上海市川沙中学2025-2026学年第二学期高一数学期中试卷

**基本信息** 高一数学期中卷覆盖函数、向量、复数等核心知识，解答题设置解三角形应用、新定义“函数”等综合题，体现数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/36|函数周期、向量平行、复数运算等|基础巩固，如向量数量投影考查数学眼光| |选择题|4/12|异面直线条件、三角函数性质|逻辑辨析，如充分必要条件考查数学思维| |解答题|5/52|向量计算、复数方程、解三角形应用等|分层提升，如景区花园面积问题体现数学建模，新定义“函数”考查创新意识|

上海市川沙中学2025学年第二学期高一数学期中试卷 （满分100分，考试时间90分钟 ） 一、填空题（本大题共12题，每题3分） 1. 函数的最小正周期为__________. 1. 若空间中两条直线确定一个平面，则的位置关系为__________. 1. 复数满足，则__________. 1. 向量平行于，则实数的值为__________. 1. 函数的定义域是__________. 1. 向量在方向上的数量投影为__________. 1. 已知（，），若，满足，且的最小值为，则__________. 1. 已知：二次方程（）有实数根，则的值是__________. 1. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为__________. 1. 已知正六边形的边长为，点在其内部（包含边界），则的取值范围是__________. 1. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是__________. 1. 已知平面向量满足，若关于的方程有实数解，则△面积的最大值为__________. 二、选择题（本大题共4题，每题3分） 1. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 1. 下列函数中，以为周期，且在区间上严格单调递增的是（ ） A. B. C. D. 1. 在中，，，为中点，点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1. 如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 已知向量与的夹角为，且，. （1）求的值； （2）若，求实数的值. 18. 关于的方程. （1）若是方程的一个虚根，求，的值； （2）若是方程的两个根，且，求的值. 19. 如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在路口的两条公路，之间建造三角形花园，已知，花园的两外两个顶点分别在两点（沿着公路且异于点），为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道，已知观景通道长，记，. （1）试用表示出，，以及此花园的面积； （2）为多少时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 20. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； （3）在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由. 21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”. （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求当时，函数的解析式，并求在上的严格增区间； （3）在（2）条件下： ①写出函数（）的解析式； ②当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的所有可能值. 学科网（北京）股份有限公司 $