导数的简单应用（切线、单调性、极值与最值）讲义-2026届高三数学二轮复习

导数的简单应用 【题型1 利用导数求曲线的切线】 规律与方法 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 1.（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】因为，所以 ， 又，，则所求切线方程为. 2.（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】简单复合函数的导数、求过一点的切线方程 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 3.（2026·河南开封·模拟预测）过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程 【分析】通过设切点，求导得斜率，再利用切线过原点表示斜率，列方程得切点坐标，即得斜率. 【详解】设切点坐标为，切线的斜率为， 显然不合题意， 时，， ，解得, 故. 4.（2025·安徽·二模）已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据奇函数定义可得当时，函数的解析式，求导，结合导数的几何意义求切线方程. 【详解】因为为奇函数，当时，， 当时，可得， 则，可得，， 所以曲线在处的切线方程是，即. 故选：D. 【题型2 与切线相关的参数问题】 规律与方法 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 1．（2026·江苏·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，结合切点在切线和曲线上列方程组求解可得. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以，解得. 2.（2026·西藏拉萨·二模）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出可得函数在点处的切线的斜率为，再利用两斜率相等求出答案. 【详解】由题意知直线的斜率为 又，则 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以 解得. 3.（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.5 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【详解】由，得 由，得. 直线的斜率为. 令，得， 将代入，得， 所以直线与函数的图象的切点为，所以，. 设直线与函数的图象的切点为， 则，得. 因为函数单调递增，且， 所以，. 所以. 4.（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 【题型3 根据切线情况求参数】 规律与方法 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 1.（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【难度】0.51 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数. 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 2.（2026·重庆万州·模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究方程的根、求过一点的切线方程 【详解】设切点为，，切线斜率. 切线方程：，即. 切线过，代入得：， 整理得：. 由分离参数，得. 令，原题等价于与的图象有两个交点. 求导：，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故， 当时，，当时，， 作出的大致图象： 由此可知要使得与的图象有两个交点.，需满足 综上所述时，原方程有两个零点. 3.（25-26高三上·江苏南通·期中）若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的乘除法 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义和斜率公式列方程，根据有两条切线得到方程有两个根，然后列不等式求解即可. 【详解】设切点坐标为，， 所以斜率， 则切线方程为， 又在切线上，所以 因为曲线有两条过的切线，所以方程有两个解， 整理得，所以，解得或. 故选：D. 4．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求过一点的切线方程、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根 【分析】设出切点坐标，根据导数几何意义求出切线方程，由题意有三个不同的解，设，利用导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围，即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线过点， 由，得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，则该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当和时，，当时，， 所以函数在区间单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，即，解得，即的取值范围是. 故选：B. 【题型4 与切线相关的最值】 规律与方法 1、 找参数之间的关系，转化为基本不等式或者函数 2、转化为到切线距离最短问题。 1.（25-26高三上·安徽六安·月考）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点为，求导，根据导数的几何意义结合相切，得到，解得，再代入得，再利用基本不等式“1”的妙用求最值即可． 【详解】由求导得， 设切点为，则切点， 由切点在切线上得，． ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故选：D． 2.（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可. 【详解】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则或， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 3.（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】先设点及点，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得出切点，最后应用点到直线距离计算求解. 【详解】设点是函数图象上的点，点是直线上的点， 则，所以， 因为，设函数在点处的切线与直线平行， 则，解得，则点， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为2， 故选： 【题型5 利用导数研究函数的单调性】 规律与方法 1、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 3、已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 1．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 2.（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 3.（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 【答案】B 【难度】0.66 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由在区间上单调递减，得在上恒成立，进而得，令，利用导数研究单调性求出最大值即可求解. 【详解】由已知得，因为在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即，得， 令，则，令，得， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 又，所以a的最小值为． 4.（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 5.（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【详解】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 【题型6 构造函数解不等式】 规律与方法 构造函数法解决函数问题中的常见类型 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 1．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数，可得， 所以函数在上单调递减， 由，可得，即， 可得，所以，即不等式的解集为.故选：D. 2．（23-24高三上·河北·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，有， 令，则，所以在区间上单调递增． 又，得，所以， 所以，解得．故选：A 3．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令函数，，求导得， 因此函数在上单调递减，不等式， 即，解得，所以原不等式的解集为.故选：B 4．（2024·云南楚雄·一模）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得． 令，则，所以在上单调递增， 又，为奇函数，所以，， 则．故选：B. 5.（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【详解】对 化简：. 求导：. 令，得； 时，此时单调递减； 时，此时单调递增， ， ， 显然， 故的图象关于直线对称, 且在上单调递减，上单调递增. 所以等价于， 平方得， 整理得，解得. 【题型7 利用导数研究函数的极值】 规律与方法 1、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 2、根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路： 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数：①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围. 1.（2026·湖北·二模）函数的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当或时，可得；当时，， 所以在递增，在递减， 所以是函数的极大值点. 2.（2026·四川攀枝花·二模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】根据极值点求参数 【分析】先由求出的可能取值，再逐一进行验证，即可得到的确定取值. 【详解】因为，所以. 由或. 当时，. 由或；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意； 当时，. 由或；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 故不满足题意. 综上，. 3.（25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】求出函数极小值点的范围，再利用导数求极小值的值域即可得解, 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B 4.（2026·河南周口·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.51 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由题意可知有两个根，令，则，故直线与的图象有两个交点，先求两图像相切再求两个交点即可. 【详解】由题意，有两个极值点， 有两个不同的实根，即有两个根. 令，则，直线与的图象有两个交点. 若直线与的图象相切，则设切点为. 由于，则切线的斜率为，∴切线方程为， 即，，解得，. ∵要使直线与的图象有两个交点，，. 【题型8 利用导数研究函数的最值】 规律与方法 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。 1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 故当时，取得最大值，即，此时， 当，，当时， 故最小值为，故选：C 2.（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可. 【详解】，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：. 故选：C. 3．（2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 若，则时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 所以当时，有最小值，满足题意； 若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大,没有最小值，不符合题意； 综上，，所以实数的取值范围为. 4.（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、求点到直线的距离 【分析】把看成两点距离的平方，其最小值可转化为点到直线的距离的平方，利用导数的几何意义求出切点，利用点到直线的距离公式即可求得. 【详解】由，进而， 又在上， 故的最小值可以看成是图像上的点离直线的最近距离的平方， ， 所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点 令， 即得，令，单调递增且， 所以，即切点横坐标为，切点为， 所以的最小值为. 课后作业： 1.（2025·内蒙古赤峰·三模）曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、三角形面积公式及其应用 【分析】先对函数求导得出切线斜率，再得到切线方程，然后求出与坐标轴交点，最后计算面积. 【详解】设函数，则，则， 所以曲线在点处的切线方程为，直线在坐标轴上的截距为. 故曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 故选 ：A 2．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求，结合导数可求单调增区间. 【详解】令，则，得，即， 则函数定义域为R且，所以函数在R上单调递增. 函数的单调递增区间为R. 故选：B. 3.（2026·江苏·二模）函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】A 【难度】0.74 【知识点】求已知函数的极值 【分析】根据导函数得出其单调性即可求出极值. 【详解】由题可得，令，解得：或, 当或时，,当时，, 所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为, 所以的极大值为，极小值为, 则函数的所有极值的和为 4.（2025·安徽·一模）若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标，最后把切点坐标代入直线方程求出． 【详解】曲线方程求导得， 直线与曲线相切，设切点为，则，解得， 代入曲线方程得，故切点坐标为， 切点同时位于直线上， ，解得． 故选：B． 5.（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先判断曲线与直线是否存在交点，若存在，则最短距离为0，若不存在，则当曲线在切点处的斜率为2时，切点到直线的距离最短. 【详解】令， 因，则， 故曲线和直线无交点， ，则，令，解得， 则曲线上的点到直线的距离， 则的最小值为. 故选：A 6.（25-26高三下·重庆·月考）一条直线分别与曲线和圆相切于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.84 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、由直线与圆的位置关系求参数 【详解】，设曲线的切点为， 所以切线方程为， 由题意可知也是圆的的切线， 所以，或， 因为， 所以，或， 当时，切点方程为， 由， 此时， 当时，切点，切线方程为， 由， ， 综上所述：. 7.（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】通过将函数单调递增转化为恒成立问题，从而分离参数，构造新函数求最值即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在恒成立，即， 令，所以只需即可. 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取到最小值为，即， 所以实数的取值范围是. 8.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】假设函数不存在单调递减区间，利用导数与单调性的关系可得在恒成立，可求得实数的取值范围，根据函数存在单调递减区间可求解. 【详解】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间， 所以. 9.（25-26高三上·河北·月考）若函数的极大值为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】求导，对分类讨论，即可根据极值点的定义求解. 【详解】， 若，，此时单调递增，故无极大值，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 故1为的极大值点，，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 则为的极大值点， 所以， 所以，所以，解得. 故选：A. 10.（2026·重庆·模拟预测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 故选：D. 11．（多选 2026·陕西铜川·一模）已知三次函数，下列说法正确的是（    ） A．若的极大值为4，则 B．的极小值为0，则 C．，则 D．存在，使在的值域为 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、作差法比较代数式的大小、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】A选项，显然，求导，并进行因式分解，分和两种情况，得到的单调性和极值情况，得到，A正确；B选项，在A基础上，分和两种情况，分析出满足要求；C选项，作差法比较出，C正确；D选项，在A基础上，分，和三种情况，得到D错误. 【详解】对于A选项，显然，， 令得或3，若， 令，得或，令，得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值，且， 令，解得；若， 令得，令得或， 故在，上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，在处取得极大值， 且，不合要求，综上，，A正确； 对于B选项，由A可知，当时，极小值为，满足要求； 当时，极小值为，不合要求，则，B错误； 对于C选项，由题意得， 可得，， 又，故，故，C正确； 对于D选项，由A知，时，在，上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 显然的最小值为，不合要求； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 若，则在上单调递增，在上单调递减， 其中，故的最小值为，不合要求； 若，则在上单调递减，故的最小值为，不合要求； 不存在，使在的值域为，D错误. 故选：AC 12．（多选 2026·广西南宁·三模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．的极大值点是3 C．的值域为 D．当时，函数有1个零点 【答案】BD 【难度】0.55 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】选项A，根据奇偶性求出解；选项B，利用导数法求出单调性，利用单调性得到极大值；选项C，利用导数法求出单调性，利用单调性求出极值，结合极限得到值域；选项D，构造函数利用函数的最大值，单调性求解. 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，有， 由题意可得， 因此，所以A错误. 当时，， 求导得， 因为，所以的符号由决定： 当时， ，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 因此在处取得极大值，所以B正确； 下面判断值域，由上面的单调性可知， 当时，， 所以时，函数值范围为， 当时，，求导得 所以是极小值点，且又 因此时，函数值范围为， 结合，函数的值域为不是，所以C错误. 最后判断D,令 函数的零点等价于方程的实根， 当时，时，的最大值，所以在上没有解， 在上，在区间单调递增，且函数值从增大到 因此对任意，方程在内恰有一个实根， 所以函数有个零点，D正确. 13．（2026·山西太原·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的最小值为 B．若有两个极值点，则实数的取值范围为 C．当时，的值域为 D．若存在，使得成立，则实数的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.38 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】A选项，求导后求单调区间，进而求最小值即可； B选项，将问题转化成有两个不同的解，构造新的函数，使和有两个交点即可； C选项，直接利用导数分析的值域即可； D选项，令，设出的根，保证即可. 【详解】 ，求导得 A选项，当时，，， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则， 即的最小值为，所以A选项错误； B选项，有两个极值点，等价于有两个不同的实数根，即有两个不同的解， 令，则，在上单调递减，在上单调递增，则， 且当时，；当时，；且时，，， 所以当时，有两个不同的解，即有两个极值点，所以B选项正确； C选项，若，则， ，所以在定义域内单调递增， 当时，；当时，；则的值域为，所以C选项正确； D选项，存在，使得，即存在，使得， 令，则 ，由B选项解析可知，当时，若，则， 不妨设为的根，即 ， 当，单调递减，当，单调递增， 则在处取得最小值， ， 需要满足存在，使得成立， 令，则，其中， 令，解得，所以在上单调递减，在单调递增， 则，此时 满足题意，所以，所以D选项正确. 【点睛】本题需要构造不同的函数，利用新函数的导数去研究原函数的单调性和取值范围，构造函数的时候需要注意自变量的取值范围. 14．（多选 2026·陕西咸阳·三模）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在定义域内不是单调函数 B．函数的最小值为2 C．当时， D．若，则 【答案】AD 【难度】0.3 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】易得函数在上是增函数，再求出其零点，从而可求出函数的单调区间，即可判断A；根据A选项即可判断B；根据函数在上的单调性即可判断C；令，结合A选项可得函数在上单调递增，则，再判断出的符号即可判断D. 【详解】对于A，， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以存在，使得，即， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在定义域内不是单调函数，故A正确； 对于B，由A选项得， 因为， 当且仅当，即时，取等号， 又，所以，故B错误； 对于C，由A选项知，函数在上先减后增， 则当时，无法判断的大小关系， 即无法判断是否成立，故C错误； 对于D，， 则， 令，则， 由A选项知，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 所以，所以， 所以函数在上单调递增， 所以， 因为，所以， ， ， 因为，所以，所以， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：AD. 15．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，当时，取得极小值0，则______. 【答案】1 【难度】0.72 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】根据极值的概念可得和，解出的值即可得结果. 【详解】由题知，， 解得，此时， 当时，，当，时，， 所以在时取极小值，符合题意， 所以，. 又，解得， 所以. 16．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 17．（2026·湖南常德·二模）函数的值域为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先将函数平方，转化为关于的函数，再利用换元法，转化为关于的函数，利用导数求出的值域，进而得出函数的值域． 【详解】因为，所以，所以定义域为， 由题可知，， 令，不妨设， 则， 令，解得或， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 又， 所以，即， 所以． 18（2026·湖北宜昌·二模）若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.32 【知识点】求过一点的切线方程、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先求出切线方程，根据题意有恒成立，参变分离后恒成立，最后结合分离参数法求解参数范围即可. 【详解】设曲线过点的切线的切点为， 则切线的斜率， 所以，，切线方程为， 所以恒成立， 所以恒成立， 令，则 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则为的极小值点， 又因为时，， 所以，故. 19.（2026·山东济南·二模）已知函数． (1)若曲线在处的切线斜率为，求； (2)若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）由导数的几何意义得出，即可解得实数的值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析在附近的符号变化，结合函数极大值点的定义可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，由题意可得， 由导数的几何意义可得，解得. （2）因为是的极大值点，，则， 令，其中，则，， ①当时，对任意的恒成立，则在上为减函数， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点； ②当时，函数在为增函数，由可得， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，即当时， 若时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点； （ii）当时，即当时， 若时，；若时，. 此时函数在上单调递增，无极值点； （iii）当时，即当时， 若时，，即函数在上单调递减， 若时，，即函数在上单调递增， 此时为函数的极小值点 综上所述，，即实数的取值范围是. 20.（2026·福建宁德·模拟预测）已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)存在， 【难度】0.54 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据导数即可求解； （2）根据、两种情况分析即可证明； （3）根据、、三种情况分析的导数，并据此求出最值，并根据题干求出对应a的值，判断是否符合情况即可． 【详解】（1），由题意， 解得，，解得． （2），且， ①当时，，令，求导得， 时，，单调递减；时，，单调递增； 故在处取得最小值，即恒成立， 因此不是极值点； ②当时，，不可能是极值点； 综上，不是函数的极值点． （3），，求导， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； ②，即，此时在上为负，单调递减； 在上为正，单调递增， 最小值在处，即， 令，得，满足，成立； ③，即此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数的简单应用 【题型1 利用导数求曲线的切线】 规律与方法 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 1.（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2.（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·河南开封·模拟预测）过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·安徽·二模）已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【题型2 与切线相关的参数问题】 规律与方法 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 1．（2026·江苏·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 2.（2026·西藏拉萨·二模）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 3.（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 4.（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【题型3 根据切线情况求参数】 规律与方法 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 1.（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 2.（2026·重庆万州·模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·江苏南通·期中）若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 与切线相关的最值】 规律与方法 1、 找参数之间的关系，转化为基本不等式或者函数 2、转化为到切线距离最短问题。 1.（25-26高三上·安徽六安·月考）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 2.（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 3.（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 【题型5 利用导数研究函数的单调性】 规律与方法 1、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 3、已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 1．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2.（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 3.（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 4.（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5.（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 构造函数解不等式】 规律与方法 构造函数法解决函数问题中的常见类型 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 1．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河北·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·云南楚雄·一模）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5.（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 利用导数研究函数的极值】 规律与方法 1、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 2、根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路： 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数：①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围. 1. （2026·湖北·二模）函数的极大值点为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·四川攀枝花·二模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B．1 C． D．3 3.（25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.（2026·河南周口·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型8 利用导数研究函数的最值】 规律与方法 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。 1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 4.（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 课后作业： 1.（2025·内蒙古赤峰·三模）曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 3.（2026·江苏·二模）函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 4.（2025·安徽·一模）若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 5.（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高三下·重庆·月考）一条直线分别与曲线和圆相切于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 7.（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高三上·河北·月考）若函数的极大值为，则（    ） A． B． C．1 D．2 10.（2026·重庆·模拟预测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（多选 2026·陕西铜川·一模）已知三次函数，下列说法正确的是（    ） A．若的极大值为4，则 B．的极小值为0，则 C．，则 D．存在，使在的值域为 12．（多选 2026·广西南宁·三模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．的极大值点是3 C．的值域为 D．当时，函数有1个零点 13．（2026·山西太原·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的最小值为 B．若有两个极值点，则实数的取值范围为 C．当时，的值域为 D．若存在，使得成立，则实数的最大值为 14．（多选 2026·陕西咸阳·三模）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在定义域内不是单调函数 B．函数的最小值为2 C．当时， D．若，则 15．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，当时，取得极小值0，则______. 16．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 17．（2026·湖南常德·二模）函数的值域为___________． 18（2026·湖北宜昌·二模）若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数的取值范围是__________. 19.（2026·山东济南·二模）已知函数． (1)若曲线在处的切线斜率为，求； (2)若是的极大值点，求的取值范围． 20.（2026·福建宁德·模拟预测）已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $