第二十章 勾股定理 单元测试 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十章 勾股定理 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 2、如图，等边的周长为12，则它的高为（    ） A． B． C． D． 3、三个正方形按如图所示的方式摆放，围成了一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为（   ） A．120 B．100 C．64 D．10 4、如图，一架梯子长度为，斜靠在一面竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端外移（   ） A． B． C． D． 5、开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 6、已知直角三角形两边长分别是3和4，则斜边长为(　　　) A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或7 7、如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 8、“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 9、如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 10、 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+|c﹣5|＝0，则三角形的形状是__________． 12、如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则__________． 13、如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若S1＝9π，S2＝16π，则S3＝_____． 14、《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 15、如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ． 16、如图，已知，过点P作，且；再过点作；且；又过点作且；又过点作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． （1）请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； （2）求村庄A到县城C的距离的长． 18、如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 19、（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题. 20、 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12， （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC长． 21、如图，在中，边上的垂直平分线为与分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标. 23、阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 24、阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”． （1）在图2中，正方形面积可表示为______，正方形的面积可表示为______．（用含a，b的式子表示） （2）请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系． （3）已知，，求正方形的面积． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴是一组勾股数，该选项符合题意； 2、如图，等边的周长为12，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵为等边三角形，且周长为12， ∴， ∵是高， ∴，， 在中，由勾股定理得： ∴． 3、三个正方形按如图所示的方式摆放，围成了一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为（   ） A．120 B．100 C．64 D．10 【答案】B 【详解】解： 根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为64和36的正方形的边长是8和6； 解图中直角三角形得A正方形的边长为， 故正方形的面积为， 4、如图，一架梯子长度为，斜靠在一面竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端外移（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵， ∴， 设，则有，， ∴，即， 解得：（负根舍去）， ∴梯子的底端外移； 5、开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 【答案】B 【详解】解： 是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 6、已知直角三角形两边长分别是3和4，则斜边长为(　　　) A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或7 【答案】C 【详解】解：当4为直角三角形的直角边时，斜边=； 当4为直角三角形的斜边时，则斜边=4． 7、如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①如图， ； ②如图， ， 又∵， 所以，需要爬行的最短路程为， 8、“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， 设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 9、如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，，     ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 10、如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=5，AB=CD=3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF=AD=5，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF==4， ∴CF=BC-BF=5-4=1， 设CE=x，则DE=EF=3-x， 在Rt△ECF中，CE2+FC2=EF2， ∴x2+12=（3-x）2， 解得x=， ∴DE=3-x=， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+|c﹣5|＝0，则三角形的形状是__________． 【答案】直角三角形 【详解】解： ∵（a﹣3）2+|c﹣5|＝0， ∴ ， 解得： ， ∵ ， ∴该三角形的形状是直角三角形． 12、如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则__________． 【答案】45 【详解】解： 根据题意得：， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴． 13、如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若S1＝9π，S2＝16π，则S3＝_____． 【答案】 【详解】解：设直角三角形的三边为，如图， ，， ， ， S1＝9π，S2＝16π， 14、《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【详解】设绳索长为尺， 可列方程为：， 故答案为：． 15、如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为， 小正方形的边长， 小正方形的面积为， 故答案为： 16、如图，已知，过点P作，且；再过点作；且；又过点作且；又过点作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么_________． 【答案】 【详解】解：由题意可得 在中，由勾股定理得 ∴， 同理可得：， …… 以此类推，可知 ∴ 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． （1）请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； （2）求村庄A到县城C的距离的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知新公路是村庄A到高速公路的最短路线． 【小问2详解】 解：设，则． 由（1）知，即． 在中，， ∴， 解得． 答：村庄A到县城C的距离是． 18、如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 【答案】19200 【详解】解：连接AC， 在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102， 在△ABC中，AB2=262，BC2=242， 而102+242=262， 即AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD=•AC•BC-AD•CD， =×10×24-×8×6=96． 所以需费用96×200=19200（元）． 19、（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题. 【答案】水深3.75尺． 【详解】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5， 根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4 解得：x=3.75． 答：湖水深3.75尺． 20、如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12 （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【小问1详解】 ∵BC＝15，BD＝9，CD＝12， ∴， ∴， ∴CD⊥AB． 【小问2详解】 ∵AB＝AC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21、如图，在中，边上的垂直平分线为与分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【小问1详解】 证明：连接， ∵边上的垂直平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， ∴， 解得： ， ∴的长为． 22、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标. 【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4） 【详解】 解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点， 此时OP=PD≠5，不存在； （2）OD是等腰三角形的一条腰时： ①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 在直角△OPC中，CP= =3，则P的坐标是（3，4）； ②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 过D作DM⊥BC于点M， 在直角△PDM中，PM==3， 当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）； 当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）． 故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）． 23、阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①；②直角三角形 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 24、阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”． （1）在图2中，正方形面积可表示为______，正方形的面积可表示为______．（用含a，b的式子表示） （2）请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系． （3）已知，，求正方形的面积． 【答案】（1）， （2），见解析 （3）17 【小问1详解】 解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：，； 【小问2详解】 正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； 【小问3详解】 正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $