1) 5(a－b)－m(b－a)； (2) 3(m＋n)＋2a(－m－n)； (3) m(x－y)2－n(y－x)2；　　 (4) c2(b－a)3＋(c－1)(a－b)3. (b－a)3＝－(a－b)3. 新课教授 思考：a－b 和 b－a，m＋n 和 －m－n， (x－y)2 和 (y－x)2，(b－a)3 和 (a－b)3有什么关系？ a－b＝－(b－a)， m＋n＝－(m＋n)， (x－y)2＝(y－x)2， 【归纳总结】两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法： (1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等. 如：a - b 和 -b + a，则 a - b = -b + a. (2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数. 如：a - b 和 b - a，则 a - b = -(b - a). 新课教授 (a - b)n = (b - a)n (n 是偶数) (a - b)n = -(b - a)n (n 是奇数) (2) a + b 与 b + a 相等，a - b 与 -b + a 相等. (a±b)n = (±b + a)n (n 是整数) a + b 与 -a - b 互为相反数. (-a - b)n = (a + b)n (n 是偶数) (-a - b)n = -(a + b)n (n 是奇数) (1) a - b 与 -a + b 互为相反数. 新课教授 (1) a(x－y)＋b(y－x)； (2) 6(m－n)3－12(n－m)2. 解：=a(x－y)＋b(y－x) =(x－y)(a－b) 解：=6(m－n)3－12(n－m)2 =6(m－n)2[(m－n)－2] =6(m－n)2(m－n－2) 例2 把下列各式因式分解： 新课教授 =a(x－y)－b(x－y) =6(m－n)3－12(m－n)2 【练一练】2. 将下列式子因式分解. 1.a(m-2)+b(2-m) 2.2(y-x)2+3(x-y) 3.mn(m-n)-m(n-m)2 解:=a(m-2)-b(m-2) =(m-2)(a-b) 解:=2(x-y)2+3(x-y) =(x-y)[2(x-y)+3] =(x-y)(2x-2y+3) 解:=mn(m-n)-m(m-n)2 =m(m-n)[n-(m-n)] =m(m-n)(2n-m) 新知探究 【思考·交流】 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验 ? 与同伴进行交流。 1.在提取公因式时，各项公因式相同时，直接提取；各项公因式互为相反数时，需先变符号，再提取。 2.括号前面是“+”号，括号里的各项都不变号。 3.括号前面是“-”号，括号里的各项都变号。 探究点2：变形后提公因式法 新知探究 【尝试·思考】 如图 ，有三张不同型号的长方形卡片。 (1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗 ? (2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗 ? (3) 依据 (1) (2) 拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解 ? 你是怎样想的 ? n a n b a+b m ① ② ③ 探究点3：提公因式法的应用 新知探究 n a n b (1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗 ? ① ② n a n b ① ② 将 ② 旋转 90°，然后把两个长方形长度为 n 的边拼在一起即可得到一个新的长方形。 根据拼组前后面积相等：a×n + b×n = (a + b)×n. 探究点3：提公因式法的应用 新知探究 a+b m (2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗 ? a n b ① ② ③ 把 (1) 得到的长方形和 ③ 两个长方形长度为 a+b 的边拼在一起得到一个新的长方形。 根据拼组前后面积相等： a×n + b×n + (a + b)×m = (a + b)×n + (a + b)×m = (a + b)×(m + n) . 探究点3：提公因式法的应用 当堂反馈 1. 将3x(a－b)＋9y(a－b)因式分解，应提的公因式 是(　D　) 2. 若(p－q)2－(q－p)3＝(q－p)2E，则E是(　C　) C D A. 3x－9y B. 3x＋9y C. a－b D. 3(a－b) A. 1－q－p B. q－p C. 1＋p－q D. 1＋q－p 3. 已知x＋y＝5，xy＝6， 求 x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2 的值. =-2xy(x＋y). ∵x＋y＝5，xy＝6， ∴原式＝－2×6×5＝－60. 当堂反馈 解:x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2 =x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)] 因式 分解 公因式为多项式 确定公因式的方法：三定，即定系数、定字母、定指数 分两步：第一步找公因式（整体思想）；第二步提公因式 注意 1. 分解因式是一种恒等变形； 2. 公因式要提尽； 3. 不要漏项； 4. 提负号，括号内要注意变号 课堂小结 $