精品解析：湖南常德芷兰实验学校2025-2026学年七年级下学期期中考卷数学试卷

2026年上学期期中考试七年级数学试卷（问卷） 总分：120分；考试时间：120分钟 一、单选题（本大题8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算：（ ） A. B. C. D. 3. 有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 在数轴上表示的点可能是（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 5. 已知关于x的整式是完全平方式，则k的值是（ ） A. 10 B. C. D. 20 6. 不等式的正整数解有(　　)． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 如果，，那么约等于（ ） A. 287.2 B. 28.72 C. 13.33 D. 133.3 8. 如图是一个数值转换机示意图，当输入的值为，则输出的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 4的平方根是_______． 10. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 11. 已知,则=__________. 12. 关于的不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 13. 若的计算结果中项的系数为，则m为______． 14. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）是，则卫星绕地球运行走过的路程为_____（用科学记数法表示）． 15. 关于x的不等式组的整数解是______． 16. 如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．则图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）．（利用整式乘法公式计算）． 18. 解不等式（组）：，并将解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 求下列各式的值 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 21. 已知的立方根是3，的算术平方根是4． （1）求的相反数． （2）求的算术平方根． 22. 学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛，某班级因节目需要，须购买A，B两种道具．已知购买1件B道具比购买1件A道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元． （1）购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？ （2）根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过620元．问最多购买B道具多少件？ 23. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______． （2）应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 24. 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． （1）判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； （2）当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； （3）若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期中考试七年级数学试卷（问卷） 总分：120分；考试时间：120分钟 一、单选题（本大题8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】无理数，即无限不循环小数，掌握概念，即可得出答案． 【详解】A．是无理数，符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是有理数，不符合题意； D． 是有理数，不符合题意． 【点睛】本题考查了无理数的概念，区分无理数和有理数的概念是解题的关键． 2. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法运算．运用分配律进行计算出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：A． 3. 有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【详解】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， 所以①；②；⑤，⑥共有4个． 答案：． 【点睛】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解答此类题关键是要识别常见不等号: ＞、＜、≤、≥、≠． 4. 在数轴上表示的点可能是（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】C 【解析】 【分析】先估算在哪两个整数之间，然后结合数轴即可得出答案． 【详解】解：， ， 即， 则数轴中点C符合题意． 5. 已知关于x的整式是完全平方式，则k的值是（ ） A. 10 B. C. D. 20 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵关于x的整式是完全平方式， ∴， ∴， ∴k的值是． 6. 不等式的正整数解有(　　)． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再据此求出不等式的整数解． 【详解】解：去分母，得4x-5＜12， 移项，得4x＜12+5， 系数化为1，得x＜． 正整数解即为大于0并小于的整数，有：1，2，3，4． 共4个，故选C． 【点睛】本题关键是利用一元一次不等式的解法，求出解集是解答本题的关键．注意正整数解，即为解集内的解，又是正整数. 7. 如果，，那么约等于（ ） A. 287.2 B. 28.72 C. 13.33 D. 133.3 【答案】C 【解析】 【分析】根据“被开方数的小数点每向右（或左）移动三位，开方后立方根的小数点就向右（或左）移动一位”即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题考出来一个数和它的立方根的小数点移动规律，理解规律是解题关键． 8. 如图是一个数值转换机示意图，当输入的值为，则输出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数值转换机示意图进行算术平方根的运算即可． 【详解】解：输入，取算术平方根， 输入，取算术平方根， 输出． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 10. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】异号两数相加，符号取绝对值较大的数的符号，根据数轴比较两数的绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴． 11. 已知,则=__________. 【答案】15 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，即am+n=am·an解答即可． 【详解】解：∵2m=5，2n=3， ∴2m+n=2m•2n=5×3=15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则的逆运用，灵活运用公式是解题的关键． 12. 关于的不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，根据“小大大小中间找”，即可解答． 【详解】解：不等式组的解集是， ． 故答案为：． 13. 若的计算结果中项的系数为，则m为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式乘多项式的运算法则进行计算． 【详解】解： ∵项的系数为， ∴． 14. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）是，则卫星绕地球运行走过的路程为_____（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是含乘方的有理数运算、科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法． 科学记数法的表示形式为，其中，为整数．计算出结果后用科学记数法表示即可． 【详解】解：卫星绕地球运行走过的路程为． 故答案为：． 15. 关于x的不等式组的整数解是______． 【答案】5和6 【解析】 【分析】根据不等式组解集的确定原则得到不等式组的解集后，即可找出解集内的整数解． 【详解】解：， 解不等式①得，. 解不等式②得，. 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，． 16. 如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】45 【解析】 【分析】依据AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，可得AM＝BM＝，再根据S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM，即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点， ∴AM＝BM＝， ∴S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM ＝a2＋b2 ＝a2＋b2﹣（a＋b）2 ＝（a＋b）2﹣2ab﹣（a＋b）2 ＝100﹣30﹣25 ＝45， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）．（利用整式乘法公式计算）． 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】（1）利用有理数的乘方，求一个数的算术平方根以及立方根公式求解； （2）利用平方差公式求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式（组）：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示如图所示： 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的公共解集，将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ， ， 不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【解析】 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 20. 求下列各式的值 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式变形可知，把，代入求值即可； （2）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 21. 已知的立方根是3，的算术平方根是4． （1）求的相反数． （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用立方根、算术平方根以及相反数的定义求解； （2）利用算术平方根的定义求解． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， 解得，， ∴的相反数； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∴的算术平方根为． 22. 学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛，某班级因节目需要，须购买A，B两种道具．已知购买1件B道具比购买1件A道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元． （1）购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？ （2）根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过620元．问最多购买B道具多少件？ 【答案】（1）购买一件A道具需要元，购买一件B道具需要元 （2）最多购买B道具件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设购买一件A道具需要元，购买一件B道具需要元，根据“购买1件B道具比购买1件A道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购买B道具件，则购买A道具件，根据“购买两种道具的总费用不超过620元”列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【小问1详解】 解：设购买一件A道具需要元，购买一件B道具需要元， 由题意得：， 解得：， ∴购买一件A道具需要元，购买一件B道具需要元； 【小问2详解】 解：设购买B道具件，则购买A道具件， 由题意得：， 解得：， ∴的最大值为， ∴最多购买B道具件． 23. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______． （2）应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】（1） （2）①3；② 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式得，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【小问1详解】 解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：① ； ② ． 24. 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． （1）判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； （2）当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； （3）若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 【答案】（1） 是，理由如下： 解方程， ， ， 解得； 解不等式， ， 解得； ， 方程的解是不等式的“内含解”． （2）整数的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义进行判断； （2）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解； （3）分别解方程组和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：解方程， ， 解得． ， ， 解不等式， ， ， ， 解得． 由“内含解”的定义，得， ， ， 解得， 整数的最小值为． 【小问3详解】 解：， 由，得， ，方程组的解是不等式的“内含解”， ，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $