专题3.3 导数的应用：单调性、极值与最值（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数应用核心考点，涵盖单调性、极值与最值及跨模块综合问题，按“定义-策略-应用”逻辑梳理知识点，通过考点精析、方法总结、真题演练环节，帮助学生构建解题框架，突破分类讨论等难点，体现复习系统性与针对性。 讲义创新采用“题型-变式-真题”分层训练模式，如含参单调性讨论中引导学生通过二次项系数等分类培养数学思维，极值问题建模提升应用意识。设置梯度练习与即时反馈，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

专题3.3 导数的应用：单调性、极值与最值（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、导数的应用：单调性、极值与最值 导数与函数是高中数学的重要内容，函数的单调性、极值与最值是高考常考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有：利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；多与不等式、函数零点(或方程根)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大. 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 函数的单调性 新课标I卷：第19题，12分 新课标Ⅱ卷：第6题，5分 全国甲卷（文数）：第20题，12分 全国甲卷（理数）：第21题，12分 全国乙卷（文数）：第20题，12分 新课标I卷：第10题，6分 全国甲卷（文数）：第20题，12分 全国二卷：第18题，17分 函数的极值与最值 新课标Ⅱ卷：第22题，12分 全国乙卷（理数）：第21题，12分 新课标I卷：第10题，6分 新课标Ⅱ卷：第16题，15分 全国甲卷（理数）：第21题，12分 全国一卷：第19题，17分 全国二卷：第13题，5分 上海卷：第19题，14分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，函数的单调性、极值与最值问题的考情将继续维持稳定态势。单调性、极值、最值依旧是考查核心，或与三角函数、不等式等内容跨模块结合考查，主要涉及分类讨论、转化与化归等数学思想。单调性、极值、最值问题在选择题、填空题、解答题中都有可能考查，而在解答题中进行考查时综合性较强，试题难度较大。 知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略 1．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2．含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 知识点2 导数中函数单调性的应用 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 知识点3 函数的极值问题及其解题策略 1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 2．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 知识点4 函数的最值问题及其解题策略 1．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 2．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【方法技巧与总结】 1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【题型1 函数与导函数图象问题】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【变式1-1】（2025·河北·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·陕西渭南·二模）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·湖南郴州·三模）已知函数与其导函数的部分图象如图所示.设函数，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在处取得极大值 【题型2 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例2】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，则下列叙述正确的是（　　） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增 D．在区间内单调递减 【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【题型3 由函数的单调性求参数】 【例3】（2025·江苏·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【变式3-1】（2025·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·四川绵阳·一模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 导数中函数单调性的应用】 【例4】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【题型5 利用导数求函数的极值】 【例5】（2025·河南·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【变式5-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【变式5-2】（2025·四川·模拟预测）已知函数的极值点为，则 ． 【变式5-3】（2025·广东·模拟预测）函数的极小值为 ． 【题型6 根据极值（点）求参数】 【例6】（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围. 【变式6-3】（2025·安徽黄山·二模）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，判断函数在区间上的单调性； (2)令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：当时，． 【题型7 利用导数求函数的最值】 【例7】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求； (2)若，求的最大值． 【变式7-3】（2025·山东烟台·三模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，，且，求的最大值． 【题型8 已知函数最值求参数】 【例8】（2025·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 【变式8-3】（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 考点一 函数的单调性 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B．e C． D． 二、填空题 2．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 三、解答题 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 考点二 函数的极值与最值 一、多选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 . 三、解答题 5．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 导数的应用：单调性、极值与最值（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、导数的应用：单调性、极值与最值 导数与函数是高中数学的重要内容，函数的单调性、极值与最值是高考常考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有：利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；多与不等式、函数零点(或方程根)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大. 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 函数的单调性 新课标I卷：第19题，12分 新课标Ⅱ卷：第6题，5分 全国甲卷（文数）：第20题，12分 全国甲卷（理数）：第21题，12分 全国乙卷（文数）：第20题，12分 新课标I卷：第10题，6分 全国甲卷（文数）：第20题，12分 全国二卷：第18题，17分 函数的极值与最值 新课标Ⅱ卷：第22题，12分 全国乙卷（理数）：第21题，12分 新课标I卷：第10题，6分 新课标Ⅱ卷：第16题，15分 全国甲卷（理数）：第21题，12分 全国一卷：第19题，17分 全国二卷：第13题，5分 上海卷：第19题，14分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，函数的单调性、极值与最值问题的考情将继续维持稳定态势。单调性、极值、最值依旧是考查核心，或与三角函数、不等式等内容跨模块结合考查，主要涉及分类讨论、转化与化归等数学思想。单调性、极值、最值问题在选择题、填空题、解答题中都有可能考查，而在解答题中进行考查时综合性较强，试题难度较大。 知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略 1．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2．含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 知识点2 导数中函数单调性的应用 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 知识点3 函数的极值问题及其解题策略 1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 2．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 知识点4 函数的最值问题及其解题策略 1．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 2．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【方法技巧与总结】 1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【题型1 函数与导函数图象问题】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【解题思路】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【解答过程】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B. 【变式1-1】（2025·河北·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导可得，再由二次函数的图象性质即可判断. 【解答过程】， 如图：因为的图象是开口向上的抛物线，所以 ； 应为函数图象关于轴对称，即为偶函数，所以； 因为有两根且互为相反数，所以. 综上：. 故选：B． 【变式1-2】（2025·陕西渭南·二模）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的图象可得是函数的极小值点，求出值，再解不等式. 【解答过程】观察图象知，是函数的极小值点，求导得， 则，解得，当时，；当时，， 则是函数的极小值点，，， 不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式1-3】（2025·湖南郴州·三模）已知函数与其导函数的部分图象如图所示.设函数，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在处取得极大值 【答案】B 【解题思路】确定、的分布图，分析函数的单调性，可判断A选项；求得，比较、的大小，可得出函数的单调性，可判断BCD选项. 【解答过程】由图可知、的分布如图所示. 易得当时，，所以在上单调递减， 则，A错误； 由，得. 当时，，所以， 所以在上单调递减，所以，即， 所以，B正确； 当时，，则， 所以，在上单调递增，C错误； 当时，，所以， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，在处取得极小值，D错误. 故选：B. 【题型2 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例2】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【解答过程】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，则下列叙述正确的是（　　） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增 D．在区间内单调递减 【答案】C 【解题思路】利用导数判断函数的单调性，判断各个选项. 【解答过程】对函数， 求导得 对于A，当时，，， 此时，函数在区间内单调递减，A错误； 对于B，当时，由上可知函数在区间内单调递减， 当时，，，此时有正有负， 函数在区间内不是单调递减的，B错误； 对于C，当时，，， 此时，函数在区间内单调递增，C正确； 对于D，当时，由上分析可知函数在区间内单调递减， 函数在区间内单调递增，D错误； 故选：C. 【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【解题思路】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【解答过程】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (2) 【解题思路】（1）对函数求导，对参数分类讨论，根据导数判断函数单调性； （2）结合（1）进而求得函数的最大值，再结合不等式求解参数取值范围. 【解答过程】（1）函数的定义域， 对函数求导得， ①当时，，因为，所以，则， 函数在上单调递增. ②当时，令，即，解得（舍）或， 当，所以，则，函数单调递增. 当，所以，则，函数单调递减. ③当时，令，即，解得（舍）或， 因为，所以，则，函数在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增， 所以当，，则存在，使成立. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 所以 ， 若存在，使，即 令， 求导， 令，， 令，解得或（舍）， 当，，函数单调递增. 当，，函数单调递减. 所以有最大值， 可知，在单调递减，且，当，， 当时，. 综上，实数的取值范围. 【题型3 由函数的单调性求参数】 【例3】（2025·江苏·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到在上恒成立，从而求出的范围. 【解答过程】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是. 故选：A. 【变式3-1】（2025·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【解答过程】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 【变式3-2】（2025·四川绵阳·一模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】对函数求导，根据的范围确定导数大于0时的范围，进而根据充分条件、必要条件的定义确定答案. 【解答过程】对函数求导得 当时，，此时函数在上单调递增， 所以“”是函数在上单调递增的充分条件； 令，则，即， 因为，所以，所以，经验证当时，此时，在上单调递增，符合题意， 则无法推出， 也就是说，函数在上单调递增推不出“”， 综上，“”是函数在上单调递增的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-3】（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【解答过程】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 【题型4 导数中函数单调性的应用】 【例4】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，由导数得出单调性即可得出，构造，由导数得出单调性，即可得出． 【解答过程】构造函数， 当时，，故在上单调递增， 所以， 构造函数， 则， 当在单调递增， 所以，即， 所以. 故选：B． 【变式4-1】（25-26高三上·江西·月考）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，将原不等式转化为辅助函数的不等式，结合单调性求解自变量的范围. 【解答过程】构造函数， 则， 由，得，故在上单调递减. 计算. 将变形为，即. 因单调递减，故，解得. 故选：C. 【变式4-2】（2025·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而利用单调性比较大小. 【解答过程】设， 则，，， 因为，当时，，所以在上单调递增． 又，所以． 故选：C. 【变式4-3】（2025·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集. 【解答过程】设函数，求导得， 由，得，函数在R上单调递减， ，即， 由，得，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【题型5 利用导数求函数的极值】 【例5】（2025·河南·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【解题思路】求导得，令，求得极值点，进而可得的单调性，代入求解，即可得答案. 【解答过程】由题意，，， 令，解得或1， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当，取得极小值，且. 故选：C. 【变式5-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值. 【解答过程】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A. 【变式5-2】（2025·四川·模拟预测）已知函数的极值点为，则 ． 【答案】 【解题思路】求导，判断函数的单调性并结合极值点的定义判断. 【解答过程】由，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值点为，即. 故答案为：. 【变式5-3】（2025·广东·模拟预测）函数的极小值为 ． 【答案】3 【解题思路】先求导，再根据导数正负判断单调性确定极值即可． 【解答过程】易得， 故当时，，单调递减； 时，，单调递增． 故的极小值为． 故答案为：3． 【题型6 根据极值（点）求参数】 【例6】（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数在某区间有极值等同于其导数在该区间有变号零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得. 【解答过程】， 因为函数在上有极值，说明其导数在内有变号零点， 即方程在内有解，且解两侧导数符号不同， 令，则在有解，且不能是重根. 分离参数可得， 令，则， 所以，所以， 当时，，仅在处， 故在上单调递减，无极值. 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式6-1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得在内有两个不等实根，求解即可. 【解答过程】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 【变式6-2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分类讨论求得的单调性，进而可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【解答过程】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立， 在上单调递增，无极值. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，极大值为. 令， 解得，所以的取值范围为. 【变式6-3】（2025·安徽黄山·二模）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，判断函数在区间上的单调性； (2)令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：当时，． 【答案】(1)函数在区间上的单调递减； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）利用导数研究函数的区间单调性即可； （2）问题化为在上有解，导数研究右侧的单调性和区间值域，即可得参数范围； （3）问题化为证，构造并应用导数研究其最小值，得到，即可证. 【解答过程】（1）由题设，则， 当，有，则， 所以在区间上的单调递减； （2）由题设，则， 所以上，即在上有解， 令且，则， 所以在上单调递增，故，即； （3）由，只需证恒成立， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，故， 所以，恒成立. 【题型7 利用导数求函数的最值】 【例7】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数判断函数的单调性，进而可求得最大值. 【解答过程】，， ，，即， 在上单调递增，. 故选：D. 【变式7-1】（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出函数导数，判断函数单调性，即可求得函数极值，即可求得答案. 【解答过程】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B. 【变式7-2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2)4． 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，结合切线过原点求出参数的值； （2）在时，对求导，利用零点存在定理判断其单调性，借助于导函数的零点，即可化简转化，求得的最大值. 【解答过程】（1）的定义域为，则． ，则． 所以曲线在点处的切线方程为． 依题意，将点代入切线方程，解得． （2）当时，，且， 所以， 设，易知在上单调递减， 且， 故存在，使得，即，所以，即， 当时，故在上单调递增， 当时，故在上单调递减， 所以， 故的最大值为4． 【变式7-3】（2025·山东烟台·三模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，，且，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求导得，对分类讨论即可得解； （2）由韦达定理，，，通过换元构造函数，即可求解. 【解答过程】（1）函数的定义域为， ， 令，， ①当时，，， 所以函数在上单调递减． ②当时，，， 所以函数在，上单调递减， 在上单调递增． （2）由（1）可知当时，函数存在两个极值点，， 且满足，， 所以 ， 令，所以， ，所以在单调递增， ，所以的最大值为． 【题型8 已知函数最值求参数】 【例8】（2025·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出函数在上的极大值，根据函数有最大值可得出关于实数的不等式组，即可得出实数的最大值. 【解答过程】当时，，则， 当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 则函数在处取得极大值，且极大值为， 因为函数函数有最大值，则，解得， 因此，实数的最大值为. 故选：C. 【变式8-1】（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对函数求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【解答过程】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式8-2】（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 【答案】1 【解题思路】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立方程，可得答案. 【解答过程】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为：. 【变式8-3】（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【解答过程】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 考点一 函数的单调性 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B．e C． D． 【答案】C 【解题思路】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【解答过程】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 二、填空题 2．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【解答过程】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【解题思路】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【解答过程】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意 ， 所以. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解题思路】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【解答过程】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【解题思路】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解； （2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解； 法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以 ， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【解答过程】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 考点二 函数的极值与最值 一、多选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【解题思路】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【解答过程】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解题思路】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【解答过程】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【解答过程】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD. 二、填空题 4．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 . 【答案】 【解题思路】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【解答过程】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 三、解答题 5．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【解题思路】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【解答过程】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【解题思路】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $