四川阆中市川绵外国语学校2025-2026学年下学期期中检测试卷高二数学

**基本信息** 以《易经》八卦概率、六艺课程排列等传统文化情境为载体，结合“密切函数”新定义问题，覆盖数列、排列组合、函数导数等核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与数学思维能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等差数列、排列组合、函数图像|第4题以八卦为背景考查概率，体现数学眼光观察文化现象| |多选题|3|等比数列性质、二项式定理|第10题结合六艺课程设计排列问题，培养数学语言表达实际情境| |填空题|3|等比数列、函数极值|第14题通过图像分析函数性质，考查逻辑推理能力| |解答题|5|组合计数、数列求和、函数极值|第15题分层设计抽取问题，第19题结合极值考查数学思维严谨性|

川绵外国语学校2025-2026学年度下期期中检测试卷 姓名：___________班级：__________ 一、单选题 1．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】A【详解】在等差数列中，，则，因此． 2．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现有4个社团供5名同学选择，则不同的选择方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A【详解】由题意可得，每名同学共有4种选择，故不同的选择方法有种. 3．在数列中，，，则的值是 A． B． C． D． 【答案】C【详解】由于，故数列是等差数列，故，故选C. 4．《易经》是中国传统文化中的精髓之一．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线和四根阴线的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】八卦分成四类，A类是：3个卦含1阴2阳，B类是：3卦含2阴1阳，C类1卦含是3阳，D类1卦是3阴．从八卦中任取两卦共有，两卦中含2阳4阴，则可以从B类选2卦，方法数为，或者选D类和A类1的1卦，方法数是3．所求概率为． 5．已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】求导可得，则. 6．若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【详解】∵，∴令，可得，令， 可得，∴． 7．函数 的大致图象是 A． B．C． D． 【答案】A【详解】函数y=的导数为，令y′=0，得x=， 时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0． ∴函数在（﹣），（）递减，在（）递增． 且x=0时，y=0，排除B，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C， 8．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”，设函数与在上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】因为函数与在上是“密切函数”， 所以对任意的，都有，即有，则，令，得，当时，；当时，； 所以当时，取极小值，也是最小值.故在上的最小值为1，最大值为， 所以且，即. 二、多选题 9．设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD【详解】设等比数列、的公比分别为、，其中，， 对任意的，，，对于A选项，不妨取，，则数列、都是等比数列，但对任意的，，故数列不是等比数列，A不满足条件；对于B选项，，即数列为等边数列，B满足条件；对于C选项，当时，，此时，不是等比数列，C不满足条件；对于D选项，，故为等比数列，D满足条件. 10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法 【答案】ACD【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确； B：利用间接法，课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，没有限制条件时共有种排法，故“乐”“射”排在不相邻的两周有种排法，故B错误； C：课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，即把这三个当作一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确； D：先特殊后一般，先把“礼”排在第一周，再排“数”，有种排法，再把剩下4个全排列，有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故D正确. 11．在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．所有二项式系数之和为 B．第4项的二项式系数最大 C．所有项的系数的和为 D．的系数是 【答案】ABC【详解】在的展开式中，所有二项式系数之和为，故A正确； 的展开式共有7项，其中最中间的第4项的二项式系数最大，故B正确； 令，则在的展开式中，所有项的系数的和为，故C正确； 的展开式的通项公式为， 令，得，此时的系数是，故D错误； 三、填空题 12．__________. 【答案】【详解】. 13．已知是等比数列，，且，则等于______. 【答案】6【详解】是等比数列，所以，所以 ，所以，而，所以， 14．已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有三个零点. 其中，所有正确结论的序号是_____________ . 【答案】②③④【详解】由图像可知实的图像在区间、、函数值分别为正、负、正，而虚的图像在区间、、分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实的是的图像，虚线是的图像.所以①错误，②正确； 因为，即，由图可知恰有三个零点，故④正确； 又因为，由图像可知、、时，，即， 又在区间上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 在区间上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 所以、、分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点所以③正确 四、解答题 15．某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最后结果） (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？ (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）这批产品一共有（个），从其中任取10个进行检验，共有种抽取结果. （2）这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有种抽取结果. （3）抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验. 而二等品和三等品共有（个），所以抽不到一等品的抽取结果共有种. （4）恰抽取5个一等品，剩下的5个产品从二等品和三等品中抽取. 分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一等品. 根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果. （5）恰抽到1个一等品，2个二等品，剩下的7个产品从三等品中抽取. 分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品，最后抽取7个三等品. 根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果. （6）“抽取的10个产品中，至少有一个一等品”是“没有抽到一等品”的反面， 因此，用所有的抽取结果数减去没有抽到一等品的结果数即可. 所以至少抽到一个一等品的结果共有种. 16．已知数列的前项和，则 (1)求的值 (2)求的通项公式 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题. （2）由题，.则， 当时，. 又时，.则的通项公式为. 17．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1);(2)极大值为，极小值为. 【详解】（1），． 则. 则函数在点处的切线方程为，化简得． （2）令，解得． 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 0 单调递增 1 单调递减 单调递增 因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为． 18．已知数列满足：，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）已知 ，则当 时： . 将以上 个式子累加可得： ， 即 . 又因为 ，所以 ， 当 时， ，上式也成立. 因此，的通项公式为 . （2）由（1）知 ，则 ． 所以 ， 即 . 19．已知在与处都取得极值. （1）求，的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得：，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）∵，∴. ∵在与处都取得极值， ∴，∴ 经检验，当时，， ∴函数在与处都取得极值，∴； （2）由（1）知：函数在上递减， ∴ ， 又 ∵函数图象的对称轴是， ①：当时：，显然有成立， ∴ . ②：当时：，∴， 解得：， 又∵ ，∴. ③：当时：，∴ ， ∴， 又，∴ 综上所述：， ∴实数的取值范围为 . 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川绵外国语学校2025-2026学年度下期期中检测试卷 高二数学 姓名：___________班级：__________ 一、单选题 1．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 2．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现有4个社团供5名同学选择，则不同的选择方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．在数列中，，，则的值是 A． B． C． D． 4．《易经》是中国传统文化中的精髓之一．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线和四根阴线的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（      ） A． B． C． D． 6．若，则(    ) A． B． C． D． 7．函数 的大致图象是 A． B．C． D． 8．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”，设函数与在上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法 11．在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．所有二项式系数之和为 B．第4项的二项式系数最大 C．所有项的系数的和为 D．的系数是 三、填空题 12．__________. 13．已知是等比数列，，且，则等于______. 14．已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有三个零点. 其中，所有正确结论的序号是_____________ . 四、解答题 15．某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最后结果） (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？ (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ 16．已知数列的前项和，则 (1)求的值 (2)求的通项公式 17．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 18．已知数列满足：，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 19．已知在与处都取得极值. （1）求，的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得：，求实数的取值范围. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $