精品解析：安徽临泉第一中学2026届高三下学期4月月考数学试题

高三4月23-24日数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 5. 现要把6个不同的苹果平均地分装入3个不同的盒子中．这6个苹果中有4个是一级果，2个是二级果，则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设数列的前项和为，若且，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2026 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过上一点作的切线，再过点作的垂线与轴交于点，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2026年F1中国大奖赛上海站正赛于3月15日圆满落幕．已知某车手在比赛中单圈的完成时间服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则 ． A. 该车手单圈完成时间的均值为94秒，标准差为4秒 B. 该车手单圈完成时间在秒内的概率约为0.6827 C. 该车手单圈完成时间在秒内的概率约为0.9545 D. 该车手单圈完成时间超过102秒的概率约为0.02275 10. 已知双曲线关于轴、轴均对称，若过点，则的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 11. 对于由个正整数组成的集合，设为集合中所有元素的和，定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合是“完全集合”．下列说法正确的是（ ） A. 是完全集合 B. 对于确定的正整数，能使所有元素从小到大成等差数列的完全集合是唯一的 C. 若，则是完全集合 D. 若是完全集合，且，则中的元素个数的最小值为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为______ 13. 已知曲线和，从曲线上一点分别向轴与轴引垂线，分别交曲线于点和，则点到直线距离的最大值为___________． 14. 如图，水平地面上垂直立着一块木板，木板上有一个椭圆形的洞，木板一侧有一个点光源，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆），点在地面上的射影为与交于点．若，且，圆的半径为，则木板上椭圆形洞的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）求的前项和． 16. 如图，在三棱锥中，是棱的中点． （1）求证：； （2）若平面平面，且的面积为，求二面角的余弦值． 17. 设函数． （1）若，证明：在区间上有一个极大值点和一个极小值点； （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程． （2）记的左、右焦点分别为，设斜率不为0的直线与交于两点在左侧），满足直线的斜率互为相反数． （i）设交轴于点，且的面积与的面积相等，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，求点的轨迹方程．（求出方程即可，不用说明范围） 19. 某短视频平台有两位博主甲和乙．初始时，关注甲的粉丝有人，关注乙的粉丝有人．平台有如下的推流机制：每天，平台从甲和乙中随机选取一位博主，通过推流使其增加个粉丝，选中甲和乙的概率之比等于其当前的粉丝数量之比．假设每天的选择相互独立，且不考虑粉丝流失．设经过天后，关注甲的粉丝数为． （1）若，求的分布列及数学期望； （2）设事件表示“在天中，特定的天选中甲，其余（n-k）天选中乙”，试说明无论选中甲的是哪天，的值都相等，并求的表达式； （3）求的分布列与数学期望．（用表示）可能用到的结论：设为随机变量，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三4月23-24日数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用一元二次不等式及分式不等式的解法求解两个集合，然后再求交集. 【详解】因为集合， 所以可得， 因此． 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角公式，列方程求解． 【详解】解：，且， ，即， 解得． 4. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先使用诱导公式求解出角,再使用余弦定理求解出. 【详解】由题意可知， 由余弦定理得，即，解得（负值舍去）． 5. 现要把6个不同的苹果平均地分装入3个不同的盒子中．这6个苹果中有4个是一级果，2个是二级果，则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知不同装法的总数为， 事件：“恰好有一个盒子中均为一级果”对应的装法数为， 因此事件发生的概率，故选项D正确． 6. 设数列的前项和为，若且，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得的奇数项及偶数项成等差数列，结合得到，进而得到（n为偶数），即可求解． 【详解】由，可知的奇数项依次为， 偶数项依次为， 所以， 又， 所以，解得， 故的偶数项依次为，即（n为偶数）， 因此． 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，解得． 8. 已知抛物线的焦点为，过上一点作的切线，再过点作的垂线与轴交于点，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出点横坐标，再利用导数的几何意义可得直线的斜率，再根据直线与垂直可得直线的倾斜角，利用求解的值. 【详解】如图，不妨设点在第一象限，过点作轴的平行线. 根据抛物线的光学性质，直线与关于直线对称，所以. ，是边长为8的等边三角形，可得点的横坐标为. 将抛物线方程写成，则. 故点处切线斜率. 由，可得直线的倾斜角为，即，得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2026年F1中国大奖赛上海站正赛于3月15日圆满落幕．已知某车手在比赛中单圈的完成时间服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则 ． A. 该车手单圈完成时间的均值为94秒，标准差为4秒 B. 该车手单圈完成时间在秒内的概率约为0.6827 C. 该车手单圈完成时间在秒内的概率约为0.9545 D. 该车手单圈完成时间超过102秒的概率约为0.02275 【答案】ABD 【解析】 【详解】解：已知，则，，． 对于A，均值为94，标准差为4，符合参数定义，故A正确； 对于B，从而，故B正确； 对于C，从而，故C错误； 对于D，故D正确． 10. 已知双曲线关于轴、轴均对称，若过点，则的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况，把点代入得到关系求出离心率范围即可． 【详解】解：若焦点在轴上，设双曲线方程为， 代入，整理可得， 所以， 从而离心率； 若焦点在轴上，设双曲线方程为， 代入，整理可得， 所以， 从而离心率． 综上可知． 11. 对于由个正整数组成的集合，设为集合中所有元素的和，定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合是“完全集合”．下列说法正确的是（ ） A. 是完全集合 B. 对于确定的正整数，能使所有元素从小到大成等差数列的完全集合是唯一的 C. 若，则是完全集合 D. 若是完全集合，且，则中的元素个数的最小值为10 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据“完全集合”的定义即可判断A；根据题意存在，继而可推出只能是，进而可判断B；设中的元素从小到大依次为，可得，进而得到即可判断C；由“完全集合”的定义，结合使完全集合的元素尽可能少，得出即可判断D． 【详解】解：对于A，容易验证，都可以被中的元素及其和覆盖到， 符合完全集合的定义，故A正确； 对于B，根据完全集合的定义，必存在，则， 要使中元素从小到大成等差数列，只能是，因此这样的完全集合是唯一的，故B正确； 对于C，设中的元素从小到大依次为，由于，而， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 因为，所以，易知该集合是完全集合，故C正确； 对于D，要使完全集合的元素尽可能少，需要让每个元素尽可能“高效”地覆盖连续的正整数， 设中的元素从小到大依次为， 最优的策略：令表示前项和），即，， 此时， 即只有10个元素不满足条件，只需再加上1003， 即， 此时有，且都可以被中的元素及其和覆盖到， 因此中的元素最少有11个，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式把转化为含有的二次型函数，再根据的范围求值域. 【详解】， 因为， 当时，取最大值，最大值为； 当时，取最大值，最大值为. 所以的值域. 故答案为：. 13. 已知曲线和，从曲线上一点分别向轴与轴引垂线，分别交曲线于点和，则点到直线距离的最大值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】设，进而得到坐标，计算出的边长，结合等面积法求距离即可． 【详解】解：设，则，则， 可知到直线的距离即的边上的高． 因为（当且仅当时取等号）， 所以． 14. 如图，水平地面上垂直立着一块木板，木板上有一个椭圆形的洞，木板一侧有一个点光源，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆），点在地面上的射影为与交于点．若，且，圆的半径为，则木板上椭圆形洞的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意作出平面图，利用相似得到椭圆形洞的高和宽，即对应椭圆长轴和短轴，进而根据定义求离心率即可． 【详解】解：如图1， 在竖直平面内，由相似关系可得， 代入已知数据，得， 所以椭圆形洞的高为． 如图2， 连接A与的中点交AC于G，则， 如图3， ，， 所以椭圆形洞的宽为． 故在椭圆中，，所以离心率． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义和通项公式得到的关系式，利用的关系式求出； （2）利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 由题意知，所以，即， 将替换为，得， 两式相减，得． 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 16. 如图，在三棱锥中，是棱的中点． （1）求证：； （2）若平面平面，且的面积为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可证平面，得到，结合为的中点即可求证； （2）根据题意可得，结合的面积为，求出，再以为坐标原点建立空间直接坐标系，利用空间向量法求二面角即可． 【小问1详解】 解：由于为的中点，，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 因此，又为的中点，则为等腰三角形， 因此； 【小问2详解】 由（1）可知，二面角的平面角为， 所以． 又，设，则， 又，所以， 解得或． 由对称性，不妨取前者，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向 建立空间直角坐标系，如图所示， 从而． 设平面的法向量为， 则，不妨取，则． 易知平面的一个法向量为， 设二面角为， 易知，故． 17. 设函数． （1）若，证明：在区间上有一个极大值点和一个极小值点； （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】(1)先对函数求导，把有一个极大值点和一个极小值点问题转化为求解导函数的零点的问题，构造函数，再次求导，通过导数对的单调性分析，使问题得到求解； (2)对不等式进行变形转化求解在上恒成立的问题，构造函数，讨论参数对函数单调性的影响，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 当时，，则， 设，则， 由于与在区间上均单调递增，因此在上单调递增， 又，因此存在，使得， 且在区间上单调递减，在区间上单调递增． 即在区间上单调递减，在区间上单调递增． 又， 所以在上有一个零点， 在上有一个零点，可得在区间上单调递增， 在上单调递减， 因此在区间上存在一个极大值点，一个极小值点． 【小问2详解】 由题意可知， 令，则， ①当时，， 记的导数为，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上单调递减． 要使在上恒成立，只需要，所以． ②当时，由可得 由可知 ， 设，则， 函数在上单调递减， 所以，当时，单调递减，所以，即， 又， 所以,，符合题意． 综上，的取值范围是． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程． （2）记的左、右焦点分别为，设斜率不为0的直线与交于两点在左侧），满足直线的斜率互为相反数． （i）设交轴于点，且的面积与的面积相等，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，求点的轨迹方程．（求出方程即可，不用说明范围） 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据离心率和过点求出基本量后可得椭圆的方程； （2）（i）设，直线，联立得到，利用直线的斜率互为相反数得到，再由的面积与的面积相等得到，进而求出即可； （ii）设，用表示出点坐标，再代入椭圆方程即可求解． 【小问1详解】 解：设的半焦距为． 由已知可得，因此， 又过点，所以， 解得， 因此的方程为． 【小问2详解】 （i）由（1）知． 设，直线， 联立与的方程可得， ，即， 从而． 因为直线的斜率互为相反数，即， 可得， 即， 整理得到，又，从而，即． 由的面积与的面积相等可得， 所以， 得，联立解得， 故的方程为，即． （ii）设， 则， 可得，得，代回上面的方程组，可得，即． 将的坐标代入的方程，得，整理得， 即点的轨迹方程为． 19. 某短视频平台有两位博主甲和乙．初始时，关注甲的粉丝有人，关注乙的粉丝有人．平台有如下的推流机制：每天，平台从甲和乙中随机选取一位博主，通过推流使其增加个粉丝，选中甲和乙的概率之比等于其当前的粉丝数量之比．假设每天的选择相互独立，且不考虑粉丝流失．设经过天后，关注甲的粉丝数为． （1）若，求的分布列及数学期望； （2）设事件表示“在天中，特定的天选中甲，其余（n-k）天选中乙”，试说明无论选中甲的是哪天，的值都相等，并求的表达式； （3）求的分布列与数学期望．（用表示）可能用到的结论：设为随机变量，有． 【答案】（1）的分布列为： （2）求出概率即可判断， （3） 分布列为. 【解析】 【分析】（1）求出的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望； （2）先写出任意一种该情况的概率表达式，通过化简观察是否与选中甲的具体天数无关，以此说明概率值相等； （3）先分析天中选中甲的天数的可能取值，结合（2）的结论得到对应的概率，利用数学期望的线性性质求解离散型随机变量的概率、期望． 【小问1详解】 由题可知的所有可能取值为． 可知， 因此的分布列为： 从而． 【小问2详解】 不妨先考虑前天均选中甲，记为第天甲被选中， 则， 后天选中乙，设第天选中乙为事件， 则 则 无论哪天选甲，上式分子中甲的部分总是， 分子中乙的部分总是， 分母总是． 因此，无论选中甲的是哪天，的值都相等， 其表达式为． 【小问3详解】 经过天后，若甲被选中次，则， 甲被选中次的情况共有种，由（2）知，每一种甲被选中次的事件发生的概率均为， 当时，． 当时，． 当时， 即分布列为. 若天后，甲的粉丝数量为，则第天甲有的概率增加个粉丝， 所以， 所以， 其中表示初始粉丝数量，即， 累乘得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $