4.2 提公因式法 第2课时 课件 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦北师大版八年级下册第四章因式分解第2课时，核心内容为探索公因式是多项式的提公因式法。课堂导入通过复习回顾单项式公因式的提公因式法及步骤，结合练一练巩固旧知，进而引出多项式公因式的新问题，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以探究活动为主线，通过将(x-3)等多项式整体看作公因式，处理(x-y)与(y-x)等互为相反数因式的变形，培养学生抽象能力与推理意识。拼图应用环节将代数与几何结合，体现模型意识，总结步骤清晰。学生能提升数学思维，教师可依托实例高效教学。

第四章 因式分解 第2课时 数学北师大版八年级下册 熟练运用提公因式法分解较复杂的多项式. 经历探索公因式是多项式的因式分解方法，并在具体问题中确定多项式各项的公因式. 经历从公因式是单项式到公因式是多项式的提公因式探索过程，体会数学知识之间的联系. 培养学生独立思考的习惯，同时培养大家合作交流和勇于探索的意识. 1 2 3 4 学习目标 什么叫提公因式法？ 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法. 提公因式法因式分解的一般步骤是什么？ 找公因式→提公因式→确定另一个公因式→写成积的形式. 复习回顾 把下列各式因式分解： (1)ax+2bx； (2) yx+y2x2. 解：(1)ax+2bx=x·a+x·2b=x(a+2b)； (2) yx+y2x2=yx·1+yx·yx=yx(1+yx). 想一想，其中一个因式由单项式变成了多项式，怎么分解呢？ (1)ax+2bx； (2) yx+y2x2. a(x–3)+2b(x–3)； y(x+1)+y2(x+1)2. 复习回顾 探究一 把下列各式因式分解： (1)a(x–3)+2b(x–3)；(2)y(x+1)+y2(x+1)2. 把“x–3”“x+1”都看作一个整体进行因式分解. 解：(1)a(x–3)+2b(x–3)=(x–3)·a+(x–3)·2b=(x–3)(a+2b)； (2)y(x+1)+y2(x+1)2=y(x+1)·1+y(x+1)·y(x+1)=y(x+1)[1+y(x+1)] =y(x+1)(yx+y+1). 活动一：公因式是多项式的提公因式法 探究新知 把下列各式因式分解： (1)a(x–y)+b(y–x)； (2)6(m–n)3–12(n–m)2. 根据提公因式法分解因式的一般步骤逐步计算； 提公因式的时候，注意公因式是多项式的情况要整体提出； 提公因式的时候，还要注意加括号后各项符号的变化. “x–y”与“y–x”互为相反数 “m–n”与“n–m”互为相反数 探究二 活动一：公因式是多项式的提公因式法 探究新知 把下列各式因式分解： (1)a(x–y)+b(y–x)； (2)6(m–n)3–12(n–m)2. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式. 解：(1)a(x–y)+b(y–x)=a(x–y)–b(x–y)=(x–y)(a–b). (2)6(m–n)3–12(n–m)2=6(m–n)3–12[–(m–n)]2=6(m–n)3–12(m–n)2 =6(m–n)2(m–n–2). 探究二 活动一：公因式是多项式的提公因式法 探究新知 这些步骤中，要特别注意：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方. 公因式是多项式的提公因式法的步骤： ①确定公因式：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式； ②提公因式； ③确定另一个因式； ④写成乘积的形式. 活动一：公因式是多项式的提公因式法 总结归纳 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流. 1.公因式必须是多项式的每一项都含有的因式，公因式的系数取最大公约数，相同字母取最低次幂； 2.多项式既可以是单项式也可以是多项式，还可以是多项式幂的形式，注意符号变形； 3.首项为负，通常先提负号； 4.公因式要提干净，分解到不能再分解为止； 5.最后检验是否正确时，可以按照整式乘法把因式乘回去检验. 思考·交流 活动一：公因式是多项式的提公因式法 探究新知 如图所示，有三张不同型号的长方形卡片. (1)你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗? 能，选择①②拼成长方形，如图所示. 尝试·思考 n a ① b n ② m a+b ③ n a+b ① ② 活动二：提公因式法因式分解的应用 探究新知 (2)你能用这三张卡片拼成一个长方形吗? 能，选择①②③拼成的长方形如图所示. 尝试·思考 n a ① b n ② m a+b ③ m+n a+b ① ② ③ 活动二：提公因式法因式分解的应用 探究新知 (3)依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？ 同一个图形，由两种不同的面积表示形式建立等量关系，从而得到多项式的因式分解结果. n a+b ① ② m+n a+b ① ② ③ (1)中由拼图可得an+bn=n(a+b). (2)中由拼图可得an+bn+(a+b)m=(m+n)(a+b). 活动二：提公因式法因式分解的应用 尝试·思考 探究新知 把下列各式因式分解： (1)m(m–5)+2(m–5)； (2)(x–y)2+y(y–x)；  (3)(a+b)(a–b)–a–b. (1)把“m–5”看作一个整体进行因式分解，(2)(3)需要先变形，再把“x-y”“a+b”看作一个整体. (1)m(m–5)+2(m–5)=(m–5)(m+2). (2)(x–y)2+y(y–x)=(x–y)2–y(x–y)=(x–y)(x–y–y)=(x–y)(x–2y). (3)(a+b)(a–b)–a–b=(a+b)(a–b)–(a+b)=(a+b)(a–b–1). 也可写成：(x–y)2+y(y–x)=(y–x)2+y(y–x) =(y–x)(y–x+y)=(y–x)(2y–x) 应用新知 1.把下列各式因式分解： (1)x(a+b)+y(a+b)； (2)3a(x–y)–(x–y)； (3)6(p+q) 2–12(q+p)； (4)a(m–2)+b(2–m)； (5)2(y–x)2+3(x–y)； (6)mn(m–n)–m(n–m)2. 解：(1)x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)； (2)3a(x–y)–(x–y)=(x–y)(3a–1)； (3)6(p+q) 2–12(q+p)=6(p+q) 2–12(p+q)=6(p+q)(p+q–2)； (4)a(m–2)+b(2–m)=a(m–2)–b(m–2)=(m–2)(a–b)； (5)2(y–x)2+3(x–y)=2(x–y)2+3(x–y)=(x–y)(2x–2y+3)； (6)mn(m–n)–m(n–m)2=mn(m–n)–m(m–n)2=m(m–n)(2n–m). 课堂练习 教材练习 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式. 注意点 ①确定公因式：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式； ②提公因式；③确定另一个因式；④写成乘积的形式. 提公因式法 公因式是 多项式的 因式分解 $