精品解析：四川阆中东风中学校2025-2026学年高二下学期期中段考数学试卷

阆中东风中学校高2024级高二下段考数学试卷 （满分150分，120分钟） 一、单选题（每题5分；思路不绕弯，单选全通关！） 1. 是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 2. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点个数为（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 5. 数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数图象上一点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 7. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 6 B. C. D. 5 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 二、多选题（每题6分；排除干扰项，选的全对上！） 9. 已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则b是a和c的等比中项. B. 等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比q为1. C. 若满足，（，），则是等比数列. D. 若，（），则是等比数列. 10. 设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（     ） A. B. C. 使>0成立的的最大值为14 D. 为的唯一最大值 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. e是函数定义域内的极小值点. B. 的单调减区间是. C. 若方程（）有两个不同的实根，则. D. 在定义域内无最小值，无最大值. 三、填空题（每题5分，计算不失误，填空全稳住！） 12. 在等差数列中，，，则______． 13. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______. 14. 若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 四、解答题（共77分；书写工整真亮眼，思路清晰步骤全，逻辑严谨不跑偏，语言规范得分满！） 15. 已知是等差数列的前n项和. （1）证明：是等差数列； （2）若，，求数列的前n项和. 16. 已知函数，，且. （1）求的单调区间； （2）求在区间的值域. 17. 已知是数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知数列的前n项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设数列满足（），记的前n项和为，求； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数其中a>0. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围； （3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t,t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3，-1]上的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中东风中学校高2024级高二下段考数学试卷 （满分150分，120分钟） 一、单选题（每题5分；思路不绕弯，单选全通关！） 1. 是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，由，， 得，所以. 2. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点个数为（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由导函数图象可判断的正负性，进而得出函数的单调性，即可判断函数的极值点个数. 【详解】设的零点从左到右依次为， 则当或时，；当或时，， 则在和上单调递减，在和上单调递增， 则的极小值点为，，极大值点为， 故函数的极值点个数为. 故选：C 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 求导得， 代入得． 4. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 5. 数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在数列，，由是递增数列， 得，， 而当时，，则， 所以的取值范围是. 6. 函数图象上一点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数形结合，得出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点处即为到直线的距离最小的点，所以结合导数表示出过点的切线方程，在结合斜率相等求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为． 因为，所以，解得，则切点坐标为． 最短距离为点到直线的距离，即． 故选：C 7. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 6 B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质列式求解. 【详解】令等比数列的公比为，由，得成等比数列， 因此，即，解得或 而，所以. 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 二、多选题（每题6分；排除干扰项，选的全对上！） 9. 已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则b是a和c的等比中项. B. 等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比q为1. C. 若满足，（，），则是等比数列. D. 若，（），则是等比数列. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A，当，且，可知均不为0，根据等比中项定义可得，所以选项A正确； 对于选项B，设等比数列的公比为，由可得，解得或，所以B错误； 对于选项C，当满足时，数列为等差数列， 设数列的公差为，可得，又， 则，所以数列是等比数列，选项C正确； 对于选项D，由，可得，又， 所以， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，选项D正确； 10. 设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（     ） A. B. C. 使>0成立的的最大值为14 D. 为的唯一最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式代入计算，即可得到，从而判断AB，再由即可判断CD. 【详解】根据题意可得，即． 因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确； 对于C，因为，，故C正确； 对于D，因为，所以，又为递减数列， 所以或为的最大值，故D不正确． 故选：ABC 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. e是函数定义域内的极小值点. B. 的单调减区间是. C. 若方程（）有两个不同的实根，则. D. 在定义域内无最小值，无最大值. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用导函数计算单调性及极值判断A，应用单调性判断B，应用极值及数形结合判断C，数形结合判断D. 【详解】对于A，定义域为，，令可得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以是函数的极小值点，A正确； 对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确； 对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e， 当时，，当时，，当时，， 简图如下，由图可知，方程（）有两个不同的实根，则，C正确； 对于D，由选项C可知，在定义域内无最小值，也无最大值，D正确 三、填空题（每题5分，计算不失误，填空全稳住！） 12. 在等差数列中，，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】已知数列是等差数列，则， 则，解得， ， ． 13. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解. 【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故答案为：. 14. 若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立方程，可得答案. 【详解】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为： 四、解答题（共77分；书写工整真亮眼，思路清晰步骤全，逻辑严谨不跑偏，语言规范得分满！） 15. 已知是等差数列的前n项和. （1）证明：是等差数列； （2）若，，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，证明是等差数列即可； （2）根据等差数列的概念，求出数列首项和公差，再根据等差数列前n项和公式，求出结果即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， ∵， ∴， ∴， ∴是以为首项，以为公差的等差数列. 【小问2详解】 由题意得，，， 数列的公差，首项， 所以. 16. 已知函数，，且. （1）求的单调区间； （2）求在区间的值域. 【答案】（1）单调递减区间是，的单调递增区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数求导运算法则，求出函数导数，根据导数值求出参数值，进而判断函数导数的正负，求出函数单调区间； （2）根据函数在定义域上的单调性，求出函数最大值和最小值，求出函数值域. 【小问1详解】 的定义域为，， 因为，所以； 所以，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 由（1）知时，单调递减；时，单调递增. 在处取得极小值， 又，， 所以在区间的值域为. 17. 已知是数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用可得最后一项，再检验首项，即可得通项公式； (2)利用裂项相消法即可求和. 【小问1详解】 由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有， 也符合上式， 所以； 【小问2详解】 当时，有 当时，有， 所以有 . 18. 已知数列的前n项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设数列满足（），记的前n项和为，求； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出的递推关系，进而求出通项公式； （2）先求出，再利用错位相减法求前n项和； （3）先转化不等式，再分类讨论求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知①，当时，，， ， 当时，②， 由①减②得（），且， ，故（）， 又， 是首项为，公比为的等比数列， ． 【小问2详解】 由，得， ， ， 两式相减得 ， ． 【小问3详解】 由得，即恒成立， 时，恒成立，恒成立，得； 时，； 时，，，时，，得； 综上可得． 19. 已知函数其中a>0. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围； （3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t,t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3，-1]上的最小值． 【答案】（1）单调递增区间是，；单调递减区间是 （2） （3） 【解析】 【详解】（1）解： 由，得 当x变化时，，的变化情况如下表： x -1 a + 0 - 0 + 极大值 极小值 故函数的单调递增区间是，；单调递减区间是. （2）解：由（1）知在区间内单调递增，在内单调递减，从而函数在区间内恰有两个零点当且仅当，解得. 所以，a的取值范围是. （3）解：a=1时，.由（1）知在区间内单调递增，在内单调递减，在上单调递增. （1）当时，，，在上单调递增，在上单调递减.因此，在上的最大值，而最小值为与中的较小者.由知，当时，，故，所以.而在上单调递增，因此.所以在上的最小值为. （2）当时，，且. 下面比较的大小由在，上单调递增， 有 又由，， 从而， 所以 综上，函数在区间上的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $