专题21.1 四边形及多边形（6大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦初中数学“四边形及多边形”核心知识点，系统梳理四边形概念、内角和与外角和、不稳定性，多边形定义、对角线规律、内角和定理，以及截角问题、平面镶嵌等内容，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固概念与公式应用，培优题型强化截角、内角和多算少算等推理能力，压轴题型综合复杂多边形与平面镶嵌，结合机器人行走等实际情境，培养学生数学眼光、推理意识与应用意识，课中助力分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题21.1 四边形及多边形 知识点1：四边形的相关概念与性质 1.四边形定义：在平面内，由四条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做四边形，记作四边形（顶点按顺时针/逆时针依次标注）。 2.四边形内角和：任意四边形的内角和为。 3.四边形外角和：任意四边形的外角和为（与内角互补，外角和与边数无关）。 4.四边形的不稳定性：四边形的边长固定时，形状可以改变，该性质广泛应用于伸缩门、升降机等实际场景；与三角形的稳定性形成对比。 知识点2：多边形的相关概念 1.多边形定义：在平面内，由三条或三条以上不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，边数为的多边形叫边形（）。 2.多边形的相关元素： 内角：相邻两边组成的角，边形有个内角； 外角：一边与邻边的延长线组成的角，与相邻内角互补； 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，是多边形中重要的辅助线。 3.正多边形定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形（如正三角形、正方形、正六边形）。 知识点3：多边形的对角线规律 从边形的一个顶点出发，可作条对角线，能将边形分成个三角形； 边形的对角线条数总公式：（，且为整数）。 知识点4：多边形的内角和与外角和定理 定理类型 公式/结论 适用范围 备注 内角和定理 边形内角和 的多边形 可通过分割成三角形推导，边数每增加1，内角和增加 外角和定理 任意多边形的外角和为 所有多边形 与边数无关，正边形的每个外角 知识点5：多边形截角问题的边数变化 将一个边形截去一个角，所得新多边形的边数有三种情况： 1.边数不变：截线经过多边形的两个顶点，新多边形边数仍为； 2.边数增加1：截线不经过多边形的任何顶点，新多边形边数为； 3.边数减少1：截线经过多边形的一个顶点，新多边形边数为。 知识点6：平面镶嵌（密铺）的基本条件 1.定义：用一种或几种正多边形拼接，使拼接点处的各内角之和为，且拼接后无空隙、不重叠； 2.单一正多边形密铺：只有正三角形、正方形、正六边形能单独密铺（内角分别为、、，能整除）； 3.两种正多边形密铺：需满足（、为两种正多边形的内角，、为正整数）。 【基础必考题型】 【题型1】四边形与多边形的概念辨析 1.核心知识点 四边形、多边形、正多边形的定义；多边形的内角、外角、对角线的概念。 2.解题方法技巧 紧扣定义判断：多边形需满足“线段首尾顺次相接、封闭、线段不在同一直线”；正多边形需同时满足“各边相等、各内角相等”，缺一不可；对角线需满足“连接不相邻顶点”。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）在下列图形中，不是多边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【题型2】多边形对角线的条数计算 1.核心知识点 多边形对角线的计数规律；边形对角线总公式。 2.解题方法技巧 单顶点对角线数直接用计算；总对角线条数代入公式；可通过“分割成三角形的个数”反向验证边数。 【例题2】.（24-25八年级上·新疆阿克苏·月考）过六边形的一个顶点可以引出几条对角线（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课前预习）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【变式题2-2】.（25-26八年级下·上海·月考）从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 【变式题2-3】.（23-24八年级上·河北邢台·月考）从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【题型3】多边形内角和与外角和的直接计算 1.核心知识点 多边形内角和定理；多边形外角和定理；正多边形的内角、外角计算。 2.解题方法技巧 已知边数求内角和，直接代入；正多边形的每个内角，每个外角，且内角+外角；外角和恒为，可作为计算突破口。 【例题3】.（2026·北京·一模）若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026年湖南省永州市中考一模数学试题）一个n边形的内角和比四边形的内角和多，则n为______． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·上海·月考）已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【题型4】四边形不稳定性的实际情境应用 1.核心知识点 四边形的不稳定性；三角形的稳定性。 2.解题方法技巧 从实际场景（伸缩门、升降机、折叠衣架、篮球架支架）中识别图形结构：含四边形的结构利用不稳定性实现“变形”，含三角形的结构利用稳定性实现“固定”；对比分析两种图形的性质差异。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中哪些具有稳定性？ 【变式题4-2】.（24-25八年级上·新疆和田·期中）用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（24-25八年级上·贵州遵义·月考）如图，由五根木条构成的五边形，添加2根木条，能使五边形不变形的是（　　） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】多边形截角后的边数与内角和求解 1.核心知识点 多边形截角的边数变化规律；多边形内角和定理。 2.解题方法技巧 先根据新多边形的内角和求出其边数，再分三种情况倒推原多边形边数；截角问题的关键是“截线的位置”，可通过画图辅助分析，避免漏解。 【例题5】.（25-26八年级上·全国·月考）如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 【变式题5-1】.（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 【变式题5-2】.（2024八年级上·广东中山·竞赛）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【变式题5-3】.（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【题型6】多边形内角和的“多/少算一个角”问题 1.核心知识点 多边形内角和定理；凸多边形的内角范围（内角）。 2.解题方法技巧 设原多边形边数为，多/少算的角为（），建立方程：；通过“结果除以的商和余数”确定的值，再求。 【例题6】.（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【变式题6-2】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·周测）看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 【题型7】机器人行走的多边形外角和实际应用 1.核心知识点 多边形外角和定理；正多边形的周长计算。 2.解题方法技巧 机器人每次左转的角度为多边形的一个外角，回到出发点时，左转角度之和为；先通过每次左转角度，求出多边形的边数，再计算总路程（边数每次行走距离）。 【例题7】.（24-25八年级上·云南昆明·期中）某一科技小组制作了一个机器人，如图，它根据某一指令：从原点先向前行走2米，然后右转，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米．（） A．40米 B．36米 C．32米 D．28米 【变式题7-1】.（2025·宁夏·中考真题）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了_____步． 【变式题7-2】.（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 【变式题7-3】.（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，随着科技的不断进步，人工智能机器人逐渐走进人们的生活，在完成某项任务时，机器人小胖从点O出发，沿直线前进8米后向左转，再沿直线前进8米向左转相同的度数，……照这样走下去，当机器人小胖第一次回到了出发点时，共走过了160米，则机器人小胖每次转过的角度n的值为（       ） A．10 B．18 C．20 D．30 【压轴素养题型】 【题型8】复杂多边形的内角和转化求解 1.核心知识点 四边形内角和；多边形内角和定理；对顶三角形的性质（）。 2.解题方法技巧 利用“连接辅助线”将复杂多边形（如五角星、不规则多边形）分割成若干个三角形或四边形；借助对顶三角形的性质，将分散的角转化到一个多边形中，再用内角和公式计算。 【例题8】.（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，的度数为___________． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【题型9】两种正多边形的平面镶嵌探究 1.核心知识点 平面镶嵌的条件；正多边形的内角计算。 2.解题方法技巧 设两种正多边形的边数分别为、，内角分别为、；建立方程（、为正整数），求解正整数解。 【例题9】.（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式题9-1】.（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）工人师傅用边长相等的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长相同的正多边形地砖，无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的边数为________． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，我们称之为图形的密铺．如图，是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．以下哪两种边长相等的正多边形材料组合能够密铺地面___________（填序号）①正三角形与正八边形；②正方形与正八边形；③正三角形与正六边形；④正五边形与正十边形． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型10】多边形内角与外角的综合推理计算 1.核心知识点 多边形内角和与外角和定理；角平分线的性质；三角形内角和。 2.解题方法技巧 结合角平分线的性质，将多边形的内角进行拆分；利用“内角与外角互补”将外角问题转化为内角问题；在推导过程中，借助三角形内角和建立等量关系，逐步推导未知角。 【例题10】.（25-26八年级下·全国·课后作业）求出下列图形中x的值． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【变式题10-2】.（2023八年级上·广东汕头·竞赛）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 易错点 1.混淆正多边形的判定条件：误认为“各边相等的多边形是正多边形”或“各内角相等的多边形是正多边形”，忽略需同时满足两个条件（如长方形各角相等但边不都相等，不是正多边形）。 2.多边形截角问题漏解：只考虑截线不经过顶点的情况，忽略截线经过一个或两个顶点的情况，导致边数计算错误。 3.误判多边形的内角范围：在“多/少算一个角”问题中，未考虑凸多边形内角的范围，求出不符合实际的角的度数。 4.对角线概念理解错误：将多边形的“邻边连线”当作对角线，或计算单顶点对角线数时用代替，导致计数错误。 5.平面镶嵌条件理解偏差：认为所有正多边形都能单独密铺，忽略“拼接点内角和为”的核心条件（如正五边形内角，无法整除，不能单独密铺）。 重点 1.掌握多边形的核心公式：内角和、外角和、对角线总公式，能熟练进行边数、角度、对角线条数的互求。 2.理解多边形截角的三种边数变化规律，能结合内角和定理倒推原多边形边数。 3.掌握“多/少算一个角”问题的解题方法，能利用凸多边形内角范围确定多边形边数和未知角度数。 4.理解四边形的不稳定性和三角形的稳定性的区别，能解决实际情境中的应用问题。 5.掌握平面镶嵌的核心条件，能判断单一或两种正多边形能否密铺，并进行简单的探究计算。 难点 1.复杂多边形的内角和求解：难以找到合适的辅助线，将分散的角转化为规则多边形的内角，需熟练掌握“分割法”和“对顶三角形性质”的应用。 2.多边形内角与外角的综合推理：涉及角平分线、平行线、三角形内角和等多个知识点，需梳理逻辑关系，逐步推导等量关系。 3.多边形的规律探究问题：需要从特殊情况（如二环三角形、内点1个）归纳出一般规律，对数形结合和归纳推理能力要求较高。 4.两种正多边形的平面镶嵌探究：需建立二元一次方程，求解正整数解，既要掌握正多边形内角计算，又要具备一定的方程求解能力。 5.机器人行走、模板检测等实际问题的建模：难以从实际场景中抽象出多边形模型，将实际问题转化为“外角和”“内角和”的数学问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．十二 B．十八 C．十 D．十六 2．一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 4．跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若一个多边形的外角和比它的内角和的少，则这个多边形的边数为____． 7．若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 8．如图，在正五边形的内部作正三角形，则___________． 9．如图，五边形是正五边形，，是边，上的点，且．若，则_______． 10．在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 三、解答题 11．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 12．已知一个正边形的内角和是它的外角和的倍． (1)求的值； (2)求正边形每个内角的度数． 13．（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 14．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 15．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.1 四边形及多边形 知识点1：四边形的相关概念与性质 1.四边形定义：在平面内，由四条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做四边形，记作四边形（顶点按顺时针/逆时针依次标注）。 2.四边形内角和：任意四边形的内角和为。 3.四边形外角和：任意四边形的外角和为（与内角互补，外角和与边数无关）。 4.四边形的不稳定性：四边形的边长固定时，形状可以改变，该性质广泛应用于伸缩门、升降机等实际场景；与三角形的稳定性形成对比。 知识点2：多边形的相关概念 1.多边形定义：在平面内，由三条或三条以上不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，边数为的多边形叫边形（）。 2.多边形的相关元素： 内角：相邻两边组成的角，边形有个内角； 外角：一边与邻边的延长线组成的角，与相邻内角互补； 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，是多边形中重要的辅助线。 3.正多边形定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形（如正三角形、正方形、正六边形）。 知识点3：多边形的对角线规律 从边形的一个顶点出发，可作条对角线，能将边形分成个三角形； 边形的对角线条数总公式：（，且为整数）。 知识点4：多边形的内角和与外角和定理 定理类型 公式/结论 适用范围 备注 内角和定理 边形内角和 的多边形 可通过分割成三角形推导，边数每增加1，内角和增加 外角和定理 任意多边形的外角和为 所有多边形 与边数无关，正边形的每个外角 知识点5：多边形截角问题的边数变化 将一个边形截去一个角，所得新多边形的边数有三种情况： 1.边数不变：截线经过多边形的两个顶点，新多边形边数仍为； 2.边数增加1：截线不经过多边形的任何顶点，新多边形边数为； 3.边数减少1：截线经过多边形的一个顶点，新多边形边数为。 知识点6：平面镶嵌（密铺）的基本条件 1.定义：用一种或几种正多边形拼接，使拼接点处的各内角之和为，且拼接后无空隙、不重叠； 2.单一正多边形密铺：只有正三角形、正方形、正六边形能单独密铺（内角分别为、、，能整除）； 3.两种正多边形密铺：需满足（、为两种正多边形的内角，、为正整数）。 【基础必考题型】 【题型1】四边形与多边形的概念辨析 1.核心知识点 四边形、多边形、正多边形的定义；多边形的内角、外角、对角线的概念。 2.解题方法技巧 紧扣定义判断：多边形需满足“线段首尾顺次相接、封闭、线段不在同一直线”；正多边形需同时满足“各边相等、各内角相等”，缺一不可；对角线需满足“连接不相邻顶点”。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据四边形的定义，判断每个图形是否为四边形，四边形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形． 【详解】解：A项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； B项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； C项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； D项：该图形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形，符合四边形的定义，所以是四边形， 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）在下列图形中，不是多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．根据多边形的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； B、该图形是由3条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意； D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 【题型2】多边形对角线的条数计算 1.核心知识点 多边形对角线的计数规律；边形对角线总公式。 2.解题方法技巧 单顶点对角线数直接用计算；总对角线条数代入公式；可通过“分割成三角形的个数”反向验证边数。 【例题2】.（24-25八年级上·新疆阿克苏·月考）过六边形的一个顶点可以引出几条对角线（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的一个顶点可以引出条对角线，即可求解． 【详解】解：过六边形的一个顶点可以引出对角线的数量为条． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课前预习）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可． 【详解】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（） 又∵该多边形是十一边形，即 ∴过其一个顶点的对角线数量为条 故选：B 【变式题2-2】.（25-26八年级下·上海·月考）从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 【答案】 3 4 9 【分析】根据多边形对角线的相关规律，先确定从六边形一个顶点出发引出的对角线条数，再推导得到分成三角形的个数，最后计算六边形对角线的总条数． 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为，本题中六边形，因此引出对角线条数为， 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为， 边形对角线总条数公式为， 将代入得：． 【变式题2-3】.（23-24八年级上·河北邢台·月考）从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将此边形分成个三角形． 【详解】解：从边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该边形分成个三角形， 由题意可得，则． 【题型3】多边形内角和与外角和的直接计算 1.核心知识点 多边形内角和定理；多边形外角和定理；正多边形的内角、外角计算。 2.解题方法技巧 已知边数求内角和，直接代入；正多边形的每个内角，每个外角，且内角+外角；外角和恒为，可作为计算突破口。 【例题3】.（2026·北京·一模）若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用．先利用边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合每个内角相等的条件列方程求解即可． 【详解】∵边形内角和公式为， ∴五边形的内角和为， ∵五边形的每个内角都是， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式题3-1】.（2026年湖南省永州市中考一模数学试题）一个n边形的内角和比四边形的内角和多，则n为______． 【答案】6 【分析】根据多边形的内角和公式，即可求解． 【详解】解：∵n边形的内角和比四边形的内角和多， ∴， 解得：． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·上海·月考）已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数． 【答案】8 【分析】设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据这个多边形的内角和等于五边形的内角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为8． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】/340度 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 【题型4】四边形不稳定性的实际情境应用 1.核心知识点 四边形的不稳定性；三角形的稳定性。 2.解题方法技巧 从实际场景（伸缩门、升降机、折叠衣架、篮球架支架）中识别图形结构：含四边形的结构利用不稳定性实现“变形”，含三角形的结构利用稳定性实现“固定”；对比分析两种图形的性质差异。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是四边形的不稳定性． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中哪些具有稳定性？ 【答案】①④⑥具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性这一特性，判断所给图形是否由三角形构成或可分割成三角形，从而确定哪些图形具有稳定性即可． 【详解】解：图形①：被分割成了多个三角形，具有稳定性； 图形②：是四边形内加一条线段，形成了两个四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形③：下方是被分割的四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形④：被分割成了多个三角形，具有稳定性； 图形⑤：是两个四边形组成的图形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形⑥：被分割成了多个三角形，具有稳定性， 综上所述，具有稳定性的是①④⑥． 【变式题4-2】.（24-25八年级上·新疆和田·期中）用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题． 根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，根据用木条钉成木架后是否得到三角形即可得出答案． 【详解】解：如图，用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是 ， 故选：D 【变式题4-3】.（24-25八年级上·贵州遵义·月考）如图，由五根木条构成的五边形，添加2根木条，能使五边形不变形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，四边形的不稳定性，解题关键是掌握三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，对所给的四个图形分别作出分析，再作出判断． 【详解】解：A、B、D四个图中都有四边形，四边形具有不稳定性，故都不符合； C图中没有四边形，只有三角形，三角形具有稳定性，故C符合， 故选：C． 【培优高频题型】 【题型5】多边形截角后的边数与内角和求解 1.核心知识点 多边形截角的边数变化规律；多边形内角和定理。 2.解题方法技巧 先根据新多边形的内角和求出其边数，再分三种情况倒推原多边形边数；截角问题的关键是“截线的位置”，可通过画图辅助分析，避免漏解。 【例题5】.（25-26八年级上·全国·月考）如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 【答案】原多边形为十四边形 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握n边形的内角和为是解题的关键． 设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据“内角和为”列出方程，求解即可． 【详解】解：设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据题意，得 ， 解得， 答：原多边形为十四边形． 【变式题5-1】.（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 【答案】或18 【分析】根据多边形的内角和公式可得，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为18， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为19， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为20， 所以原多边形的边数可以为或18． 【变式题5-2】.（2024八年级上·广东中山·竞赛）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【答案】D 【分析】根据多边形截角的不同情况（截线不过顶点、过一个顶点、过两个顶点），分析原多边形边数的可能情况．本题主要考查了多边形截角后边数的变化情况，熟练掌握多边形截角的三种不同情况是解题的关键． 【详解】解：一个多边形截去一个角，有三种情况： 截线不过任何顶点，此时边数增加，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过一个顶点，此时边数不变，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过两个顶点，此时边数减少，若截后是十四边形，则原多边形边数为． ∴ 原来的多边形的边数可能为或或． 故选：D． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 【题型6】多边形内角和的“多/少算一个角”问题 1.核心知识点 多边形内角和定理；凸多边形的内角范围（内角）。 2.解题方法技巧 设原多边形边数为，多/少算的角为（），建立方程：；通过“结果除以的商和余数”确定的值，再求。 【例题6】.（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)十二边形 (3) 【分析】（1）根据多边形的内角和能被整除求解即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形的每个内角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴多边形的内角和能被整除， ∵， ∵加了一个锐角， ∴这个“多加的锐角”是； （2）解：设多边形为n边形， ∴， ∴， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）解：正十二边形的每一个内角为． ∴这个正多边形的一个内角是． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】/105度 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·周测）看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形 【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和是的倍数这一性质，以及通过不等式求正整数边数的方法是解题的关键． （1）根据多边形内角和公式，判断是否满足这一特征． （2）根据内角和小于列不等式，求解正整数得到多边形的边数． 【详解】（1）解：边形的内角和是， ∴内角和一定是的倍数． ， ∴内角和不可能是． （2）解：依题意，得， 解得， ∴这个多边形的边数是，即小芳求的是十三边形的内角和． 【题型7】机器人行走的多边形外角和实际应用 1.核心知识点 多边形外角和定理；正多边形的周长计算。 2.解题方法技巧 机器人每次左转的角度为多边形的一个外角，回到出发点时，左转角度之和为；先通过每次左转角度，求出多边形的边数，再计算总路程（边数每次行走距离）。 【例题7】.（24-25八年级上·云南昆明·期中）某一科技小组制作了一个机器人，如图，它根据某一指令：从原点先向前行走2米，然后右转，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米．（） A．40米 B．36米 C．32米 D．28米 【答案】B 【分析】本题考查多边形的外角，掌握“多边形的外角和是”是正确解答的前提．根据多边形的外角和是可求出边数，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知，机器人行走一周所得到的多边形的每一个外角都是， 所以这个多边形的边数为：， 剩余机器人从出发到第一次回到原处，机器人共走了（米）， 故选：B． 【变式题7-1】.（2025·宁夏·中考真题）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了_____步． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数可直接让除以一个外角度数即可． 由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形， ∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：， 则第一次回到出发点时，该机器人共走了步， 故答案为：． 【变式题7-2】.（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 【答案】 【分析】本题中由于机器人最后必须回到起点，可知此机器人一共转了，得出机器人的行走路线是沿着一个正八边形的边长行走一周． 【详解】解：依据题中的图形，可知机器人一共转了， ∵， ∴机器人一共行走． ∴该机器人从开始到停止所需时间为． 【变式题7-3】.（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，随着科技的不断进步，人工智能机器人逐渐走进人们的生活，在完成某项任务时，机器人小胖从点O出发，沿直线前进8米后向左转，再沿直线前进8米向左转相同的度数，……照这样走下去，当机器人小胖第一次回到了出发点时，共走过了160米，则机器人小胖每次转过的角度n的值为（       ） A．10 B．18 C．20 D．30 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和等于解决此题．本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得：． 小明每次转过的角度． 故选：B 【压轴素养题型】 【题型8】复杂多边形的内角和转化求解 1.核心知识点 四边形内角和；多边形内角和定理；对顶三角形的性质（）。 2.解题方法技巧 利用“连接辅助线”将复杂多边形（如五角星、不规则多边形）分割成若干个三角形或四边形；借助对顶三角形的性质，将分散的角转化到一个多边形中，再用内角和公式计算。 【例题8】.（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的外角和是是解题的关键． 先根据多边形的外角和定理求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数． 【详解】解：， ， ． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 【题型9】两种正多边形的平面镶嵌探究 1.核心知识点 平面镶嵌的条件；正多边形的内角计算。 2.解题方法技巧 设两种正多边形的边数分别为、，内角分别为、；建立方程（、为正整数），求解正整数解。 【例题9】.（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 【变式题9-1】.（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）工人师傅用边长相等的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长相同的正多边形地砖，无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的边数为________． 【答案】12 【分析】正多边形的每一个内角都相等，根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解即可． 【详解】解：， 设选用的这块正多边形地砖的边数为，则， 解得， ∴选用的这块正多边形地砖的边数为12． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，我们称之为图形的密铺．如图，是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．以下哪两种边长相等的正多边形材料组合能够密铺地面___________（填序号）①正三角形与正八边形；②正方形与正八边形；③正三角形与正六边形；④正五边形与正十边形． 【答案】②③④ 【分析】本题考查平面镶嵌，验证同一个顶点处的几个角之和是否为是确定密铺的关键． 密铺需要确定一个顶点处的几个角之和是，由题中所给情况逐项验证即可得到答案． 【详解】解：①正三角形与正八边形： 设围绕一个顶点需要个正三角形与个正八边形，为正整数， 则， 不存在正整数使方程成立， 正三角形与正八边形组合不能密铺地面， 故①不符合题意； ②正方形与正八边形： 设围绕一个顶点需要个正方形与个正八边形，为正整数， 则， 当时，方程成立， 正方形与正八边形组合能密铺地面， 故②符合题意； ③正三角形与正六边形： 设围绕一个顶点需要个正三角形与个正六边形，为正整数， 则， 当时，方程成立；当时，方程成立； 正三角形与正六边形组合能密铺地面， 故③符合题意； ④正五边形与正十边形： 设围绕一个顶点需要个正五边形与个正十边形，为正整数， 则， 当时，方程成立， 正五边形与正十边形组合能密铺地面， 故④符合题意； 故答案为：②③④． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 【题型10】多边形内角与外角的综合推理计算 1.核心知识点 多边形内角和与外角和定理；角平分线的性质；三角形内角和。 2.解题方法技巧 结合角平分线的性质，将多边形的内角进行拆分；利用“内角与外角互补”将外角问题转化为内角问题；在推导过程中，借助三角形内角和建立等量关系，逐步推导未知角。 【例题10】.（25-26八年级下·全国·课后作业）求出下列图形中x的值． 【答案】图1中，图2中 【分析】根据四边形的内角和是以及多边形外角的定义计算即可． 【详解】解：（1）图1中，， 即； （2）图2中，， 即． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 【变式题10-2】.（2023八年级上·广东汕头·竞赛）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 【答案】（1） （2）， （3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，四边形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． (1)根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． (2)先由邻补角性质求出，再根据三角形外角性质、角平分线的定义计算即可． (3)利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可． 【详解】（1），， ， ； （2）， ， ， ， ，分别平分外角，， ，， 即， 故答案为：，； （3），分别平分外角，， ，， 即． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 【答案】(1)①，②，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】（1）利用三角形内角和与外角关系求出与的关系，①将和代入即可得解，②利用三角形内角和与外角关系求出与的关系即可得证； （2）根据四边形内角和得出，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得出，进而即可得解； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，由（1）得，，由三角形的内角和得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 当得，当得； 故答案为：，； ②，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，    ∴，， ∵平分，平分， ∴平分，平分， 由（1）得，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、四边形内角和，三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识点，熟练掌握四边形的内角和是和三角形外角的性质是解决此题的关键． 易错点 1.混淆正多边形的判定条件：误认为“各边相等的多边形是正多边形”或“各内角相等的多边形是正多边形”，忽略需同时满足两个条件（如长方形各角相等但边不都相等，不是正多边形）。 2.多边形截角问题漏解：只考虑截线不经过顶点的情况，忽略截线经过一个或两个顶点的情况，导致边数计算错误。 3.误判多边形的内角范围：在“多/少算一个角”问题中，未考虑凸多边形内角的范围，求出不符合实际的角的度数。 4.对角线概念理解错误：将多边形的“邻边连线”当作对角线，或计算单顶点对角线数时用代替，导致计数错误。 5.平面镶嵌条件理解偏差：认为所有正多边形都能单独密铺，忽略“拼接点内角和为”的核心条件（如正五边形内角，无法整除，不能单独密铺）。 重点 1.掌握多边形的核心公式：内角和、外角和、对角线总公式，能熟练进行边数、角度、对角线条数的互求。 2.理解多边形截角的三种边数变化规律，能结合内角和定理倒推原多边形边数。 3.掌握“多/少算一个角”问题的解题方法，能利用凸多边形内角范围确定多边形边数和未知角度数。 4.理解四边形的不稳定性和三角形的稳定性的区别，能解决实际情境中的应用问题。 5.掌握平面镶嵌的核心条件，能判断单一或两种正多边形能否密铺，并进行简单的探究计算。 难点 1.复杂多边形的内角和求解：难以找到合适的辅助线，将分散的角转化为规则多边形的内角，需熟练掌握“分割法”和“对顶三角形性质”的应用。 2.多边形内角与外角的综合推理：涉及角平分线、平行线、三角形内角和等多个知识点，需梳理逻辑关系，逐步推导等量关系。 3.多边形的规律探究问题：需要从特殊情况（如二环三角形、内点1个）归纳出一般规律，对数形结合和归纳推理能力要求较高。 4.两种正多边形的平面镶嵌探究：需建立二元一次方程，求解正整数解，既要掌握正多边形内角计算，又要具备一定的方程求解能力。 5.机器人行走、模板检测等实际问题的建模：难以从实际场景中抽象出多边形模型，将实际问题转化为“外角和”“内角和”的数学问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．十二 B．十八 C．十 D．十六 【答案】B 【分析】利用正多边形内角与外角互补的性质，结合任意多边形外角和为的知识点，从而计算得到多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的内角与外角互补。 ∴该正多边形的一个外角为 ， ∵任意多边形的外角和恒为，正多边形所有外角都相等， ∴该多边形边数为 ． ∴该多边形的边数是十八． 2．一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据正多边形的内角公式进行求解即可． 【详解】解：令该正多边形为边形， 由正多边形内角公式得， 解得， 故该正多边形的边数为． 3．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式解答即可． 【详解】解：这个正八边形的内角和为． 4．跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作轴于点M，过点E作轴于点N，先求出，得出，再在等边三角形中求出和，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M，过点E作轴于点N， 由题意可得、是等边三角形，是正六边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 5．如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，得出，根据平行线的性质得出，，再根据正多边形每个内角都相等求出的度数，即可得解． 【详解】如图，过点B作， ， ， ， 即， ， ， ∵五边形为正五边形， ，， ， ． 【点睛】正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键． 二、填空题 6．若一个多边形的外角和比它的内角和的少，则这个多边形的边数为____． 【答案】 【分析】设该多边形的边数为，利用多边形内角和公式与多边形外角和定理，根据题目给出的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为． 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为． 根据题意列方程得： 整理得： 解得：． 7．若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 【答案】 5 【分析】根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用任意多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为． 由多边形内角与相邻外角和为，得： 解得： 则外角为． 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 该多边形边数为． 8．如图，在正五边形的内部作正三角形，则___________． 【答案】 48 【分析】求出，求差即可. 【详解】解：由题意，， ∴. 9．如图，五边形是正五边形，，是边，上的点，且．若，则_______． 【答案】 【分析】过点作交于点，根据平行线的性质先求出的度数，由多边形内角和定理可求出的度数，最后利用平行线的性质求得即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ， ， 在正五边形中，， ， ，， ， ． 10．在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 【答案】 /24度 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式及等腰三角形的判定与性质，先根据多边形的内角和公式算出每个正五边形和正六边形的内角，再得出的度数，再求证是等腰三角形，最后根据三角形的内角和求出的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角：， 且，， 正六边形每个内角：，且，， 由此可得，是等腰三角形． ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 三、解答题 11．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多边形．分情况，画出图形即可． 【详解】解：如答图①，剩下的新图形是三角形；如答图②，剩下的新图形是四边形；如答图③，剩下的新图形是五边形． ． 12．已知一个正边形的内角和是它的外角和的倍． (1)求的值； (2)求正边形每个内角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多边形内角和的计算方法以及外角和是列方程求解即可； （2）根据正六边形内角的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：这个正六边形的每个内角的度数为． 13．（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 【答案】（1）10 （2）27 【分析】（1）根据内角与相邻外角互补的关系，结合题目条件求出单个外角的度数，再利用多边形外角和为，即可求出边数； （2）先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再代入多边形对角线条数公式计算即可得到结果，掌握相关计算公式是解题的关键． 【详解】解：（1）设这个正多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，由题意可得 ： ， 解得， 多边形的外角和为， 这个多边形的边数为； （2）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式可得： ， 解得， 这个多边形的对角线条数为， 即这个多边形共有27条对角线． 14．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 15．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】本题考查了多边形的内角和问题； （1）根据多边形的内角和为，即任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解． （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列出不等式，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除． 不能被整除， 张明的说法不正确． （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ． ． 为整数， 这个正多边形为正八边形 如答图，将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7，即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $