安徽省临泉第二中学2025-2026学年高三下学期3月模拟数学试题

2026届高三数学模拟卷 分值：150 分 时间：120 分钟 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1.已知集合，，则( ) A. B.或 C. D.或 2.在的展开式中，含项的系数为( ) A.-5 B.5 C.-10 D.10 3.在中，，的平分线AD交BC于点D，的面积是面积的3倍，则( ) A. B. C. D. 4.在中，点M在平面ABC内，且满足，命题，命题，则P是Q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.热情境指数衰减的学习率模型在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（D为常数），其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型中，，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据）( ) A.31 B.32 C.33 D.34 6.椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则( ) A. B. C. D. 7.已知数列满足，，，若数列的前n项和为，不等式恒成立，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.如图，在长方体中，，，点M，N分别在四边形、四边形内运动（不与长方体的顶点重合），若，，且M，N，A，都在球O上，则球O的表面积的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知是单位向量，且，则( ) A. B.与垂直 C.与的夹角为 D. 10.已知直线a，b，c两两异面，且，，下列说法正确的是( ) A.存在平面，，使，，且， B.存在平面，，使，，且， C.存在平面，使，，且 D.存在唯一的平面，使，且a，b与所成角相等 11.已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为偶函数，则( ) A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知i是虚数单位，化简的结果为__________. 13.已知正实数满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是________________. 14.已知函数若函数有4个零点.则实数m的取值范围是____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图，在四棱锥中，，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且，. （1）求. （2）在线段上是否存在点F，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 16.（15分）已知的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知. (1)求A； (2)若角A 的平分线交 BC于点D， 在下列两个问题中选择一个作答: ①若， 求的周长； ②若的面积为面积的两倍， 求AD 的长. 17.（15分）某校为庆祝建校百年组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为，，.甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为，，. （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率. （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误一题得分，设该校友回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望. （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于n，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？请说明理由. 18.（17分）设，分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C短轴的一个顶点，已知的面积为，. （1）求椭圆C的方程； （2）如图，M，N，G是椭圆C上不重合的三点，原点O是的重心，求点M到直线的距离的最大值. 19.（17分）已知函数，（e是自然对数的底数）. （1）若存在，成立，求实数a的取值范围； （2）若对任意的，存在，有，求实数a的取值范围. 答案及解析 1.答案：B 解析：由得，故， 由得或，故或， 从而或，故选B. 2.答案：C 解析：展开式的通项公式为，令可得，则的系数为.故选C. 3.答案：A 解析：如图，，即，过C作，交BA的延长线于点H，则. 则，故选A. 4.答案：A 解析：若，则，由向量的线性运算法则，可得，因为，所以，，所以，所以P是Q的充分条件；若，得，代入，得，所以，得，当时，，此时不成立，所以P不是Q的必要条件.故选A. 5.答案：D 解析：由题可得，指数衰减的学习率模型为，所以根据已知条件可得，① ，② 用②式除以①式可得， 化简可得， 将代入①式中可得， 所以指数衰减的学习率模型为. 当学习率衰减到0.05以下时，即. 化简上述不等式得，所以. 因为n为正整数，所以n的最小值为34.故选D. 6.答案：B 解析：由知.设，，则有，①，则，即，则，即②，由①②得，，，则，由，得，整理得，即.故选B. 7.答案：D 解析：因为数列满足，， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，记， 则，即 当n为偶数时，， 当n为奇数时，， 因为不等式恒成立，即， 所以， 所以，， 所以解得，所以的取值范围为. 故选：D. 8.答案：D 解析：如图，由已知条件可得外接圆的圆心E为的中点， 取的中点F，连接，则平面，平面， 且球心O在线段上. 设球O的半径为R，，连接，，，则， ，故，故. 因为，所以点N在以为直径的圆上， 故的取值范围为，故x的取值范围为，则的取值范围为， 又球O的表面积，故球O的表面积的取值范围为. 9.答案：BC 解析：由，得，所以A选项错误； 因为是单位向量，所以，得，所以B选项正确； 由，所以，所以D选项错误；设与的夹角为，则，， 所以与的夹角为，所以C选项正确.故选BC. 10.答案：ABC 解析：对于A，平移直线b到与直线a相交，设平移后的直线为， 因为，所以，设直线a，确定的平面为， 则，，直线和a相交，所以，同理可得，故A正确； 对于B，平移直线c到与直线a相交，设平移后的直线为，设直线a，确定的平面为， 因为，且，所以，同理可得，故B正确； 对于C，同时平移直线b和直线a，令平移后的直线相交.设平移后的直线为，， 因为，，所以，，设直线，确定的平面为，则，，且，故C正确； 对于D，由对称性可知，存在两个平面，使，且a，b与所成角相等，故D错误.故选ABC. 11.答案：BC 解析：因为，均为偶函数， 所以，. 令，则，所以，即. 对两边求导，得，即，所以的图象关于点对称，即. 又因为，所以的图象关于直线对称， 所以函数的周期为，所以，所以B正确. 因为，所以，其中C为常数， 所以，所以的图象关于点对称. 又因为，所以的图象关于直线对称， 所以函数的周期为，所以，. 又因为，所以，所以，所以C正确. 的图象不关于直线对称，所以D错误. 因为，所以当时，，当时，，所以A错误.故选BC. 12.答案： 解析：. 13.答案： 解析：因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 14.答案： 解析：当且时，， ，当且时，； 当时，. 故在，上单调递减，在上单调递增. 当时，取得极小值，当时，； 当时，，当时，由解析式可知， 为奇函数，作出的大致图象如图所示. 令，得，设，， 得到关于t的方程， 则恒成立，设式的2个不等实根为，， 当，，即时，满足题意； 当或时，满足题意. 方法一：令，则或 故或. 综上，实数m的取值范围是. 方法二：（＊）式化为，令，易知在，上单调递增， 且，，，作出的大致图象如图所示. 当或时，满足或 综上，实数m的取值范围是. 15.答案：（1）4 （2） 解析：（1）如图，过点E作于点G， 依题意可得， 因为，所以， 所以，即. 又，所以在中，由余弦定理得， 所以， 所以，所以. 又，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以. （2）由（1）知平面，因为平面， 所以平面平面. 以点E为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴， 过点E且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 故，. 假设存在满足条件的点F，设， 则 . 易知平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则， 整理得，得或（舍去）， 故存在满足条件的点F，且. 16.答案： (1) (2)见解析 解析: (1)因为， 且， 所以， 由正弦定理得 因为， 所以， 即. 因为A 是 的内角， 所以. (2)若选择问题(1)若， 求的周长因为角A 的平分线交BC 于点D， 所以， 由 得， 因为， 所以， 即. 由 (1) 可知， 结合余弦定理可得， 即， 所以， 即 ， 又因为， 所以， 所以， 所以 的周长为18 . 若选择问题 (2)若 的面积为 面积的两 倍， 求AD 的长 因为角A 的平分线交 BC于点D， 所以，， 由 (1) 可知， ， 结合余弦定理可得 ， 从而 ， 又， 即， 结合 可得， ，， 设， 由， 所以， 解得. 17.答案：（1） （2），分布列见解析 （3） 解析：（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“甲校友所选的题目为篮球相关知识的题目”， “甲校友所选的题目为足球相关知识的题目”，“甲校友所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且，，两两互斥. 根据题意得，，，，，， 则 ， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为. （2）由题可得，X的可能取值为，1，5，9， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 5 9 P 所以. （3）当时，由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况如下： ①前8题答对题目的数量大于或等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题中至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以 ， 因为，所以，即， 所以甲校友应选. 18.答案：（1）（2）3 解析：（1）由题意得 整理得解得 所以椭圆C的方程为. （2）设，. （i）当直线斜率不存在时， 由题知， 因为原点O是的重心，所以，得到，， 将代入，解得或，此时M到直线的距离为. （ii）当直线斜率存在时，设直线的方程为，. 联立消去y并整理得 则，即， 且，. 因为原点O是的重心，所以 得到，，故. 又点M在椭圆C上，则，整理可得， 所以点M到直线的距离 . 综上，点到直线的距离的最大值为3. 19.答案：（1） （2） 解析：（1）因为存在，，则，所以原题意等价于存在，成立，又因为，，则，所以，故实数a的取值范围为. （2）因为对任意的，存在，有，所以小于或等于在时的最大值. 因为，所以，令，得；令，得. 所以在上单调递增，在，上单调递减， 故. 因为的图象开口向下，对称轴为直线，则有： ①当，即时，在上单调递减，则，所以，则，故； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，则， 所以，故符合题意； ③当，即时，在上单调递增，则，所以，故符合题意. 综上所述，，即实数a的取值范围为. ( 第 18 页 共 18 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $