精品解析：2026年湖南株洲市初中学业水平调研考试数学试题卷

株洲市2026年初中学业水平调研考试 数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 注意事项：1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下图温度计上，如果点A表示的摄氏温度是，则点B表示的摄氏温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察温度计，明确刻度线的位置，根据正负数在温度计上的表示意义进行判断． 【详解】解：由图可知，温度计的刻度线在中间位置，以上表示零上温度，以下表示零下温度. ∵点B位于刻度线下方10个单位处， ∴点B表示的摄氏温度是． 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误． ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，∴B错误． ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得，∴C正确． ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，∴D错误． 3. 把数据25000用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：将的小数点向左移动位可得到， ． 4. 如图，它是1988年出土的新石器时代的仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图的定义，从物体的正面观察，确定看到的平面图形，再与选项进行比对． 【详解】解：由图可得仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是，与选项A 所示图形一致． 5. 中国大汶口文化时期的先民热爱生活，喜欢自然的美，那种源于自然的纹饰有一种“松弛感”与“秩序美”．如图，是一幅用树叶生成的纹饰图案，它用的主要的几何变换方法是（ ） A. 平移 B. 轴对称 C. 中心对称 D. 旋转 【答案】D 【解析】 【分析】观察图形特征，图案由若干个形状、大小相同的树叶围绕中心排列而成，方向发生了改变，符合旋转变换的特征． 【详解】解：观察图形可知，该图案是由一个树叶形状绕中心点旋转一定的角度依次排列形成的， 该图案主要的几何变换方法是旋转， 故选D． 6. 某班有5位学生参加志愿者服务次数为：6，10，9，8，6，则这组数据的中位数为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为： ∵这5个数据最中间的数是8， ∴数就是这组数据的中位数． 7. 化简，结果正确的是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式展开式子，再合并同类项即可得到结果. 【详解】解： ． 8. 反比例函数的图象上有两点，，且，则下列结论正确的是（） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论两点、的位置，结合的条件推导的取值范围，反比例函数的，在每个象限内随增大而减小． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴双曲线两个分支分别在第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 分三种情况讨论∶ 1．若、都在第一象限则，解得． ∵， ∴，符合题意． 2．若、都在第三象限则，解得： ∵， ∴，符合题意． 3．若在第三象限、在第一象限则，解得：， ∴，不符合题意， 综上所述，或． 9. 如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点O．若点，点，点，则点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点和的坐标确定位似比，利用矩形的中心对称性求出大矩形在第三象限的顶点坐标，最后根据位似变换的性质求出点的坐标． 【详解】解：点，点，且为位似中心 小矩形与大矩形的位似比为 矩形的对称中心与原点重合，点 大矩形在第三象限的顶点坐标为 点是小矩形在第三象限的顶点，与大矩形在第三象限的顶点对应 点的坐标为，即． 10. 汉代初期的《淮南万毕术》所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律探清井底情况的方法．如图是一口深井的示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再结合已知条件求出，最后根据求解即可． 【详解】解：，， ，  且 ， ， 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 分式方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 去分母，两边同乘最简公分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 13. 若在有理数范围内可以用平方差公式分解因式，则数a的值可以是________．（只写答案） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征，要使 在有理数范围内能用平方差公式分解因式，需为有理数的平方，任取一个满足条件的即可． 【详解】解：，符合要求． 14. 如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 【答案】 20 【解析】 【分析】根据题意利用“边角边”证明与全等，再根据全等三角形对应边相等即可求解； 【详解】解：在和中，  ， ，  ， ，  ． 15. 如图，是的直径，与相切于点B，D是的中点，连接．已知，则的度数为________． 【答案】40 【解析】 【分析】首先根据切线的性质得到，利用三角形内角和定理求出的度数；然后根据三角形中位线定理证明，利用平行线的性质求出的度数；最后三角形的外角求出的度数，通过角的和差关系即可求解． 【详解】解：与相切于点，  ，  . 在中，，  是的中点，是的中点，  是的中位线，  ，   ，     ． 16. 定义：如果直角三角形的两条直角边长的差等于斜边长的一半，那么称这个直角三角形是“三角形”．已知是“三角形”，． ①若该直角三角形的斜边长是，则它的面积是________； ②若，则的正弦值是________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据“三角形”的定义得到直角边的关系，结合勾股定理和完全平方公式求解第一问的面积，第二问利用大角对大边得到直角边的大小关系，结合正弦的定义列一元二次方程求解，取正根即可． 【详解】解：设中，，，，的对边分别为，，，由定义得，由勾股定理得． ① 已知，则 ， 两边平方得 ， 即， 代入得 ， 解得， 因此的面积 ． ② ， ，可得，即． 由正弦的定义得，设，则，代入得 ． 将， 代入得： ， ，两边同除以得： ， 展开整理得 ， 解一元二次方程得：， 是锐角，， ，即． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，18题8分，第19、20、21、22题每小题9分，第23、24题每小题11分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：解不等式，得 ； 解不等式 ，得 ； ∴原不等式组的解集为 ． 19. 某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（型）和基础平板（型）．已知型平板的单价比型平板贵元．若采购台型平板比采购台型平板多花费元． （1）求型平板和型平板的单价； （2）若集训队共需配备台平板电脑，且总采购预算不超过元，则最多能采购型平板多少台？ 【答案】（1）型平板单价为元，型平板单价为元 （2）最多能采购型平板台 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种平板的单价； （2）根据总采购预算的限制列出一元一次不等式，结合平板电脑台数为正整数，即可求得最多采购型平板的数量． 【小问1详解】 解：设型平板单价为元，型平板单价为元． 根据题意得   解得   答：A型平板单价为1600元，B型平板单价为1000元． 【小问2详解】 解：设能采购型平板台，则采购型平板 台． 根据题意得    整理得   解得   因为为非负整数，所以的最大值为36． 答：最多能采购型平板台． 20. 某校开展“科技生活认知”调查活动，为了解学生对科技生活的关注情况，学校设计了调查问卷，部分问题如下： 【必选问题1】（单选题）你最感兴趣的科技生活项目是（ ） A．应用（如 、智能语音助手） B．智能家居（如扫地机器人、智能灯光系统） C．虚拟现实体验（如游戏、虚拟旅游） D．新能源技术（如电动汽车、太阳能设备） 【必选问题2】（单选题）你认为科技对学习的帮助主要体现在（ ） E．辅助学习（如解题工具、在线课程平台） F．提升效率（如智能笔记、时间管理） G．拓展资源（如查找资料，研究方法，策略） 该校随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据整理后，绘制了如下不完整的统计图表： 问题1 A 40 B 28 C 12 D a 问题2 E 60 F 22 G 18 请根据以上信息，完成下列问题： （1）统计表中的________，A的频率是________，扇形统计图中E的圆心角是________，请补画完成条形统计图； （2）若该校共有2800名学生，请估计全校对于问题2选择“E辅助学习”的学生人数； （3）小利同学参加了这次调查，求小利同时选择“A和E”的概率（要求画出树状图或列表分析）． 【答案】（1）20； ；  （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计图表中的数据关系进行计算求解即可． （2）用样本中E的占比乘以全校总人数，估计选择E的学生数即可． （3）列出两题所有组合，可得共12种情况，选择A和E只有1种情况，由此求解概率即可． 【小问1详解】 解：由问题2可知，调查的人数为 人， 所以 ， A的频率为， E的圆心角是 ． 【小问2详解】 解：根据题意，样本中选择“E辅助学习”的人数为60人，总人数为100人． 全校选择“E辅助学习”的人数约为： ． 答：估计全校对于问题2选择“E辅助学习”的人数为1680人． 【小问3详解】 解： 问题1\问题2 由表格可知，共12种情况， 同时选择“A和E”共1种情况， 所以小利同时选择“A和E”的概率为． 21. 如图，是直角三角形，．以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，，点为线段上一动点，过点作的垂线交射线于点，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 【答案】（1） 证明：由作图可知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据作图得到两组对边分别相等，判定四边形为平行四边形，再结合，即可证明其为矩形； （2）先用勾股定理求出的长度，再通过平行线性质和直角证明，利用相似三角形对应边成比例建立与的函数关系，最后根据点在线段上确定的取值范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵点为线段上一动点， ∴的取值范围是． 22. 为测量某风景区山腰上一山洞的高度，某数学小组设计了两个测量方案． 活动课题 测量某风景区山腰上的一山洞的高度 测量方案 方案一 方案二 背景示意图及抽象图 测量过程与测量数据 在点A处测得该山洞顶部点C的仰角为，测得上山斜坡的长度为150米，上山斜坡的坡度．已知点A，B，C，M都在同一平面上． 用无人机在与该山洞底部B水平距离米的空中P点位置，测得点B的俯角为，测得该山洞顶部C的仰角为．点P，D，B，C在同一平面上． 参考数据 ， ， ． ，， ，． 说明 线段代表上山斜坡，线段代表该山洞，直线表示水平线，． 请选择其中一种方案计算：求该山洞的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】方案一：该山洞的高度约为米．方案二：该山洞的高度约为米． 【解析】 【分析】方案一：根据坡度可设米，米，由勾股定理得米，米，再解得米，依据可得结论； 方案二：过点作于点，得四边形是矩形，可得米，再解得米，依据可得结论． 【详解】解：方案一：延长交于点，如图， ∵上山斜坡的坡度， ∴， ∴设米，米， ∴，即， 解得， ∴米，米， 在中，， ∴（米） ∴（米）， 答：该山洞的高度约为米． 方案二：过点作于点，如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，，， ∴， ∴， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米） 答：该山洞的高度约为米． 23. 如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． （1）直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； （2）求证：的值为常数； （3）是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为，二次函数的解析式为； （2）的值为常数； （3）存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质可求出点B的坐标，因为点A是顶点以及在上，结合对称轴公式可求出点A坐标，进而利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）因为点T，点Q，点R，点H均在二次函数图像、直线以及x轴上，可分别表示出这四个点的坐标，进而利用两点之间的距离公式表示出线段长，并代入式子进行计算即可； （3）在第（2）问的基础上表示出线段的长，并分别根据题干中所乘系数表示出线段长，进而根据等边三角形三边相等列出等式，进行计算即可求解. 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为8，∴， ∴点B的坐标为， ∵二次函数的解析式为，∴二次函数的图像也经过原点O， ∴二次函数图像的对称轴为直线， ∵点A是二次函数图像的顶点，且在上， ∴点A的坐标为， 将点A和点B分别代入可得， ，解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵点T是直线上方的抛物线上一个动点， 设点T的坐标为， ∵轴，∴点R的坐标为， ∵直线过原点，∴设直线的解析式为， 将点A 代入，可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵轴， ∴点H的坐标为， ∴，， ∴； ∴的值为常数； 【小问3详解】 同（2）可设点T的坐标为， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴，， 要使等边三角形存在，则一定存在： ， 化简，可得， 化简，可得， ∴， ∵，消去，解得， 当时，，∴点T的坐标为， ∴存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【点睛】本题考查二次函数与线段综合问题，并结合考查等边三角形的性质，通过点坐标表示出线段长是解决本题的关键. 24. 已知四边形是平行四边形，，．点从点出发沿边向点运动（不与、重合），同时点从点出发沿边向点运动，点的运动速度是点的运动速度的倍．连接，，作的外接圆与射线相交于另一个点，连接． （1）【基础感悟】如图1，若，求的长； （2）【初步探索】如图2，当点运动到线段的中点时，求证：； （3）【深度探索】如图3，随着点的运动，点的位置也在变化，当点与重合时，连接，①求证：；②求的值． 【答案】（1） （2） 解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点运动到线段的中点时，则， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） ①连接，作于点，作交的延长线于点， 在线段上截取线段，连接，则， ， 设 ，则， ， ， 是等边三角形， ，， ， ∵ ② 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，即可求解； （2）设，则，先证明是等边三角形，再根据圆内接四边形对角互补得出，，根据平行四边形的性质得出，则，即可得出，则； （3）①连接，作于点，作交的延长线于点，在线段上截取线段，连接，则，证明，再根据平行线的性质，即可得证； ②根据得出是的直径，则，即可得出，进而证明，则，设，则，，分别解直角三角形，求得，代入比例式，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的运动速度是点的运动速度的倍 ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②∵， ∴是的直径 ∴， 又∵ ∴ 设，则， ∵ ∴ ，，， ， 解得：（舍去）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市2026年初中学业水平调研考试 数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 注意事项：1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下图温度计上，如果点A表示的摄氏温度是，则点B表示的摄氏温度是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把数据25000用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，它是1988年出土的新石器时代的仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 中国大汶口文化时期的先民热爱生活，喜欢自然的美，那种源于自然的纹饰有一种“松弛感”与“秩序美”．如图，是一幅用树叶生成的纹饰图案，它用的主要的几何变换方法是（ ） A. 平移 B. 轴对称 C. 中心对称 D. 旋转 6. 某班有5位学生参加志愿者服务次数为：6，10，9，8，6，则这组数据的中位数为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 7. 化简，结果正确的是（ ） A. 4 B. C. D. 8. 反比例函数的图象上有两点，，且，则下列结论正确的是（） A. B. C. 或 D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点O．若点，点，点，则点的坐标为（） A. B. C. D. 10. 汉代初期的《淮南万毕术》所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律探清井底情况的方法．如图是一口深井的示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 12. 分式方程的解是________． 13. 若在有理数范围内可以用平方差公式分解因式，则数a的值可以是________．（只写答案） 14. 如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 15. 如图，是的直径，与相切于点B，D是的中点，连接．已知，则的度数为________． 16. 定义：如果直角三角形的两条直角边长的差等于斜边长的一半，那么称这个直角三角形是“三角形”．已知是“三角形”，． ①若该直角三角形的斜边长是，则它的面积是________； ②若，则的正弦值是________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，18题8分，第19、20、21、22题每小题9分，第23、24题每小题11分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（型）和基础平板（型）．已知型平板的单价比型平板贵元．若采购台型平板比采购台型平板多花费元． （1）求型平板和型平板的单价； （2）若集训队共需配备台平板电脑，且总采购预算不超过元，则最多能采购型平板多少台？ 20. 某校开展“科技生活认知”调查活动，为了解学生对科技生活的关注情况，学校设计了调查问卷，部分问题如下： 【必选问题1】（单选题）你最感兴趣的科技生活项目是（ ） A．应用（如 、智能语音助手） B．智能家居（如扫地机器人、智能灯光系统） C．虚拟现实体验（如游戏、虚拟旅游） D．新能源技术（如电动汽车、太阳能设备） 【必选问题2】（单选题）你认为科技对学习的帮助主要体现在（ ） E．辅助学习（如解题工具、在线课程平台） F．提升效率（如智能笔记、时间管理） G．拓展资源（如查找资料，研究方法，策略） 该校随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据整理后，绘制了如下不完整的统计图表： 问题1 A 40 B 28 C 12 D a 问题2 E 60 F 22 G 18 请根据以上信息，完成下列问题： （1）统计表中的________，A的频率是________，扇形统计图中E的圆心角是________，请补画完成条形统计图； （2）若该校共有2800名学生，请估计全校对于问题2选择“E辅助学习”的学生人数； （3）小利同学参加了这次调查，求小利同时选择“A和E”的概率（要求画出树状图或列表分析）． 21. 如图，是直角三角形，．以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，，点为线段上一动点，过点作的垂线交射线于点，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 22. 为测量某风景区山腰上一山洞的高度，某数学小组设计了两个测量方案． 活动课题 测量某风景区山腰上的一山洞的高度 测量方案 方案一 方案二 背景示意图及抽象图 测量过程与测量数据 在点A处测得该山洞顶部点C的仰角为，测得上山斜坡的长度为150米，上山斜坡的坡度．已知点A，B，C，M都在同一平面上． 用无人机在与该山洞底部B水平距离米的空中P点位置，测得点B的俯角为，测得该山洞顶部C的仰角为．点P，D，B，C在同一平面上． 参考数据 ， ， ． ，， ，． 说明 线段代表上山斜坡，线段代表该山洞，直线表示水平线，． 请选择其中一种方案计算：求该山洞的高度．（结果精确到0.1米） 23. 如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． （1）直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； （2）求证：的值为常数； （3）是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 24. 已知四边形是平行四边形，，．点从点出发沿边向点运动（不与、重合），同时点从点出发沿边向点运动，点的运动速度是点的运动速度的倍．连接，，作的外接圆与射线相交于另一个点，连接． （1）【基础感悟】如图1，若，求的长； （2）【初步探索】如图2，当点运动到线段的中点时，求证：； （3）【深度探索】如图3，随着点的运动，点的位置也在变化，当点与重合时，连接，①求证：；②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $