精品解析：2025年湖南省株洲市芦淞区体育路中学中考一模数学试题

湖南省株洲市芦淞区体育路中学2024-2025学年中考 一模数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 在实数， ，5，0中，最大的实数是（　　） A. B. C. 5 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查的是实数的大小比较，解决此题的关键是理解正数、负数的定义，同时知道正数负数．要想在这几个数中找最大的数，首先将数分为正数、负数、0，然后根据正数负数即可解决此题． 【详解】解： ， 是负数，正数负数， 在实数中， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，合并同类项，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A.，故本选项错误，不符合题意； B.，故本选项错误，不符合题意； C.，故本选项正确，符合题意； D.，故本选项正确，符合题意； 故选：C. 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、合并同类项、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则、熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上往下看求解即可． 【详解】解：根据俯视图是从上往下看可知题干组合体的俯视图是， 故选：D 4. 如图， 中，，两等圆，外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不规则图形的面积计算，根据题意可知阴影部分的面积为圆心角为的扇形的面积，然后根据勾股定理求出，据此即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴阴影部分的面积等于圆心角为 的扇形的面积． ∵ ， ， ， ∴根据勾股定理得：， ∴扇形的半径为5． ∴阴影部分的面积=． 故选：C 5. 太空中微波理论上可以在秒内接收到相距约的信息，数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时， 是正数；当原数的绝对值小于1时， 是负数． 根据科学记数法的表示形式改写即可． 【详解】解：． 故选C． 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式中可得反比例函数图象经过第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，进而求解． 【详解】解：∵， ∴函数图象在第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时，当时， ∵，都在反比例函数的图象上， ∴， 故选：C． 7. 如图， 是 的外接圆，已知，则 的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等边对等角，得到，进而求出的度数，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得解． 【详解】解：∵ 是 的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键． 8. 我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每 人坐一辆车，则有 辆车是空的；如果每 人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为 人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设人数为 人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为 人， 由题意得，， 故选：． 9. 二次函数 （a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象与y轴的交点可判断A；根据图象与x轴的交点可判断B、D；根据图象的开口方向、对称轴以及时的函数值可判断C，进而可得答案． 【详解】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交， ∴，故选项A结论错误，不符合题意； ∵该函数图象与x轴有两个交点， ∴，故选项B结论错误，不符合题意； ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴，，即， ∵当时，， ∴，即，故选项C结论正确，符合题意； ∵该函数图象与x轴交点在 和0之间，其对称轴为直线， ∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间， ∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在矩形 中，O为 的中点，过点O作 的垂线，分别交 于点F，交 于点E，G是 的中点，且，有下列结论：①；②；③连结 ， ，四边形 为菱形；④其中正确的是（　　） A. ②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由G是 的中点，O为 的中点，得到，故②错误，由，得到，由，得到，设，则，，在中，引用勾股定理，求出 ，进而得到 ，在 中，求出 、 ，即可判断①正确，由，得到，由垂直平分线的性质得到 ，，即可判断③正确，分别计算，，即可判断④正确， 本题考查了矩形的性质，含角的直角三角形，菱形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：用含 的代数式，表示出各个线段的长． 【详解】解：连接，如图， ∵G是 的中点，O为 的中点， ∴，故②错误， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，， ∵矩形 ， ∴，， ∴， 在 中，，， ∴，故①正确， ∵，，， ∴， ∴， ∵O为 的中点，， ∴ ，，即：， ∴四边形 为菱形，故③正确， ，， ∴，故④正确， 综上所述：①③④正确， 故选：D． 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】把（x-y）看成整体，利用完全平方公式分解即可． 【详解】 = ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 12. 如图，在数轴上点M、N分别表示数2、，则x的取值范围是 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据数轴得到不等式是解题的关键． 根据数轴得到关于x的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：由题意可知， 解得， 故答案为：． 13. 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中随机选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图求概率，概率公式，解题关键是掌握列表法和树状图．列表可得到所有等可能的结果数，及甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：用A，B，C，D分别表示四种水果，列表如下： 甲 乙 由表格可得所有等可能的结果有 种，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的有 种结果， ∴甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为：． 故答案为：． 14. 某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按、面试成绩按计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为___________分； 【答案】81 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵笔试成绩按、面试成绩按， ∴总成绩是（分）， 故答案为：81． 15. 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，判别式，理解判别式是解答关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，列出方程求解． 【详解】解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根， ， 即， 解得. 故答案为：． 16. 在边长相等的小正方形组成的网格中，点 ， ，都在格点上，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，连接 ，证明 ，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 17. 方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据加减消元可直接进行求解． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； 故答案为． 18. 如图，在边长为4的菱形 中，，将 沿射线 的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到 ，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于 的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接交定直线于E，通过证明得到，即可得出结论． 【详解】解：连接 交 于点O， ∵四边形 为菱形， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得， ∴，整理得：， ∵， ∴，则 为等边三角形那个， ∴， ∵在边长为4的菱形 中，， ∴，， ∵将沿射线 的方向平移得到 ∴，， ∵四边形 是菱形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点E在过点A且平行于 的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点M，连接交定直线于E，则的长度即为的最小值， 根据轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】-4 【解析】 【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值． 【详解】原式＝﹣1﹣3×+1﹣4 ＝﹣1﹣+1﹣4 ＝﹣4． 【点睛】本题综合考查了绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂等知识，掌握这些知识是基础和关键． 20. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，试从 ， ， 三个数中选取一个你喜欢的数代入求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式运算的化简求值， 对于（1），根据去分母，移项合并同类项，系数化为1，最后检验即可； 对于（2），先计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算，然后代入数值计算即可． 【详解】解：（1）去分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解是； （2）原式． ∵， ∴当 时，原式． 21. 如图所示，已知平行四边形 的对角线交于O，过O作直线交的反向延长线于E、F，求证： ． 【答案】 解：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形性质及全等三角形的判定与性质，证出，进而证明即可得出结论． 【详解】略 22. 某校在校园文化艺术节期间，举办了歌咏、小品、书法、绘画共四个项目的比赛，要求每名学生必须参加且仅参加一项．小明随机调查了部分学生的报名情况，根据调查结果绘制出了如下不完整的“各项目参赛人数及比例”统计表，请根据图表中提供的信息，解答下列的问题： 各项目参赛人数及比例统计表 项目 人数 百分比 歌咏 20 10% 小品 60 a 书法 b 40% 绘画 40 20% （1）本次调查中共抽取了　　名学生 （2）表中的a＝　　，b＝　　 （3）根据统计表中的数据和所学统计图的知识，任选绘制一幅统计图，能直观反映各项目的参加人数或参赛人数的比例． 【答案】（1）200； （2）30%，80； （3）用扇形统计图表示如图所示： 【解析】 【分析】（1）用歌咏的人数除以它的占比即可得到答案； （2）根据百分比=某一项目的人数除以抽取的总人数进行求解即可； （3）反应百分比应该选择扇形统计图即可． 【详解】解：（1）由题意得：抽取的学生人数=20÷10%＝200（名）， 故答案为：200； （2）由题意得：小品的占比=60÷200＝30%，书法的人数=200×40%＝80， ∴a=30%，b=80， 故答案为：30%，80； （3）略 【点睛】本题主要考查了统计调查的应用，解题的关键在于能够准确根据题意求出抽取的总人数． 23. 2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图所示为某滑雪场的横截面示意图，雪道分为 ， 两部分，小明同学在点测得雪道 的坡度，在点 测得点 的俯角．雪道 长为，雪道 长为．求该滑雪场的高度． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作，过点A作于点E，过点B作 垂直地面于点F，则，，，由含角的直角三角形的性质得出 的长，再由坡度设，则，然后由勾股定理求出 的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，过点A作于点E，过点B作 垂直地面于点F， 则，，， ∴， ∵雪道 的坡度， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∴， 答：该滑雪场的高度h为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握仰角俯角和坡度坡角以及勾股定理是解题的关键． 24. 近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元． （1）A，B两种花的单价各为多少元？ （2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？ 【答案】（1）A种花的单价为4元，B种花的单价为5元； （2）当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元． 【解析】 【分析】（1）设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式；根据自变量的范围结合一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元， 依题意得， 解得：， 答：A种花的单价为4元，B种花的单价为5元； 【小问2详解】 解：由题意可得，， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， 此时，， 即当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函数关系式是解题的关键． 25. 定义：在平面直角坐标系 中，当点 在图形 的内部，或在图形 上，且点 的横坐标和纵坐标相等时，则称点 为图形 的“梦之点”． （1）如图①，矩形 的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断 的形状并说明理由． （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以 为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 是直角三角形 （3）点 的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案； （2）根据“梦之点”的定义求出 的坐标，再求出顶点的坐标，计算出的长，根据勾股定理逆定理得出 是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案； （3）由（2）可得，，求出直线 的解析式为 ，由菱形的性质可得点 、在直线上，联立，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： 矩形 的顶点坐标分别是，， 矩形 的“梦之点”满足，， 点是矩形 的“梦之点”，不是矩形 的“梦之点”． 【小问2详解】 点是抛物线上的“梦之点”， ， 解得：，， 当时，，当时，， ，， ， 顶点， ，，， ， 是直角三角形． 【小问3详解】 由（2）可得，， 设直线 的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 直线 的解析式为： ， 以 为对角线，以为顶点的四边形是菱形， ， 点 、在直线上， 点 在二次函数上， 联立， 解得：，， 点 的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 26. 如图，已知：等腰梯形 中， ，，以A为圆心， 为半径的圆与 相交于点E，与 相交于点F，联结，设分别与 相交于点G、H，其中H是 的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图1，如果 ，求的值； （3）如图2，如果，求 的余弦值． 【答案】（1） 证明：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵等腰梯形 ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，则，，由等腰梯形 ，可得，则，进而结论得证； （2）由垂径定理得，证明，则，设，则，证明，则，，由勾股定理得，，，则，根据，求解作答即可； （3）由（2）可知，，则，，由（2）可知，，则，，如图，作，垂足为点I，连接 ，则，设，，则，，证明，可得，，由勾股定理得，，即，可得，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， 如图，作，垂足为点I，连接 ， ∵， ∴， 设，，则，， ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，余弦等知识．熟练掌握等腰梯形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，余弦是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市芦淞区体育路中学2024-2025学年中考 一模数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 在实数， ，5，0中，最大的实数是（　　） A. B. C. 5 D. 0 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图， 中，，两等圆，外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A. 10 B. C. D. 5. 太空中微波理论上可以在秒内接收到相距约的信息，数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 是 的外接圆，已知，则 的大小为（　　） A. B. C. D. 8. 我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每 人坐一辆车，则有 辆车是空的；如果每 人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为 人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数 （a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 10. 如图，在矩形 中，O为 的中点，过点O作 的垂线，分别交 于点F，交 于点E，G是 的中点，且，有下列结论：①；②；③连结 ， ，四边形 为菱形；④其中正确的是（　　） A. ②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项） 11. 分解因式：_____． 12. 如图，在数轴上点M、N分别表示数2、，则x的取值范围是 __________ 13. 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中随机选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为___________． 14. 某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按、面试成绩按计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为___________分； 15. 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 16. 在边长相等的小正方形组成的网格中，点 ，，都在格点上，那么的值为___________． 17. 方程组的解为________． 18. 如图，在边长为4的菱形 中，，将 沿射线 的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，试从 ， ， 三个数中选取一个你喜欢的数代入求值． 21. 如图所示，已知平行四边形 的对角线交于O，过O作直线交的反向延长线于E、F，求证： ． 22. 某校在校园文化艺术节期间，举办了歌咏、小品、书法、绘画共四个项目的比赛，要求每名学生必须参加且仅参加一项．小明随机调查了部分学生的报名情况，根据调查结果绘制出了如下不完整的“各项目参赛人数及比例”统计表，请根据图表中提供的信息，解答下列的问题： 各项目参赛人数及比例统计表 项目 人数 百分比 歌咏 20 10% 小品 60 a 书法 b 40% 绘画 40 20% （1）本次调查中共抽取了　　名学生 （2）表中的a＝　　，b＝　　 （3）根据统计表中的数据和所学统计图的知识，任选绘制一幅统计图，能直观反映各项目的参加人数或参赛人数的比例． 23. 2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图所示为某滑雪场的横截面示意图，雪道分为 ， 两部分，小明同学在点测得雪道 的坡度，在点 测得点的俯角．雪道 长为，雪道 长为．求该滑雪场的高度． 24. 近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元． （1）A，B两种花的单价各为多少元？ （2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？ 25. 定义：在平面直角坐标系 中，当点 在图形 的内部，或在图形 上，且点 的横坐标和纵坐标相等时，则称点 为图形 的“梦之点”． （1）如图①，矩形 的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断 的形状并说明理由． （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以 为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，已知：等腰梯形 中， ，，以A为圆心， 为半径的圆与 相交于点E，与 相交于点F，联结，设分别与 相交于点G、H，其中H是 的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图1，如果 ，求的值； （3）如图2，如果，求 的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $