精品解析：江苏苏州实验中学集团2025-2026学年下学期期中考试七年级数学试卷

2025～2026学年第二学期期中考试 初一数学试卷 注意事项： 1.本试卷共27题，满分100分，考试用时120分钟 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符合． 3.答选择题须用2B铅笔把答题卡上相应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效不得用其他笔答题． 4.考生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大，远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义．这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面各式中，运算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则、、三数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转后得到，点，的对应点分别为，，延长线交于点，则下列结论中一定正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，将一张长方形纸条折叠，若边，则翻折角与一定满足的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，其中有两个数和2，则与的乘积为（ ） A. B. C. 9 D. 256 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：_______． 10. 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为毫克，那么数据可以用科学记数法表示为____． 11. 计算：_______． 12. 如果关于的多项式是完全平方式，则的值为_______． 13. 如图，有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张．若拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为_______． 14. 如图，把长方形沿对角线折叠，若，则的度数为_______． 15. 如图，在中，，，，将沿方向平移个单位得（其中，，的对应点分别是，，），设交于点，若的面积比的大7，则代数式的值为__________． 16. 一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时_______． 三、解答题（本大题共11小题，共60分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点分别是点的对应点． （1）画出平移后的． （2）连接，，则这两条线段之间的关系是_______． （3）在直线上画出所有的格点，使得由点、、、四点围成的四边形的面积为9． 20. 如图，在中，． （1）利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 21. 已知关于的代数式中不含项与项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 22. 将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值； （2）若，求x的值． 23. 如图，在三角形中，已知是上的高，，点是上的一点，，． （1）求阴影部分的面积（用含、的式子表示）； （2）可以仅通过一种图形的运动变换即可与完全重合，请写出具体的运动变换过程：________（包含主要要素）． 24. 如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． （1）若，，求的大小； （2）若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 25. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ； （2）解决问题：如果，，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 26. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为，所以当时，的值最小，最小值是，所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是，即的最小值是． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 【探究问题】 （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式________． 【拓展结论】 （2）①已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． ②已知，为有理数，且满足，若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）：若没有最大（或最小）值，请说明理由． 27. 综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线 提出问题 如图，能折出过点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤 说明：第一次过点折叠使点落在边上的点，折痕为，第二次过点折叠使点落在射线上的点，展开压平得到折痕，则． （1）结合图至图的操作，说明：； 迁移探究：再次折叠得到， （2）如图，将沿过点的某直线折叠得到，与边交于． ①若将沿过点的某直线折叠后的对应边所在直线垂直于，如图，请你在图中用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期期中考试 初一数学试卷 注意事项： 1.本试卷共27题，满分100分，考试用时120分钟 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符合． 3.答选择题须用2B铅笔把答题卡上相应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效不得用其他笔答题． 4.考生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大，远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义．这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故此选项是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够不互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下面各式中，运算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据幂的运算法则进行计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查去括号法则、合并同类项、完全平方公式、平方差公式，根据相关运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A选项：∵，∴A错误，不符合题意； B选项：与不是同类项，无法合并，∴B错误，不符合题意； C选项：，∴C错误，不符合题意； D选项：，∴D正确，符合题意； 故选 D． 4. 若，，，则、、三数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1求解，再根据有理数的大小比较，可得答案． 【详解】解：，，， ∴． 5. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转后得到，点，的对应点分别为，，延长线交于点，则下列结论中一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质，找出相等的角和边，以及确定旋转角等，逐项进行判断即可． 【详解】解：如图，交于点， ∵绕点顺时针旋转后得到， ∴，故A不合题意； ， ∵不能确定为， ∴不能判定，故B不合题意； ∵绕点顺时针旋转后得到， ∴，故C不合题意； ∵， ∴， ∴，故D符合题意． 则一定正确的是D． 7. 如图，将一张长方形纸条折叠，若边，则翻折角与一定满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．根据平行可得出，再根据折叠和平角定义可求出． 【详解】解：如图： 由翻折可知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 8. 我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，其中有两个数和2，则与的乘积为（ ） A. B. C. 9 D. 256 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得每个三角形各顶点上数字之和相等，则，据此可得，由此可得答案． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用积的乘方运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 10. 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为毫克，那么数据可以用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“，其中，为整数”是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 计算：_______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式法则计算即可，掌握多项式乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 12. 如果关于的多项式是完全平方式，则的值为_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的结构特征：首平方，尾平方，首尾乘积的二倍放中央，分情况求解即可． 【详解】解：， ， 当时，解得， 当时，解得． 13. 如图，有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张．若拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴需要类卡片的张数为7张， 故答案为：7． 14. 如图，把长方形沿对角线折叠，若，则的度数为_______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】先确定与长方形的直角的关系，再利用折叠性质求，最后利用平行线性质求． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠性质可知． 已知， ∴． 由折叠得， ∴． ∵长方形中，， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，，，将沿方向平移个单位得（其中，，的对应点分别是，，），设交于点，若的面积比的大7，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由平移的性质可得，然后根据已知条件可得，再根据长方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：∵，，，将沿方向平移个单位得， ∴，， 的面积比的大7，即， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】此题考查的是平移的性质、代数式求值、长方形的面积公式和三角形的面积公式，根据得到是解决此题的关键． 16. 一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时_______． 【答案】75或120或165 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，解题的关键在于数形结合，分类讨论．分情况讨论：当时，当时，当时，结合图形，根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：如图，当时， 此时与重合， ∴； 如图，当时，      ∴； 如图，当时，       ∴， ∵， ∴； 综上，或或． 故答案为：75或120或165． 三、解答题（本大题共11小题，共60分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，整式的化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式化简得，再将，代入求解即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点分别是点的对应点． （1）画出平移后的． （2）连接，，则这两条线段之间的关系是_______． （3）在直线上画出所有的格点，使得由点、、、四点围成的四边形的面积为9． 【答案】（1）见解析 （2）平行且相等 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图平移变换，三角形的面积，熟练掌握图形的平移是解题的关键． （1）根据平移后点与点对应，则应将向右平移5个小方格，再向上平移1个小方格，据此画出点、的对应在点、，再连接、、，即可得到平移后的，再利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）根据平移的性质可直接进行求解； （3）再利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积，得出的面积，再根据由点、、、四点围成的四边形的面积为9，即可得出点P的位置． 【小问1详解】 解：由图可得点经过向右平移5个小方格，再向上平移1个小方格到达点，由此可得如图所示： 【小问2详解】 解：由平移的性质可得：，， 故答案为：平行且相等； 【小问3详解】 解：， 找出格点P，使得的面积为2，且点P直线l上， 如图，点即为所作． 20. 如图，在中，． （1）利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，轴对称的性质，正确作出直线l是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）根据轴对称图形的性质可得，再根据三角形轴对称计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为直线l； 【小问2详解】 解：∵点B、C关于直线l对称， ∴， ∴的周长； 21. 已知关于的代数式中不含项与项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【小问1详解】 解： =， ∵不含x项与项， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ． 22. 将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）逆用同底数幂的除法及幂的乘方即可求解； （2）将分别变形成底数为2的幂，再运用同底数幂的乘法及一元一次方程即可求解． 【小问1详解】 解：， ∵ ，， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 23. 如图，在三角形中，已知是上的高，，点是上的一点，，． （1）求阴影部分的面积（用含、的式子表示）； （2）可以仅通过一种图形的运动变换即可与完全重合，请写出具体的运动变换过程：________（包含主要要素）． 【答案】（1） （2）将绕点顺时针旋转，即可与完全重合 【解析】 【分析】（）根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去三角形的面积，即可解答； （）根据旋转的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵是上的高， ∴，共线，共线， ∵，， ∴， ∴阴影面积​ ．​ 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 将绕点顺时针旋转，即可与完全重合． 24. 如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． （1）若，，求的大小； （2）若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）由平移的性质得到，则由平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）由平移的性质得到，，证明与周长的和，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由平移的性质可得， ， ， ； 【小问2详解】 解：由平移的性质可得，， 与周长的和 ． 25. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ； （2）解决问题：如果，，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】（1） （2）13 （3）这个长方形的面积为30 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式： （1）利用大正方形的两种面积表示方法，整体面积与分割后各部分面积之和相等得到等式； （2）用（1）中的公式变形，整体代入计算； （3）通过换元法，设，将问题转化为（1）中的已知公式，再利用完全平方公式变形求出长方形的面积． 【小问1详解】 解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， ． 【小问3详解】 解：设，则该长方形的面积为， ， ， ． ∴这个长方形的面积为30． 26. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为，所以当时，的值最小，最小值是，所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是，即的最小值是． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 【探究问题】 （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式________． 【拓展结论】 （2）①已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． ②已知，为有理数，且满足，若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）：若没有最大（或最小）值，请说明理由． 【答案】（1） （2）①当时，为“完美数”，理由见解析；②有最大值，最大值是 【解析】 【分析】（1）把分为两个整数的平方即可； （2）①根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； ②由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【小问1详解】 解：∵是“完美数”， ∴； 【小问2详解】 解：① ， 当时，． ∵，是整数， ∴当时，此时． 根据定义，是“完美数”，故是满足条件的一个值； ②∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值是． 27. 综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线 提出问题 如图，能折出过点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤 说明：第一次过点折叠使点落在边上的点，折痕为，第二次过点折叠使点落在射线上的点，展开压平得到折痕，则． （1）结合图至图的操作，说明：； 迁移探究：再次折叠得到， （2）如图，将沿过点的某直线折叠得到，与边交于． ①若将沿过点的某直线折叠后的对应边所在直线垂直于，如图，请你在图中用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）①图见解析；②的度数为或或 【解析】 【分析】（）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （）①作的角平分线即可；以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求； ②分三种情况，结合折叠性质与平行线性质，分别求解即可． 【小问1详解】 解：根据折叠性质： 第一次折叠后，， ∴； 第二次折叠后，， ∴； ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图： ②由题意得，当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 当时， 同理可得，， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴； 由题意得，当时，如图： 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $