第十七讲 导数：解切线、单调性、极值 讲义-2026届高三数学二轮复习

第17讲 导数基本功 切线、单调性、极值、最值 知识核心 【一】关联知识点 1、二次函数中的四大金刚：开口方向、对称轴、判别式、韦达定理 2、导函数的根求法：因式分解、求根公式、猜根、设隐零点-设而不求 3、是极值；是极值。即：是为极值的必要非充分条件 4、各种单调性： 幂函数： 指数函数：0恒成立哟！ 时，单增；时，单减 对数函数：； 时，单增；时，单减 指对互化：如果，那么可以记作 对数恒等式：； 【二】求导公式 若，则 0； 若，则 若，则； 若，则 若，则； 若，则 若，则； 若，则 ； ； 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 【三】导数第1问 1、求切线方程的方法 （1）在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． （2）过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） （3）公切线问题：求函数和的公切线 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为 步骤2：求导数与，得 ， 步骤3：函数的切线，函数的切线； 步骤4：化简得， 步骤5：对比得，联立解方程得公切线 2、求导数单调性 （讨论有效部分） （1）确定函数f（x）的定义域；（2）求出函数的导数； （3）在定义域内求解不等式＞0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间； （4）在定义域内求解不等式＜0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间. 注意事项： （1）单调性等价解释：已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点） （2）单调性二阶导：一阶复杂求二阶，求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导；借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段） （3）含参单调性求法：数形结合法/分析法、直接法、分离参数法 3、求导数极值点 （1）解方程＝0，当＝0时： ●如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值； ●如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值。 注意事项： （1）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值；极值点不是一个点，是一个数 （2）极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾 （3）在点处取得极值的充要条件：；且在左右侧，的符号异号 【四】三次函数的三个零点分别为，则韦达定理： ●（1）； （2）； （3） ●对称中心：，对称中心横坐标是的解 ●穿针引线法-奇穿偶回求解高次不等式步骤： （1）因式分解：化为若干个因式乘积，且各因式中未知数的系数均为正 （2）标根：求不等式对应的整式方程的根， 并在数轴上标出这些根 （3）从数轴的右上方开始，按照“奇穿偶回”的原则穿线 （4）数轴上方是大于零的解集，数轴下方是小于零的解集 切线方程 1. （2026江西九江一模）若直线是曲线的切线，则__________. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 4．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 6.（2026安徽宿州一模-多选）设函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 单调性 7．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 10．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 11. （2026安徽淮北一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（ ） A. B. C. D. 极值 12．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 13．【多选】（2025·全国二卷）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 14．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 15．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）函数的最小值为 . 16．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 17．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 19．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 20. （2026山东威海一模）已知函数且的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 21. （2026河北沧州一模）已知函数，，. （1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 22. （2026湖南常德一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 23. （2026湖南常德一模）已知函数，. （1）当，时，求函数的单调区间； （2）若对任意，，对恒成立. （i）求的取值范围： （ii）若，证明：函数有且仅有一个极大值点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 导数基本功 切线、单调性、极值、最值 知识核心 【一】关联知识点 1、二次函数中的四大金刚：开口方向、对称轴、判别式、韦达定理 2、导函数的根求法：因式分解、求根公式、猜根、设隐零点-设而不求 3、是极值；是极值。即：是为极值的必要非充分条件 4、各种单调性： 幂函数： 指数函数：0恒成立哟！ 时，单增；时，单减 对数函数：； 时，单增；时，单减 指对互化：如果，那么可以记作 对数恒等式：； 【二】求导公式 若，则 0； 若，则 若，则； 若，则 若，则； 若，则 若，则； 若，则 ； ； 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 【三】导数第1问 1、求切线方程的方法 （1）在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． （2）过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） （3）公切线问题：求函数和的公切线 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为 步骤2：求导数与，得 ， 步骤3：函数的切线，函数的切线； 步骤4：化简得， 步骤5：对比得，联立解方程得公切线 2、求导数单调性 （讨论有效部分） （1）确定函数f（x）的定义域；（2）求出函数的导数； （3）在定义域内求解不等式＞0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间； （4）在定义域内求解不等式＜0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间. 注意事项： （1）单调性等价解释：已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点） （2）单调性二阶导：一阶复杂求二阶，求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导；借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段） （3）含参单调性求法：数形结合法/分析法、直接法、分离参数法 3、求导数极值点 （1）解方程＝0，当＝0时： ●如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值； ●如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值。 注意事项： （1）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值；极值点不是一个点，是一个数 （2）极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾 （3）在点处取得极值的充要条件：；且在左右侧，的符号异号 【四】三次函数的三个零点分别为，则韦达定理： ●（1）； （2）； （3） ●对称中心：，对称中心横坐标是的解 ●穿针引线法-奇穿偶回求解高次不等式步骤： （1）因式分解：化为若干个因式乘积，且各因式中未知数的系数均为正 （2）标根：求不等式对应的整式方程的根， 并在数轴上标出这些根 （3）从数轴的右上方开始，按照“奇穿偶回”的原则穿线 （4）数轴上方是大于零的解集，数轴下方是小于零的解集 切线方程 1. （2026江西九江一模）若直线是曲线的切线，则__________. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，直线的斜率为所以，解得， 所以，即切点为所以 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】，则， 即该切线方程为，即，令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A. 3．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【详解】由题意得：，所以，，即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或,从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即．故选：AD． 4．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 【详解】法一：对于，其导数为，因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得，将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以，即，解得. 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：,∵切线过原点，∴, 整理得：,∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 6.（2026安徽宿州一模-多选）设函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 【详解】对于A，，在处的切线方程为，化简可得，故A选项正确； 对于B，，令，解得：, 令，解得：或,令，解得：, 所以函数在和递增，在递减， 则是的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数在和递增，在递减，故当时，最小值为，最大值为，所以，故C选项错误：对于D选项，由于，D选项正确.故选：AD 单调性 7．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是. 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选：C． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，则， 据此可得，在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立，则， 当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意.综 10．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增，故，命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，，当时，，在上单调递增， 所以，所以 ，由（1）可得当时，， 所以，所以. 11. （2026安徽淮北一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【详解】，，排除选项BD， ，， 设，， 当时，即，，则在范围内是单调递增函数； 当时，即，，则在范围内是单调递减函数； 当时，，，在范围内是单调递增函数； 当时，在范围内是单调递增函数，， ，，使得， 当时，，，则在是单调递减函数； 当时，，，则在是单调递增函数；则选项A符合 极值 12．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：   由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：  由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D 13．【多选】（2025·全国二卷）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD. 14．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D 15．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）函数的最小值为 . 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴故答案为：1. 16．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【详解】（1）因为，故，故，故，故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故，故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，，故为的极小值点，无极大值点，故舍；若即，则时，，时，， 故为的极大值点，符合题设要求；若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，，时，， 故为的极大值点，符合题设要求；综上，且. 17．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【详解】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以. （2）由（1）得，则， 令，解得，不妨设，，则，易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，，所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【详解】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得，所以； 构建，则， 构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得， 所以；综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令因为， 且，所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且，所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 【点睛】关键点睛： 1.当时，利用，换元放缩； 2.当时，利用，换元放缩. 19．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 据此可得，函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故.即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令，则， 令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故的最小值为，令，则， 函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立， 则，由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ，且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减，当时，，单调递增， 所以.令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数得取值范围是. 20. （2026山东威海一模）已知函数且的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】令，因为函数的值域为，故函数的值域包含， 求导得，又因为且，由可得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，解得， 故实数的取值范围是故选：D. 21. （2026河北沧州一模）已知函数，，. （1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【小问1详解】由已知得，，在点处的切线方程为. 设与切于，，， 则过该点的切线方程为：， 整理得，由于该切线与重合， 则. 【小问2详解】由，求导得， ①当时，，，在上单调递增； ②当时，令 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增 ③当时，令 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减 【小问3详解】由题意得，即对恒成立. 令，， 令，， 因为，， 若，则在处的切线必然是上升的， 又因为，所以当且靠近的函数值满足， 此时就有， 从而可推导在且靠近的附近是递增的， 又因为， 所以在且靠近的附近必有 则必然不满足对恒有， 所以要满足对恒有， 首先必需满足在且靠近的附近， 所以满足， 从而可得参数满足的必要条件是； 下面再证充分性，当，时，则，即有， 又构造，，可得， 所以在区间上单调递增，即， 则可知，则， 恒成立，符合题意， 综上：的取值范围为. 22. （2026湖南常德一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意可知整理得， 又因为，所以要想最大，则有，并且，即，所以， 设函数，令，解得或（舍去）. 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最大值为.故选：B 23. （2026湖南常德一模）已知函数，. （1）当，时，求函数的单调区间； （2）若对任意，，对恒成立. （i）求的取值范围： （ii）若，证明：函数有且仅有一个极大值点. 【小问1详解】当，时，可得，所以， 当时，；当时. 所以增区间为，减区间为. 【小问2详解】（i）设，则在上单调递减， 则只需，令，，由可得； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以，所以. （ii）由上知，又，当时. ， 当时，， 由零点存在定理可知存在，使得. 下面证明：在区间上有且仅有一个零点. 记，， 则，令，可得； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以. ①当时，，所以单调递减 此时在区间上有且仅有一个零点 ②当时，，. 当时，此时存在唯一的，使得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上有且仅有一个零点. 当时，存在两个点，，使得， 即， 故在上单调递减，上单调递增，上单调递减， 又. 记，. 所以，进而，所以对任意，总有 则对任意，.所以不存在零点. 而在上单调递减，，所以在上有且仅有一个零点. 综上所述，在上有且仅有一个零点， 且当时，，时，，从而为的极大值点， 所以有且仅有一个极大值点，证毕. 1 学科网（北京）股份有限公司 $