精品解析：2026年山东省日照市新营中学九年级中考模拟测试数学试卷

初三数学综合模拟 一、选择题 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加得，，∴A错误． 选项B：与不是同类项，不能合并，，∴B错误． 选项C：根据平方差公式计算：，∴C错误． 选项D：根据积的乘方与幂的乘方法则计算：，等式左右相等，∴D正确． 4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 5. 公园里有一个对角线互相垂直的四边形景观水池，工作人员打算在水池四边的中点位置安装景观灯，并将这些灯用灯带连接起来，形成一个新的四边形灯带造型，四边形灯带造型的形状一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理先证明所得四边形为平行四边形，再结合原四边形对角线互相垂直的条件，得到平行四边形有一个内角为直角，根据矩形定义即可得出结论． 【详解】解：如图，设任意四边形中，对角线，分别是的中点， ∵分别是的中点， 是的中位线， ∴，且， 同理可得，且，，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 即四边形灯带造型的形状一定是矩形． 6. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 先画出树状图，展示所有等可能的结果，再找出只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的结果有种， 只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的概率， 故选：． 7. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米．”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多修，结果提前天完成 B. 每天比原计划多修，结果延期天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前天完成 【答案】A 【解析】 【分析】根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 【详解】解：设实际每天整修道路，则表示原计划修多少米，即实际比原计划多修， ∴表示的是原计划修的天数， ∴表示实际修的天数， ∴表示原计划的天数减去实际的天数等于天，即提前天完成， ∴题目中用“……”表示的条件应是“每天比原计划多修，结果提前天完成”， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键． 8. 如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由图象可知：轴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦切小圆于点C，大圆的弦交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得的长，乙测得的长，丙测得与的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，根据垂径定理和勾股定理即可说明甲、乙同学可以测出阴影部分的面积；过点O作于点G，连接，，根据垂径定理和勾股定理即可说明丙同学可以测出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵与相切于点C， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵阴影部分的面积为：， ∴测出的长，即可求出阴影部分的面积，故甲同学符合题意； ∵， ∴阴影部分的面积为：， ∴测出的长，即可求出阴影部分的面积，故乙同学符合题意； 如图，过点O作于点G，连接，， 则，， 根据勾股定理得：，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为：， ∴测出和的长，即可求出阴影部分的面积，故丙同学符合题意； 综上，可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是甲、乙、丙． 10. 如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，结合菱形的性质得，，，进一步判定，有，根据题意可知点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，则和，结合图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，解得、和，利用勾股定理求得为，即可得到点E的信息；当点Q在线段运动时，同理可得，，，和，则，利用勾股定理求得，代入点即可． 【详解】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图， ∵菱形中，， ∴，，，， ∴为等边三角形． 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动， 由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则， 那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合， 当点Q在线段运动时， ∴，，， ∴，解得，， 则， 那么，为 ， 当时即为图2的点E，， 当时，， 当点Q在线段运动时， 同理可得，，， ∴，， 则， 那么，为 ， 当时，， 故选∶B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题的关键是应用动态的思想找到菱形的边长． 二、填空题 11. 因式分解____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 12. 如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题需分情况讨论方程的类型，当时方程为一元一次方程，当时方程为一元二次方程，结合判别式与根的关系求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，原方程化为，该方程为一元一次方程，有实数根，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程， 因为方程有实数根， 所以根的判别式， 即， 解得，此时． 综上，的取值范围为． 13. 如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形性质，结合相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，，，则， ， 则， ， ， ， ． 14. 在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则，根据正六边形的性质可得为等边三角形，，从而得到， ，进而得到，，继而得到，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则， ∵正多边形为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， ， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， 即螺纹孔的半径为， ∴螺纹孔的直径为． 15. 如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的对称点，连接、，则，过点作，交延长线于点，可得，可得的最小值为，过点作，交于，过点作于点，证明是等腰直角三角形，得出，证明，得出，利用外角性质得到，由等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的对称点，连接、，过点作，交延长线于点， ∴， ∵为角平分线上一动点， ∴点在射线上， ∴， ∴的最小值为，此时、重合，、、三点在同一条直线上， 过点作，交于，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 三、解答题 16. 计算与化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算零指数幂、负整数指数幂、取绝对值和特殊角的三角函数值，再去括号，最后用实数加减运算法则求解即可； （2）先由分式混合运算化简，再将恒等变形后，整体代入即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 由可得， 原式． 17. 某校为了解七，八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七，八年级学生进行了测试，现从七，八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 数据收集： 七年级：82，83，78，89，96，98，84，65，73，72，85，70，85，92，93 八年级：93，77，88，85，73，88，90，79，94，88，69，56，93，90，82 数据整理： 分数段 七年级 1 4 4 八年级 2 3 5 5 数据分析： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 85 八年级 83 88 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）___________，___________； （2）请从中位数的角度推断哪个年级的测试成绩较好； （3）该校七，八年级均有600名学生，测试成绩在分的学生可以获得奖励，估计七，八年级可以获得奖励的学生人数． 【答案】（1）6；84 （2）八年级成绩较好，理由： 平均数相同，八年级成绩的中位数大于七年级，说明八年级分数不低于88分的比较多， 八年级成绩较好； （3）360人 【解析】 【分析】（1）根据给出的数据，得出时m的值；根据中位数的定义得n的值； （2）比较两个年级的平均数、众数和中位数即可； （3）用样本估计总体． 【小问1详解】 解：七年级成绩在中的有：82、83、89、84、85、85，共6个， 所以； 七年级的成绩从小到大排列：65、70、72、73、78、82、83、84、85、85、89、92、93、96、98，排在中间的数是：84， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 故估计七，八年级可以获得奖励的学生人数为360人． 18. 科技改变生活，随着自动驾驶技术的不断升级，对高精度传感器的需求日益增加．某自动驾驶技术公司需要采购A，B两种型号的激光雷达传感器．已知用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等，且B型激光雷达传感器的单价比A型激光雷达传感器的单价多400元． （1）求A，B两种型号激光雷达传感器的单价各是多少元？ （2）该公司需要购买A，B两种型号的激光雷达传感器共20个，且购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍．求购买A，B两种型号的激光雷达传感器各多少个时，总费用最少？总费用最少是多少元？ 【答案】（1）型激光雷达传感器的单价是600元，型激光雷达传感器的单价是1000元 （2）购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个，总费用最少，总费用最少是18000元． 【解析】 【分析】（1）设型激光雷达传感器的单价是元，则型激光雷达传感器的单价是元，根据“用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等”，列分式方程求解即可； （2）设购进型激光雷达传感器个，根据“购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍”列不等式求出m的取值范围，设总费用为元，求出w关于m的一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解即可。 【小问1详解】 解：设型激光雷达传感器的单价是元，则型激光雷达传感器的单价是元． 由题意得 解得 经检验，是原方程的解 （元） ∴型激光雷达传感器的单价是元，型激光雷达传感器的单价是元． 【小问2详解】 解：设购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个． 由题意得 解得 设总费用为元 ∵ ∴随的增大而减小 ∵ ∴当时，取得最小值，最小值为元 （个） ∴购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个时，总费用最少． 总费用最少是元． 19. 如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】（1）5 （2）证明：由作图可知：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是矩形， ， 、， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 是的外角， ， 即． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质设，则，由作弧可得，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）由作图可知是线段的垂直平分线，则，进而得到，根据矩形的性质得到，结合等腰三角形的性质得到，设，则，，进而求出，根据三角形外角和定理得到，从而得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， 、、， 设，则， 以为圆心，长为半径作弧，交于点， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的长为5； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查矩形的性质、垂直平分线的尺规作图和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和、外角和定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 20. 一辆汽车停放于积水水平路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎截面与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），已知轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的交线长度为． （1）求轮胎的半径； （2）如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（轮胎截面与斜坡相切于点），连接并延长交水平地面于点，已知． ①_________； ②求车轮轮胎中心到水平地面的距离长（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）． 【答案】（1）厘米 （2）①；②厘米 【解析】 【分析】（1）连接交于，根据切线的性质、平行线的性质可得出，根据垂径定理求出，设轮胎的半径为，在中，根据勾股定理可得出，解方程即可求解； （2）①在中，由正切函数定义列式计算即可；②先由“字形”的两个三角形角度关系得到，再由余弦函数定义列式得到，然后求出长，代入计算即可． 【小问1详解】 解：连接交于，连接，如图所示： ∵轮胎与地面相切于点， 垂直于地面， 平行地面， ， ∴， 设轮胎的半径为， 在中，，则由勾股定理可得， ，解得， ∴轮胎的半径为； 【小问2详解】 解：①∵轮胎截面与斜坡相切于点， ， 在中，，则； ②如图所示： 则，，， ， 在中，，则， 由（1）知轮胎的半径为；由①知；则， ． 21. 【课本再现】 推论 直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 【知识应用】 （2）如图，内接于，D是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心O作的平行线交的延长线于点E，若的半径为2，且，求的长度． 【答案】（1）直角； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，正确理解圆周角定理是解决此题的关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得结论； （2）①由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论； ②设，则，，由勾股定理求出，得，再由平行线分线段成比例定理可得结论． 【详解】解：（1）直径所对的圆周角是直角； 故答案为：直角； （2）①略 ②解：设，则，， ∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 解得，（舍去），或， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得，． 22. 已知抛物线（为常数）经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点恰为线段的中点，求的值； （3）直线：（为常数），向下平移9个单位长度得到直线．设，抛物线的一段夹在直线，之间，求的最大值． 【答案】（1） （2）的值为 （3）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解； （2）设，可得，再根据二次函数的对称性可得，即得，进而代入到函数解析式解答即可求解； （3）由直线与抛物线相切时得，即得此时直线：，得到直线：，再由得，，即得，时取最大值，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得 解得： 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， 点恰为线段的中点， ， 抛物线， 对称轴为直线， 点、关于对称轴对称， ， 解得， 当时，， 的值为； 【小问3详解】 解：当直线与抛物线相切，即只有一个交点时，的值最大，如图， ， 即， 由，解得， 此时直线：， 直线：向下平移9个单位长度得到直线， 直线： 由，解得，， ， 当，时， 的最大值. 23. 综合与探究 【探索发现】如图1，在数学活动中，小组同学用尺规作出的五等分点、、、、后，顺次连接、、、、，其中与、分别交于点、． （1）同学们测量发现，，请用数学知识说明理由； （2）已知，求长； 【抽象定义】 像图1这样，等腰与等腰有公共边，且在等腰中，边所对的等于等腰的顶角，则称为“双等三角形”； 类似地，若以等腰三角形的一边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，若两个等腰三角形组成一个四边形，则称该四边形为“双等四边形”． 【拓展应用】 （3）如图2，在等腰直角中，，，以为斜边作等腰直角，．则四边形_______（填“是”或“否”）双等四边形； （4）如图3，在等腰三角形中，，，以为一边向外作等腰，使四边形是“双等四边形”，求的长． 【答案】（1） 解：∵点、、、、是的五等分点， ∴， ∴； （2） （3）是 （4）或5或 【解析】 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等解答即可； （2）先证明，设，则，．证明得，代入数据求解即可； （3）根据“双等四边形”的定义分析即可； （4）分三种情况求解即可：当时，当时，当时． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：∵原等腰直角三角形的顶角，以为斜边作等腰直角中，所对的角， ∴四边形是双等四边形； 【小问4详解】 解：当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 则； 当时，如图， 作于点E，作于点F，作于点H， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知，的长为或5或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学综合模拟 一、选择题 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 公园里有一个对角线互相垂直的四边形景观水池，工作人员打算在水池四边的中点位置安装景观灯，并将这些灯用灯带连接起来，形成一个新的四边形灯带造型，四边形灯带造型的形状一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的概率是（ ） A. B. C. D. 7. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米．”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多修，结果提前天完成 B. 每天比原计划多修，结果延期天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前天完成 8. 如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦切小圆于点C，大圆的弦交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得的长，乙测得的长，丙测得与的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 10. 如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 二、填空题 11. 因式分解____________． 12. 如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是________． 13. 如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，则________． 14. 在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 15. 如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为_______． 三、解答题 16. 计算与化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中是方程的根． 17. 某校为了解七，八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七，八年级学生进行了测试，现从七，八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 数据收集： 七年级：82，83，78，89，96，98，84，65，73，72，85，70，85，92，93 八年级：93，77，88，85，73，88，90，79，94，88，69，56，93，90，82 数据整理： 分数段 七年级 1 4 4 八年级 2 3 5 5 数据分析： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 85 八年级 83 88 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）___________，___________； （2）请从中位数的角度推断哪个年级的测试成绩较好； （3）该校七，八年级均有600名学生，测试成绩在分的学生可以获得奖励，估计七，八年级可以获得奖励的学生人数． 18. 科技改变生活，随着自动驾驶技术的不断升级，对高精度传感器的需求日益增加．某自动驾驶技术公司需要采购A，B两种型号的激光雷达传感器．已知用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等，且B型激光雷达传感器的单价比A型激光雷达传感器的单价多400元． （1）求A，B两种型号激光雷达传感器的单价各是多少元？ （2）该公司需要购买A，B两种型号的激光雷达传感器共20个，且购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍．求购买A，B两种型号的激光雷达传感器各多少个时，总费用最少？总费用最少是多少元？ 19. 如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 20. 一辆汽车停放于积水水平路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎截面与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），已知轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的交线长度为． （1）求轮胎的半径； （2）如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（轮胎截面与斜坡相切于点），连接并延长交水平地面于点，已知． ①_________； ②求车轮轮胎中心到水平地面的距离长（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）． 21. 【课本再现】 推论 直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 【知识应用】 （2）如图，内接于，D是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心O作的平行线交的延长线于点E，若的半径为2，且，求的长度． 22. 已知抛物线（为常数）经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点恰为线段的中点，求的值； （3）直线：（为常数），向下平移9个单位长度得到直线．设，抛物线的一段夹在直线，之间，求的最大值． 23. 综合与探究 【探索发现】如图1，在数学活动中，小组同学用尺规作出的五等分点、、、、后，顺次连接、、、、，其中与、分别交于点、． （1）同学们测量发现，，请用数学知识说明理由； （2）已知，求长； 【抽象定义】 像图1这样，等腰与等腰有公共边，且在等腰中，边所对的等于等腰的顶角，则称为“双等三角形”； 类似地，若以等腰三角形的一边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，若两个等腰三角形组成一个四边形，则称该四边形为“双等四边形”． 【拓展应用】 （3）如图2，在等腰直角中，，，以为斜边作等腰直角，．则四边形_______（填“是”或“否”）双等四边形； （4）如图3，在等腰三角形中，，，以为一边向外作等腰，使四边形是“双等四边形”，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $